Ο Πυθαγόρας και οι τέλειοι αριθμοί

Πυθαγόρας ο Σάμιος

• Ο Πυθαγόρας (580π.Χ – 486 π.Χ)γεννήθηκε στη Σάμο και ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Ταξίδεψε στην Ελλάδα , την Αίγυπτο και στην Ασία για να πλουτίσει τις γνώσεις του και επέστρεψε στην Κρότωνα της κάτω Ιταλίας. Εκεί ίδρυσε τη Σχολή του.
• Πίστευε ότι η αριθμοί μπορούν να εξηγήσουν τη δομή του σύμπαντος , είναι δηλαδή «η ουσία των όντων»

Ο Συριανός στα σχόλια του γράφει

• «… αυτός μεν Πυθαγόρας , εν τω ιερώ λόγω, διαρρήδην μορφών και ιδεών κράντορα τον αριθμόν είναι και θεών και δαιμόνων αίτιον».
• «… ο ίδιος ο Πυθαγόρας, στον Ιερό Λόγο, λέει ξεκάθαρα ότι ο αριθμός είναι ο κυρίαρχος των μορφών και των ιδεών και η αιτία θεών και δαιμόνων»

Τέλειοι αριθμοί

• «Τέλειος αριθμός εστιν ο τοις εαυτού μέρεσιν ίσος ων»
• « Τέλειος αριθμός είναι αυτός που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του».

Ευκλείδης στα Στοιχεία , Βιβλίο VII , 22

π.χ. Ο αριθμός 6. Γνήσιοι διαιρέτες του ( εκτός από τον εαυτό του) είναι οι: 1, 2 , 3 Ισχύει 6 = 1 + 2 + 3. Άρα ο 6 είναι τέλειος αριθμός

​

​

Καταγραφή τέλειων αριθμών

Ο γενικός κανόνας των τέλειων αριθμών

• Οι τέλειοι αριθμοί στην ανάλυση τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων γράφονται ως γινόμενο μιας δύναμης του 2 επί έναν άλλον πρώτο αριθμό

Το θεώρημα του Ευκλείδη

• Αν ο αριθμός  2^ν – 1 είναι πρώτος τότε ο αριθμός:

2^ν-1 (2^ν – 1 ) είναι τέλειος.

Ευκλείδης στα Στοιχεία , βιβλίο IX , 36

Παραδείγματα.

α. Για ν = 2 ο αριθμός  2^ν – 1 = 3 πρώτος.

Ο αριθμός 2^ν-1 (2^ν – 1 ) = 6 ,τέλειος

Πράγματι: 6 = 1 + 2 + 3

β. Για ν = 3 , 2^ν – 1 = 7 πρώτος

2^ν-1 (2^ν – 1 ) = 28 , τέλειος

Πράγματι : 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

​

​

Σχόλια στο θεώρημα του Ευκλείδη

• Στο θεώρημα του Ευκλείδη ο εκθέτης ν πρέπει να είναι πρώτος αριθμός , γιατί όπως απέδειξε ο Mersene ο

2^ν – 1 δεν είναι πρώτος αν ο ν είναι σύνθετος.

Π.χ για ν = 4 ο 2^ν – 1 = 15 , σύνθετος.

​

• Ο Εuler απέδειξε ότι όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί είναι της μορφής που βρήκε ο Ευκλείδης στο θεώρημά του.

​

• Ανοικτό πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα: Υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Δεν έχει βρεθεί ακόμη κανένας.

Υπετέλειοι και ελλειπείς αριθμοί

• Υπερτέλειοι αριθμοί είναι αυτοί που είναι μεγαλύτεροι από το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους και ελλιπείς όσοι είναι μικρότεροι από το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους.
• Παραδείγματα :

α. ο αριθμός 8.

8 > 1 + 2 + 4 , ο 8 υπερτέλειος

​

β. Ο αριθμός 12

12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 , ο 12 ελλιπής.

​

​