14.04.2025
Сьогодні
Урок
№ 55
Коло описане
навколо трикутника
Геометрія
Розділ 4. Коло і круг
14.04.2025
Сьогодні
Перевірка домашнього завдання
Перевіряємо
домашнє
завдання
14.04.2025
Сьогодні
Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної
діяльності учнів
Мета уроку:
засвоєння поняття означення кола, описаного навколо трикутника; властивостей вершин трикутника, вписаного в коло; наслідки з теореми; використовувати ці знання при розв'язування задач
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Коло описане
навколо трикутника
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Цікаві факти
Коло і геометричні фігури
Як розміщений трикутник відносно кола?
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Опрацюй і запам’ятай…
Серединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього
Теорема. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.
Доведення. Нехай пряма І - серединний перпендикуляр до відрізка АВ, К - середина цього відрізка (мал.). Розглянемо довільну точку Р серединного перпендикуляра і доведемо, що РА = РВ. Якщо точка Р збігається з К, то рівність РА = РВ очевидна. Якщо точка Р відмінна від К, то прямокутні трикутники РКА і РКВ рівні між собою за двома катетами. Тому РА = РВ.
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно
проходить через усі вершини цього трикутника.
Теорема. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.
Для доведення достатньо показати, що для будь-якого трикутника ABC існує точка O, рівновіддалена від усіх його вершин. Тоді точка O буде центром описаного кола, а відрізки OA, OB і OC — його радіусами.
На рисунку зображено довільний трикутник ABC. Проведемо серединні перпендикуляри k і l сторін AB і AC відповідно. Нехай O — точка перетину цих прямих. Оскільки точка O належить серединному перпендикуляру k, то OA =OB . Оскільки точка O належить серединному перпендикуляру l, то OA= OC . Отже, OA =OB= OC , тобто точка O рівновіддалена від усіх вершин трикутника.
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Н а с л і д о к 1. Три серединних перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці.
Н а с л і д о к 2. Центр кола, описаного навколо трикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника.
У гострокутному трикутнику центр кола розташований у трикутнику.
У прямокутному трикутнику - на середині гіпотенузи.
У тупокутному трикутнику лежить поза трикутником.
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Математична розминка
1. На якому з малюнків зображено коло, вписане в трикутник?
Відповідь:
1)2.�2) в.
Мал. 1.
Мал. 2.
Мал. 3.
2. На якому з малюнків зображено коло, описане навколо трикутника?
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Накресліть різносторонній гострокутний трикутник.
1) Користуючись лінійкою зі шкалою та косинцем, знайдіть центр кола, описаного навколо даного трикутника.
2) Опишіть навколо трикутника коло.
Виконайте завдання 1 і 2 для різносторонніх прямокутного й тупокутного трикутників.
Завдання №612
Підручник.
Сторінка
206
1
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Завдання №612
Розв’язання (ІІ):
1
рівень
А
С
В
O
K
M
С
O
M
В
А
O
A
C
N
M
B
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
1. Центр описаного навколо трикутника кола міститься у точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
2. За допомогою лінійки знаходимо середину сторони ВС і проводимо за допомогою косинця у цій точці серединний перпендикуляр.
3. Аналогічно проводимо серединний перпендикуляр до сторони АВ. Серединні перпендикуляри перетнуться в точці О – центрі описаного кола.
4. За допомогою циркуля будуємо коло з центром у точці О радіуса ОВ.
5. Аналогічно виконуємо описані вище дії для прямокутного та тупокутного трикутників.
Завдання №612|Розв’язання (І):
1
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що коли центр кола, описаного навколо
трикутника, належить його медіані, то цей трикутник рівнобедрений.
Завдання №631
Підручник.
Сторінка
209
2
рівень
О
М
А
С
В
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точка О належить медіані ВМ трикутника АВС (АМ = МС). ОА = ОВ = ОС (як радіуси описаного кола).
Розглянемо ΔАОС:
ОА = ОС (як радіуси);
АМ = МС (за властивістю медіани);
ОМ – спільна сторона ΔАОМ і ΔСОМ, отже, за трьома сторонами, ΔАОМ = ΔСОМ.
У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже
∠АМО = ∠СМО.
Завдання №631
Розв’язання (І):
2
рівень
О
М
А
С
В
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розглянемо ΔАВС:
∠АМВ = ∠СМВ (з доведення рівності трикутників АОМ і СОМ);
АМ = МС (за властивістю медіани).
ВМ – спільна сторона трикутників АВМ і СВМ, отже, за двома сторонами і кутом ΔАВМ = ΔСВМ.
Звідси випливає, що ВМ є також бісектрисою, отже трикутник АВС рівнобедрений.
Завдання №631
Розв’язання (ІІ):
2
рівень
О
М
А
С
В
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються, то цей трикутник рівносторонній.
Завдання №635
Підручник.
Сторінка
209
2
рівень
В
E
K
O
N
A
C
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дано: ∆ABC, O — центр вписаного і описаного кола.
Довести: ∆ABC — рівносторонній.
Доведення: Якщо O — центр описаного кола,
тоді O — точка перетину серединних перпендикулярів,
BN — серединний перпендикуляр.
Якщо O — центр вписаного кола, тоді O — точка перетину бісектрис, BN — бісектриса.
Аналогічно: AK — бісектриса, висота, медіана.
CE — бісектриса, висота, медіана.
Отже, за властивістю рівностороннього трикутника маємо:
∆ABC — рівносторонній. Доведено.
Завдання №635|Розв’язання:
2
рівень
В
E
K
O
N
A
C
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Периметр трикутника ABC, описаного навколо кола, дорівнює 52 см. Точка дотику кола до сторони AB ділить цю сторону у відношенні 2 : 3, рахуючи від вершини A. Точка дотику до сторони BC віддалена від вершини C на 6 см. Знайдіть сторони трикутника.
Завдання №639
Підручник.
Сторінка
210
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дано: Коло вписане у ∆АВС. N, E, F — точки дотику.
P∆ABC = 52 см. AN : NB = 2 : 3. EC = 6 см.
Знайти: АB, BС, AC.
Розв'язання: За умовою AN : NB = 2 : 3, тоді
AN = 2х (см), NB = Зух (см).
За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо:
AN = AF = 2х (см), NB = BE = Зух (см), EC = FC = 6 см.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо:
АB = AN + NВ; АB = 2х + Зух = 5х (см).
BС = BE + EC; BС = Зух + 6 (см);
AC = AF + FC; AC = 2х + 6 (см).
P = AB + BC + AC.
Завдання №639|Розв’язання (І):
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Складемо і розв’яжемо рівняння:
5х + Зух + 6 + 2х + 6 = 52;
10x + 12 = 52;
10x = 51 – 12;
10x = 40;
х = 40 : 10;
х = 4.
AB = 5 ∙ 4 = 20 (см);
BC = 3 ∙ 4 + 6 = 18 (см);
AC = 2 ∙ 4 + 6 = 14(см).
Відповідь: 20 см, 18 см, 14 см.
Завдання №639|Розв’язання (І):
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що коли центр кола, описаного навколо трикутника, належить його стороні, то цей трикутник прямокутний.
Завдання №642
Підручник.
Сторінка
210
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дано: ∆АВС, O – центр описаного кола, O ∈ AC.
Довести: ∆АВС — прямокутний.
Доведення: Нехай ∠C = x.
Розглянемо ∆COB — рівнобедрений (ОС = OB — радіуси).
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:
∠C = ∠OBC = x.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠BOC = 180° – (х + x) = 180° – 2x.
∠AOB і ∠BOC — суміжні.
За теоремою про суміжні кути маємо:
∠AOB = 180° – (180° – 2x) = 180° – 180° + 2х = 2x.
Завдання №642
Розв’язання (І):
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB — радіуси).
∠OAB = ∠OBA = (180° – 2x) : 2 = 90° – x.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∠ABC = ∠ABO + ∠OBC,
∠ABC = (90° – x) + х = 90°.
Тобто ∠ABC = 90°, тоді ∆АВС — прямокутний. Доведено.
Завдання №642
Розв’язання (ІІ):
2
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Скільки кіл можна провести через:
1) одну точку;
2) дві точки;
3) три точки, що не лежать на одній прямій?
Завдання
2
рівень
Розв’язання:
1) через одну точку можна провести безліч кіл.
2) через дві точки можна провести безліч кіл.
3) через три точки, що не лежать на одній прямій можна провести тільки одне коло.
14.04.2025
Сьогодні
Завдання для домашньої роботи
Опрацювати сторінки підручника 203-213.
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
1) Накресліть відрізок MN, довжина якого 5,4 см.
За допомогою лінійки з поділками і косинця проведіть серединний перпендикуляр до відрізка MN.
2) Позначте деяку точку Р, що належить серединному перпендикуляру, і переконайтеся, що PM = PN.
Завдання
2
рівень
Розв’язання:
1) MN = 5,4 см. Пряма l – серединний перпендикуляр до відрізка MN.
2) PM = PN.
l
M
N
P
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
На малюнку точка О - центр кола, описаного навколо різностороннього трикутника ABC. Знайдіть усі пари рівних між собою трикутників на цьому малюнку.
Завдання
2
рівень
Розв’язання:
ΔCKO = ΔAKO (за двома катетами: AK = KC, KO – спільний катет).
ΔAMO = ΔBMO (за двома катетами: AM = MB, OM – спільний катет).
ΔCLO = ΔBLO (за двома катетами: CL = LB, OL – спільний катет).
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
1) Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.
2) Де лежатиме центр цього кола (поза трикутником, усередині трикутника, на одній з його сторін)?
Завдання
3
рівень
Розв’язання:
OK і OM – серединні перпендикуляри відповідно до сторін AC і BC.�О (точка перетину серединних перпендикулярів) – центр кола лежить поза трикутником.
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, удвічі більший за радіус кола, вписаного в нього.
Завдання
4
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведення:
4
рівень
14.04.2025
Сьогодні
Гімнастика для очей
14.04.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Відрізок 32 см завдовжки поділено двома точками на три не рівних між собою відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 20 см.
Знайдіть довжину середнього відрізка.
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
14.04.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Нехай AB = 32 см, EF = 20 см.
AE + FB = 32 см – 20 см = 12 см, тоді
EC + DF = AE + FB = 12 см.
Отже, CD = EF – (EC + DF) = 20 см – 12 см = 8 см.
Відповідь: 8 см.
Розв’язання:
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
А
Е
С
D
F
B
14.04.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Площа земельної ділянки, що має форму прямокутника, дорівнює 9 га, ширина ділянки дорівнює 150 м. Знайдіть довжину огорожі навколо цієї ділянки.
ЖИТТЄВА
МАТЕМАТИКА
14.04.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
9 га = 90000 м2.
�1) 90000 : 150 = 600 (м) – довжина ділянки;
2) 2 ∙ (150 + 600) = 2 ∙ 750 = 1500 (м) – довжина огорожі.
Відповідь: 1500 м.
ЖИТТЄВА
МАТЕМАТИКА
Розв’язання:
14.04.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Вказати коло і відповідний трикутник вписаний у нього. Виконати завдання різнокольоровими олівцями.
ЗАДАЧІ
на закріплення
14.04.2025
Сьогодні
Підсумок уроку. Усне опитування
14.04.2025
Сьогодні
Над чим ще потрібно подумати?
Чим ти сьогодні допоміг іншим?
Яке завдання сподобалось
найбільше?
Що ти сьогодні виконав?
Про що нове ти сьогодні дізнався?
Рефлексія. Вправа «5 питань»