1

• Base 2: (1001011)₂ ?

Conversion d’une base B vers la base 10

• Il suffit de calculer en base 10 la somme totale des puissances pondérées dans la base B

(723)₈ = 7x 8² + 2x8¹ + 3x 8⁰ = (467)₁₀

(1001011)₂=1x2⁶ + 0x2⁵ + 0x2⁴+1x2³+0x2²+1x2¹+1x2⁰

= (75)₁₀

• Base 8: (723)₈ ?

(A3D)₁₆ =10x 16² + 3x 16¹ + 13x 16⁰ = (2621)₁₀

• Base 16: (A3D)₁₆ ?

2

Conversion de la base 10 à une base B

• Méthode par soustractions successives

Elle utilise le développement polynomial

N₁₀ = a_n-1 B^n-1 + a_n-2 B^n-2 + …. + a₁ B¹ + a₀ B⁰ _�⇨ N_B = (a_n-1 a_n-2 …. a₂ a₁ a₀ )_B

Procédé:

• Dresser une table donnant les valeurs des différentes puissances de la base B
• Au nombre décimal donné, retrancher la plus grande puissance de B possible
• Répéter le processus à partir des restes obtenus

• Remarque: cette méthode ne s’applique qu’aux nombres entiers

3

Conversion de la base 10 à une base B

• Méthode par soustractions successives : Exemples

(1251)₁₀ = ( ? )₂

(1251)₁₀ = 1x2¹⁰ + 0x 2⁹ + 0x 2⁸+ 1x2⁷ + 1x 2⁶ +

1x2⁵ + 0x2⁴ +0x2³ +0x2²+ 1x2¹ + 1x2⁰

= (10011100011)₂

4

Conversion de la base 10 à une base B

• Méthode par soustractions successives : Exemples

(6718)₁₀ = ( ? )₈

(6718)₁₀ = 1x 8⁴ + 5x 8³ + 0 x 8² + 7x 8¹ + 6 x 8⁰

= (1 5 0 7 6 )₈

​

5

On a 3768> 256 (16²) et 3786 < 4096 (16³)� - Nous retenons donc : 16^2� - Cherchons le plus grand multiple de 16 contenu dans N :� N = 14 x 16² + 202 � - Recommençons avec le reste et ainsi de suite jusqu’à

l’obtention d’un reste inférieur à 16 :� 202 = 12 x 16¹ + 10� - Ce qui donne : N = 14 x 16² + 12 x 16¹ + 10 x 16⁰

Ou encore : N = E x 16² + C x 16¹ + A x 16⁰

Donc : (3786)₁₀ = (ECA)₁₆

Conversion de la base 10 à une base B

• Méthode par soustractions successives : Exemples

N= (3786)₁₀ = ( ? )₁₆

- Cherchons la plus grande puissance de 16 contenue dans 3786.

6

Conversion de la base 10 à une base B

• Méthode par divisions ou multiplications

Procédé:

• Tout nombre, non entier, sera converti en considérant:
• Sa partie entière à laquelle on appliquera des divisions successives
• Sa partie fractionnaire à laquelle on appliquera des multiplications successives

• Remarque:
• Cette méthode est relativement plus simple et s’applique aussi bien aux nombres entiers qu’aux nombres non entiers.

7

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie entière

• Diviser le nombre à convertir par la base B
• Conserver le reste
• Répéter le processus à partir du nouveau quotient obtenu
• Arrêter lorsque le quotient est nul
• Écrire les restes à partir du dernier et de gauche à droite pour obtenir le nombre en base B

Méthode par divisions

8

(172)₁₀ = ( ? )₂

9

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie entière: Exemples

(3786)₁₀ = ( ? )₂

N = (3786)₁₀ = ( 111011001010)₂

Poids fort

Poids faible

10

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie entière: Exemples

358₁₀ = (546)₈

(358)₁₀ = ( ? )₈

(254)₁₀ = ( ? )₁₆

(254)₁₀ = ( FE )₁₆

Exemple 2

11

(7254)₁₀=(1C56)₁₆

Conversion de la base 10 à une base B

12

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie fractionnaire

• Multiplier la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base B
• Soustraire et Conserver sa partie entière
• Répéter le processus à partir de la nouvelle partie fractionnaire obtenu
• Arrêter lorsque la précision désirée est atteinte

Exemple 1 : (0,75)₁₀ = ( ? )₂

0,75 × 2 = 1,5 (on garde 1 et reste 0,5)

0,5 × 2 = 1,0 (on garde 1 et reste 0 : terminé)

(0,75)₁₀ = 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = (0,11)₂

13

(0,65)₁₀ = ( ? )₂

0,65 × 2 = 1,3 on garde 1, reste 0,3

0,3 × 2 = 0,6 on garde 0, reste 0,6

0,6 × 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2

0,2 × 2 = 0,4 on garde 0, reste 0,4

0,4 × 2 = 0,8 on garde 0, reste 0,8

0,8 × 2 = 1,6 on garde 1, reste 0,6

0,6 × 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2

….

(0,65)₁₀ = (0,101001)₂

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie fractionnaire: Exemple 2

14

(0,732)₁₀ = ( ? )₈

0,732 × 8 = 5,856 on garde 5, reste 0,856

0,856 × 8 = 6,848 on garde 6, reste 0,848

0,848 × 8 = 6,784 on garde 6, reste 0,784

0,784 × 8 = 6,272 on garde 6, reste 0,272

0,272 × 8 = 2,176 on garde 2, reste 0,176

….

D’où (0,732)₁₀ = (0,56662…)₈

Conversion de la base 10 à une base B

• Conversion de la partie fractionnaire: Exemple 3

15

Conversion du binaire vers Base 2ⁿ et vice-versa

• Binaire vers Octal

• Grouper les bits par blocs de 3 à partir du bit de poids faible
• Convertir ensuite directement ces blocs en octal

• Octal vers Binaire

• Traduire chaque chiffre du nombre en base 8 en nombre de 3 bits en base 2

Exemple :

(3157)₈ = (011 001 101 111)₂

16

Conversion du binaire vers Base 2ⁿ et vice-versa

• Binaire vers hexadécimal

• Grouper les bits par blocs de 4 à partir du bit de poids faible
• Convertir ensuite directement ces blocs en hexadécimal

• Hexadécimal vers Binaire

• Traduire chaque chiffre du nombre en base 16 en nombre de 4 bits en base 2

17

Conversion d’une Base i vers une base j

• Les deux bases sont des puissances de 2

• On utilise la base 2 comme base relais

Base i 🡆 Base 2 🡆 Base j

• Les deux bases ne sont pas des puissances de 2

• On utilise la base 10 comme base relais

Base i 🡆 Base 10 🡆 Base j

18

Tableau de correspondance entre nombre de différentes bases

19

• L’addition binaire classique est analogue à l’addition décimale. Il faut commencer par le bit de poids faible en utilisant les relations suivantes :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 avec un report de 1

Opérations Mathématiques: Addition

10 en binaire correspond à 2 en décimal

20

• • Les circuits numériques ne permettent pas d’additionner plus de deux nombres binaires à la fois. Les additions sont, en fait, une successions d’additions de deux nombres : le résultat de l’addition du premier et du deuxième est ajouté au troisième et ainsi de suite.

• • L’addition binaire est l’opération la plus importante des circuits numériques car les autres opérations comme la soustraction, la division et la multiplication en découlent.

• • Additionner deux nombre égaux revient à multiplier par (10)₂ en base 2, donc à lui ajouter un 0.

Exemple : 1 + 1 = 10 ; 1001 + 1001 = 10010 .

Opérations Mathématiques: Addition

21

Remarque:

L’addition peut faciliter la conversion d’une base vers la base décimale en décomposant le nombre à convertir

Exemple:(14A6)₁₆ est la somme de

(1000)₁₆ + (400)₁₆ + (A0)₁₆ + (6)₁₆.

⇒ (14A6)₁₆ =1x16³ + 4x 16² + 10 x 16¹ + 6

⇒ (14A6)₁₆= 4096 + 1024 + 160 + 6 = (5286)₁₀

Opérations Mathématiques: Addition

• Calculer : (BE)₁₆ + (8D)₁₆

• Calculer

(457)₈ + (673)₈ (5AF)₁₆ + (9B6)₁₆

22

• La multiplication binaire est analogue à la multiplication décimale en utilisant les relations suivantes :

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

Opérations Mathématiques: Multiplication

23

Opérations Mathématiques: Soustraction

• Table:

0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 et j’emprunte 1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

24

Opérations Mathématiques : Division

• La division binaire s'effectue à l'aide de soustractions et de décalages, comme la division décimale, sauf que les digits du quotient ne peuvent être que 1 ou 0
• Le bit du quotient est 1 si on peut soustraire le diviseur, sinon il est 0