2 of 8

H ανακάλυψη του e από τον � Jacob Bernoulli

O αριθμός e ανακαλύφθηκε από τον Bernoulli

μελετώντας ένα πρόβλημα ανατοκισμού.

«Ένα ποσό Κ = 1 ξεκινά να τοκίζεται με 100% στο τέλος του έτους. Αναζήτησε κάθε πόσο διάστημα πρέπει να ανατοκίζεται το αρχικό ποσό ώστε να αποδοθεί ο μέγιστος τόκος»

Χωρίζοντας το χρόνο σε ν ίσα διαστήματα

απέδειξε ότι ποσό που αναλογεί στο τέλος του

έτους είναι

3 of 8

Το σκεπτικό

Υπολογίζοντας ότι η απόδοση του τόκου γίνεται κάθε 1 μήνα (το έτος

χωρίστηκε 12 ίσα μέρη) το αποδοθέν στο έτος ποσό είναι =

2,613035

Υπολογίζοντας την απόδοση του τόκου κάθε βδομάδα έχουμε ν = 52

και το τελικό ποσό στο τέλος του έτους γίνεται = 2,692597

Αν ο τόκος αποδίδεται κάθε μέρα ( v = 365) το ποσό γίνεται 2,714567

Γενικά ο Bernoulli διαπίστωσε ότι καθώς το v αυξάνεται το ποσό στο

έτος τείνει να γίνει 2.7182818

Αυτός ο αριθμός που παριστάνει το όριο της ακολουθίας

καθώς το ν αυξάνεται είναι ο αριθμός e.

5 of 8

H συμβολή του Euler

O Euler απέδειξε αυτό που ο Bernoulli παρατήρησε ότι το όριο της ακολουθίας για ν τείνει στο άπειρο είναι ο αριθμός αυτός

Επίσης απέδειξε ότι και η ακολουθία:

τείνει στον ίδιο αριθμό, όπου ν ! =

Απέδειξε επίσης ότι ο αριθμός αυτός είναι άρρητος.

Όρισε τον νέο αυτό αριθμό ως βάση του φυσικού (νεπέριου λογαρίθμου). Αν και o Narier μελέτησε τις ιδιότητες του λογαρίθμου o Euler αναγνώρισε την αξία του νέου αριθμού στους λογαρίθμους.

Τέλος απέδειξε την πιο κομψή ταυτότητα στην ιστορία των μαθηματικών που συνδέει σε μια ισότητα τις σημαντικότερες σταθερές e,π ,iμε τους αριθμούς 0 και 1.

6 of 8

� Aριθμός Euler�

Για όλη αυτή τη μεγάλη συνεισφορά του Euler o

νέος αριθμός, αν και πρωτοανακαλύφθηκε από τον

Bernoulli, πήρε το όνομα «αριθμός του Euler» και

συμβολίζεται από το πρώτο γράμμα του ονόματος

του μεγάλου μαθηματικού, e.

Ισχύει e 2,71828.

Είναι αριθμός άρρητος και τα πρώτα 50 ψηφία

του είναι:

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

7 of 8

Ο αριθμός e είναι υπερβατικός

Οι άρρητοι αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς.

Π.χ ο αριθμός είναι άρρητος αλλά αλγεβρικός γιατί αποτελεί ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές του

O αριθμός e είναι άρρητος αλλά υπερβατικός γιατί δεν αποτελεί ρίζα κανενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

Την απόδειξη της υπερβατικότητας του αριθμού e έκανε Charles Hermite το 1873

8 of 8

Ο αριθμός e ξεφυτρώνει παντού

Έκτοτε ο αριθμός εμφανίζεται σε μια μεγάλη γκάμα νέων συμπερασμάτων.

e = ,

Παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων.