Ecuaciones en derivadas Parciales
Nociones
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la particularidad de que en esta ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas.
Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables o una ecuación que involucre una función u de varias variables independientes (x,y,z,t,...) y las derivadas de u con respecto de esas variables
Una ecuación diferencial en derivadas parciales para la función tiene la siguiente forma:
Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:
donde u es una función de x e y. esta relación implica que los valores u(x,y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:
donde f es una función arbitraria de y.
Dada una función u = u(x, y, z, . . .) de varias variables independientes x, y, z, . . . , utilizaremos la siguiente notación conveniente:
El orden de una derivada parcial es la cantidad de subindices.
Se dice que una función u es C0 cuando es continua.
Dado un entero positivo k, se dice que una función es Ck si toda derivada parcial de orden menor o igual a k existe y es continua.
Por ejemplo, si u = u(x, y, z) es una función de tres variables, entonces u ∈ C2 si u, ux, uy,uz, uxx, uxy, uxz, uyx, uyy, uyz, uzx, uzy, uzz son continuas.
Vemos aquí que u ∈ C2 implica u ∈ C1 pues u ∈ C1 cuando u, ux, uy, uz son continuas. Vemos entonces que en general, u ∈ Ck implica que u ∈ Ck-1 .
Es también sabido que si u ∈ C2 entonces uxy = uyx, uyz = uzy, etc.
Dado un entero positivo k, una ecuación en derivadas parciales de orden k es una ecuación que involucra una función incógnita u, tal que k es el mayor orden de derivada parcial que aparece en la ecuación.
Ejemplo
La ecuación del calor
ut = kuxx u = u(x, t)
Es una ecuación de orden dos.
La ecuación de transporte
aux + buy = f u = u(x, y)
Es una ecuación de orden uno, o de primer orden.
En general, una EDP está definida sobre un dominio D que es la región de interés donde las variables están definidas.
Una función u es una solución de una EDP de orden k en el dominio D si es una función C k en la región D y la EDP se satisface en todos los puntos interiores a D.
Ejemplo:
La función u(x, t) = sen(x)e −t es solución de la ecuación de difusión.
ut = uxx en D = {(x, t) : 0 < x < 1, t > 0}.
En efecto, ut = − sen(x)e −t , ux=cos(x)e −t , uxx= − sen(x)e −t , luego ut = uxx para todo x y para todo t, en particular para (x, t) ∈ D.
Solución general y completa
Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente puede obtenerse por el Método de separación de variables.
Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitraria independiente como variables independientes intervienen en la ecuación.
CLASIFICACIÓN
Ecuación en derivadas parciales lineal
La ecuación en derivadas parciales para la función u(x1,x2,...xn) tiene la siguiente forma:
Una EDP es lineal si F es una función lineal de u y sus derivadas, para que esto se cumpla:
Por ejemplo:
EDP lineal
EDP no lineal
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
La forma general de una EDP lineal de primer orden es:
ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
La EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes x e y en el caso general tiene la forma:
Siendo A(x, y), B(x, y), C(x, y), a(x, y), b(x, y), c(x, y) funciones de las variables x e y en una región D ⊂ R2 , y la función incógnita u = u(x, y). Si f(x, y) = 0 en D ⊂ R2 , la ecuación se llama homogénea(EDPH)
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos, como se estudiará más adelante.
Otra cantidad menos de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores.
POR EJEMPLO:
Casos Particulares
Limitamos el estudio a las EDPL de segundo orden.
Planteamiento General
Sea la EDP de segundo orden:
en una cierta región Ω ⊂ R2 (plano OXY ).
Se dice:
1. Hiperbólica en Ω, si ∆ = B2 − AC > 0 en Ω. 2. Parabólica en Ω, si ∆ = B2 − AC = 0 en Ω. 3. Elíptica en Ω, si ∆ = B2 − AC < 0 en Ω.
Ejemplos
Ecuaciones hiperbólicas: Ecuación de ondas
Ecuación parabólica:Ecuación del calor
Ecuación elíptica:Ecuación de Laplace
Metodo de separacion de variables: caso practico
Vamos a ver la forma de resolver desde el punto de vista práctico las EDP’s en los dos tipos señalados en apartados anteriores: lineal y no lineal. Si consideramos, por ejemplo, dos variables independientes x e y y la variable dependiente es u = u(x, y), la ecuación lineal tiene la forma:
F [ ∂ /∂x, ∂ /∂y] . u(x, y) = φ(x, y)
donde el operador F [ ∂ /∂x, ∂ /∂y] ¸ o F [Dx, Dy] es un polinomio en los dos operadores Dx ≡ ∂ /∂x, Dy ≡ ∂ /∂y y los coeficientes son funciones de las variables x e y solamente.
a) Si los coeficientes son constantes, la EDP se llama Ecuación Lineal con Coeficientes Constantes.
b) En el caso de que los coeficientes sean variables, la EDP se llama Ecuaci´on Lineal con Coeficientes Variables.
Ejemplos:
1. Si F = D2x + 4DxDy − 2D2y − 3Dx + 5 y φ(x, y) = x3 − ey , entonces podemos escribir: ∂2u /∂x2 + 4 ∂2u /∂x∂y − 2 ∂2u /∂y2 − 3 ∂u /∂x + 5u = x3 − ey que es una EDPL con coeficientes constantes.
2. Si F = xDx + yDy y φ(x, y) = 1, entonces tendremos x ∂u /∂x + y ∂u /∂y = 1 que es una EDPL con coeficientes variables.
Teoremas
En analogía con las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) tenemos los siguientes teoremas.
Teorema 1: Se considera la EDPL:
F (Dx, Dy, · · ·) u(x, y, · · ·) = φ(x, y, · · ·)
donde x, y · · · son variables independientes y F (Dx, Dy, · · ·) es un operador polinómico en Dx, Dy, · · ·, entonces la solución general es la suma de la solución general uh de la ecuación homogénea
F (Dx, Dy, · · ·) u(x, y, · · ·) = 0
y cualquier solución particular up. Esto es:
u(x, y, · · ·) = uh(x, y, · · ·) + up(x, y, · · ·)
A la solución general uh(x, y, · · ·) con frecuencia se denomina la solución complementaria.
Teorema 2: Sean u1(x, y, · · ·), u2(x, y, · · ·), · · · soluciones de una ecuación. Entonces si α1, α2, . . . son constantes cualesquiera u(x, y, z, · · ·) = α1u1(x, y, · · ·)+α2u2(x, y, · · ·)+· · · es también una solución de la ecuación.
Metodo de separacion de variables
Intentemos dar respuesta a la solución de la ecuación homogénea F (Dx, Dy; · · ·) = 0.
Supongamos el caso de una EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria), F (D)y = 0, con coeficientes constantes. En este caso usamos la sustitución y = emx, la cual conducía a la ecuación auxiliar o ecuación característica para determinar la constante m.
En el caso de la ecuación:
F (Dx, Dy, · · ·) u(x, y, · · ·) = 0
con coeficientes constantes, por analogía, deberíamos asumir como solución
u(x, y, z, · · ·) = e α1x+α2y+··· y tratar de determinar las constantes α1, α2, α3, · · ·. Aunque este método tiene éxito en algunos casos, un método con mejor enfoque es asumir una solución de la forma u(x, y, z, · · ·) = X(x).Y (y).Z(z). · · · o más brevemente u = XYZ · · · esto es, una función solo de x multiplicada por una función solo de y, y así sucesivamente, como se sugiere al escribir u = e α1x+α2y+··· como u = e ax .e by .e cz · · ·. Este método de solución con frecuencia se llama el Método de Separación de Variables(MSV).
Ejemplo 1:
Resolver el problema de valor de frontera
∂u /∂x + 3 ∂u /∂y = 0, u(0, y) = 4e −2y + 3e −6y.
Solución:
Admitamos que existen soluciones de la forma u(x, y) = X(x).Y (y) ´o u = X.Y . Sustituyendo en la ecuación se tiene, llamando X’ = dX /dx e Y’ = dY /dy , que
X’Y + 3XY’ = 0 ⇔ X’ /3X + Y’ /Y = 0 (1)
dividiendo ambos miembros por 3XY al suponerlo distinto de cero, se tiene que
X’ /3X = -Y’ /Y (2)
Se ve entonces que un lado de la igualdad solo depende de x, mientras que el otro miembro solo depende de y.
Puesto que x e y son variables independientes, ellas no dependen entre si, y por tanto (1)puede ser cierta si y solo si cada miembro de (2) es igual a la misma constante, que llamaremos c. De (2) se tiene que:
X’ − 3cX = 0 (3)
Y’ + cY = 0 (4)
de ahi que las ecuaciones (3) y (4) tienen de soluciones, respectivamente,
X = a1e 3cx, Y = a2e −cy (5)
Así como u(x, y) = X · Y sustituyendo,
u(x, y) = a1a2e c(3x−y) = Be c(3x−y) (6) siendo B = a1a2 ∈ R.
Si ahora usamos la condición que nos impone el problema de valor de frontera tendremos:
Be −cy = 4e −2y + 3e −6y . (7)
Desafortunadamente (7) no puede ser cierta para ninguna selección de las constantes B y c; y parecería como si el método no funcionará. El problema sin aparente solución se resuelve aplicando el teorema 2. Se tiene de (6)que:
u1(x, y) = b1e c1(3x−y) u2(x, y) = b2e c2(3x−y)
son ambas soluciones, y se debe tener también como solución:
u(x, y) = b1e c1(3x−y) + b2e c2(3x−y) .
La condición de frontera inicial nos conduce a
b1e −c1y + b2e −c2y = 4e −2y − 3e −6y que se satisface si elegimos
b1 = 4, c1 = 2 ∧ b2 = −3, c2 = 6.
Por tanto la solución deseada viene dada por
u(x, y) = 4e 2(3x−y) − 3e 6(3x−y)
Podemos preguntarnos por qué no trabajamos el problema resuelto anterior encontrando primero la solución general y luego la solución particular. Una razón la encontramos en que excepto en casos muy sencillos la solución general es difícil de encontrar, y aún cuando se pueda encontrar, puede ser difícil determinar la solución particular a partir de ella.
Bibliografía