COURS : Mécanique du point
Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de physique
EL Jadida Pr. Anoua M.
Cours sous forme de diapositifs (animation)
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UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE EL JADIDA | Année universitaire 2014/2015 Filière : SMP Module : Physique 1
|
MECANIQUE DU POINT
Responsable : Pr. M. ANOUA
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CHAPITRE I : RAPPELS (CALCULS VECTORIELS)
INTRODUCTION
SOMMAIRE
PARTIE IV : THEOREME GENERAUX
CHAPITRE V : OSCILLATEURS HARMONIQUES (LA LOI DE FORCE EN – K X)
CHAPITRE VI : GRAVITATION
CHAPITRE VII : CHOCS DE DEUX PARTICULES.
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La mécanique présentée ici concerne exclusivement la mécanique du point. Pratiquement elle concerne les objets matériels dont l’extension spatiale est très faible: leurs déformations et l’énergie liée à leur mouvement propre de rotation peuvent ainsi être négligées devant les énergies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineux que la terre ou le soleil peut dans certains cas être assimilable à un point en ce qui concerne, par exemple, son action sur des corps dans son entourage.
Nous n’étudierons pas de systèmes de très petites dimensions, à l’échelle atomique, domaine pour lequel il a été montré il y a un siècle que les notions de mécanique classique doivent être remplacées par celles de mécanique quantique.
De même la mécanique relativiste sort du cadre de cette présentation et nous n’envisagerons que des mobiles dont la vitesse est faible devant celle de la lumière (mécanique "classique"). Toutefois le principe fondamental de la dynamique sera donné dans le cadre relativiste, son expression étant très simple à partir de la quantité de mouvement, et nous en déduirons les relations classiquement utilisées que sont les lois de Newton.
Introduction
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Le but visé est de pouvoir relier le mouvement d’un corps aux forces qui lui sont appliquées. Pour cela, il nous faudra relier les forces (la force extérieure résultante) à l’accélération :
c’est le principe fondamental de la dynamique. Ensuite, nous apprendrons à relier l’accélération à la vitesse et à la position, opérations mathématiques regroupées sous le nom de cinématique :
Nous serons ainsi capables de décrire le mouvement à partir de la force appliquée, et inversement de déduire la force si la trajectoire est connue :
Nous supposerons qu'un temps unique peut-être défini en tout point de l'espace, et que les longueurs, masses, temps, et forces sont invariantes lors d'un changement de référentiel.
La mécanique du point n’exclut pas la mécanique des points et nous aurons de nombreuses fois l’occasion d’évoquer le comportement de plusieurs corps en présence et d’en définir certaines propriétés comme le centre de masse et la quantité de mouvement.
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►Le mot physique vient d’un mot grec qui signifie nature, donc la physique est une science qui s’intéresse à l’étude des phénomènes naturels.
► et la deuxième est la radiation dont l’étude est régit par la théorie classique de Maxwell
► Elle a pour but l’étude des composants de la matière et leurs interactions mutuelles afin d’expliquer les différents propriétés de la matière.
❖ La physique peut être divisée en deux grandes classes ; physique classique et physique moderne.
► La première est constituée de deux branches ; la mécanique qui s’occupe de l’étude des mouvements des systèmes matériels
❖ PHYSIQUE ?
7
❖ GRANDEURS FONDAMENTALES ET UNITÉS
L’étude des phénomènes physiques consiste à leurs associer des grandeurs. L’attribution à chaque valeur d’une grandeur un nombre est faite par la technique de la mesure. Mesurer une grandeur, c’est la comparer à une quantité de référence de même nature prise pour unité.
❖ D’une manière générale, on admet un système composé de six unités fondamentales ( système SI).
Les quatre premières unités forment le système international MKSA.
►le mètre, unité de longueur (m)
► le kilogramme, unité de masse (kg)
► la seconde, unité de temps (s)
► l’ampère, unité d’intensité de courant électrique (A)
- le degré kelvin, unité de température (°K)
- la candela, unité d’intensité lumineuse (Cd)
- La quantité de matière, unité mole (mol)
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ou
Le premier membre a la dimension d’un temps (s); il faut que le deuxième membre ait
la même dimension, sinon la formule est fausse.
1er cas :
2ième cas :
Faux
Vérification de l'homogénéité d'une formule
Exemple : vérification de l'homogénéité de l'expression de la période d'un pendule simple :
9
Les lois physiques sont formulées mathématiquement en termes d’équations différentielles ; loi fondamentale de la dynamique, équation des mouvements Harmoniques, etc…
Résolution des équations différentielles
a y’ +b y = 0 est y = C ert
Où r =- a/b est la solution de l’équation caractéristique ar+b = 0 et
C est une constante.
2) La solution générale de l’équation ( de l’oscillateur harmonique). :
y’’+ω2y = 0 est y =A sin(ωt)+B cos(ωt)
où A et B sont deux constantes
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3) La solution de l’équation du second ordre homogène à coefficients constants
a) Si Δ > 0;
la solution générale est :
où A et B sont des constantes et
b) Si Δ > 0;
la solution générale est :
c) Si Δ = 0;
ay’’+by’+cy = 0
On distingue trois cas, suivant la valeur du discriminant : Δ = b2 - 4ac
la solution générale est :
4) La solution de l’équation du second ordre homogène à coefficients constants avec
Second membre :
ay’’+by’+cy = f(t)
11
La méthode de résolution d’une équation différentielle linéaire à coeffcients constants avec second membre est la suivante :
a) Recherche de la solution générale yg de l’équation sans second membre (ESSM) associée par utilisation de l’équation caractéristique (EC).
b) Recherche d’une solution particulière yp de l’équation avec second membre.
c) Utilisation de la formule y =yg +yp
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I- Définition d’un Vecteur:
Un vecteur est une grandeur définie par trois paramètres:
⮚ Une direction : qui désigne le support du vecteur
⮚ Un sens : qui désigne l’orientation du vecteur
⮚ un module : qui désigne la grandeur du vecteur
MODULE
SENS
DIRECTION
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-LOIS VECTORIELLES
- Vecteurs unitaires
Les vecteurs dont le module (la longueur) est l’unité de longueur sont appelés vecteurs unitaires
14
VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX :
15
- Ecriture d’un vecteur :Composantes d’un vecteur
16
- Produit scalaire
Remarques :
Le produit scalaire satisfait les lois suivantes :
17
LE PRODUIT VECTORIEL
18
REMARQUES:
19
DÉRIVÉE D’UN VECTEUR
DERIVEE DU MODULE
par rapport à t
DERIVEE DU SENS
Par rapport à t et par R
Et sa dérivée par rapport à R
Si est un vecteur de module A, alors est un vecteur unitaire de même
direction et de même sens que , avec
20
La cinématique a pour but de préciser les trajectoires et les lois horaires.
🢡 On suppose que l’espace est de dimension au plus 3 et que le temps est absolu indépendant du lieu.
⇨ Nous admettons que sa vitesse v est négligeable devant la célérité de la lumière c.
❖ Hypothèses en mécanique classique
⇨ On considère que tout système physique est réduit à un point matériel (particule M) coïncidant avec son centre de gravité et contenant sa masse m.
❖ Définition de la cinématique
❖ Pour étudier le mouvement d’une particule M, on doit repérer la position de cette particule dans :
⮚ le temps et dans
⮚ l’espace
La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouvements des corps dans l’espace en fonction du temps indépendamment des causes qui
les provoquent.
21
Pour repérer la position d’une particule, il est nécessaire de définir
un repère d’espace . A un solide, lié à ce repère d’espace, on fixe une origine O et une base
Le trièdre est le repère d’espace.
Pour étudier le mouvement d’une particule, on a aussi besoin d’un repère de temps .
On définie un repère de temps par une origine et une unité à l’aide d’une horloge.
Le repère d’espace et le repère de temps définissent un référentiel.
Un référentiel est donc un « objet+horloge » par rapport auquel on étudie le mouvement.
Tout mouvement est relatif au référentiel utilisé.
⮚ Repère d’espace
⮚ Repère de temps
⮚ Référentiel
22
La position d’une particule M est sa trace dans un repère au cours du temps .
🞜 POSITION ET TRAJECTOIRE
-⮚ La position
-⮚ La trajectoire
La trajectoire d'une particule mobile est l'ensemble des positions occupées
par ce point au cours du mouvement.
Repère R0
(Fixe)
Repère R
(Mobile)
Trajectoire de M (Valve)
par rapport à R0 :
Exemple :
Trajectoire de M (Valve)
par rapport à R : cercle
23
⇨ Position du point matériel
La position du point matériel peut être définie au cours du temps en fonction du vecteur position
On peut aussi repérer ce point en utilisant les différents systèmes de coordonnées.
Ce point M parcourt la trajectoire C et à chaque instant sa position est repérée par :
⇨ ses coordonnées (x, y, z) :
R (OXYZ) référentiel
Ou
X(i)
Y (j)
Z (k)
O
M
r
y
x
z
u
m
Le vecteur s’écrit dans ce cas :
⇨
Avec :
Vecteur unitaire de la direction
24
est égale au déplacement par unité de temps, soit :
Soit une particule M mobile sur une trajectoire
M’(t+Δt)
définie par rapport à un référentiel R (OXYZ).
M(t)
La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [ t , t+ Δt ]
A chaque instant t, la position de M est repérée par :
O
X
Y
Z
25
�On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points
( x, f(x) ) et (x+h, f(x+h)).
🖐
🕮 Rappels mathématiques: Dérivée d'une fonction
O
X
Z
R(oxyz)
sécante
x
x+h
f(x+h)
f(x)
h
f(x+h)-f(x)
f(x)
Sa pente est :
Lorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f(x) en x. M
26
La pente de cette tangente est appelée « dérivée de f en x »
O
x
M(t) tend vers M’(t)
Z
R(oxyz)
f(x)
En cinématique, la variable est généralement le temps t, soit :
27
Pour obtenir la vitesse à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro
dans l'expression de la vitesse moyenne sur l'intervalle [t,t+Δt].
🖎
Soit :
On a la vitesse moyenne :
Et la vitesse à l'instant t (vitesse instantanée):
28
⇨ la norme du vecteur vitesse indique la longueur parcourue par unité de temps.
🞜
On a donc :
☠
O
X
Y
M(t)
M0(t0)
M’(t+Δt)
Z
R(oxyz)
Trajectoire de M par rapport à R
V(M)/R
vecteur vitesse tangent à la trajectoire
est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire
On a :
En chaque point de la courbe:
⇨ le vecteur vitesse est tangent à la courbe; elle indique la direction du déplacement;�
⇨ le sens du vecteur vitesse indique le sens du mouvement du mobile;
29
🖐 VECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEE
L'accélération moyenne sur l'intervalle de temps [ t , t+Δt ] est égale à la variation de vitesse par unité de temps, c'est-à-dire :
Pour obtenir l'accélération à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de l'accélération moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt] :
30
⮚ I- REPERE CARTESIEN
- Coordonnées cartésiennes:
Dans un repère orthonormé d'axes ox, oy, oz et de base orthonormée
La position du point M au cours du temps est définie par le vecteur position.
X
R (OXYZ) repère
Y
Z
O
M
y
x
z
x, y, z sont les coordonnées du point M,
Le module de OM est
m
31
⮚ II- REPERE CYLINDRIQUES
En coordonnées cylindriques, la position du point M est repérée par :
��
M
ϕ(t)
m
ρ(t)
z(t)
x
y
Z
O
ϕ ( t )=(0x,0m): l'angle polaire ϕ
| Om | :
ρ ( t ) = rayon polaire , tel que ρ
z( t ) = /mM/ : la cote z
ρ(t), ϕ(t), et z(t), telles que :
32
- Trouver une relation entre (ρ , ϕ ,z) et (x, y , z) :
- Le vecteur vitesse :
- Le vecteur accélération s'écrit :
- Le vecteur position s'écrit :
Et puisque : eρ = cos ϕ i + sin ϕ j
On a :
avec :
Avec vecteur unitaire tel que forme une base orthonormée directe.
x = ρ cosϕ où ρ =
y = ρ sinϕ où ϕ = Arctang
z = z
Dérivée d’un vecteur
i
j
e
e
ϕ
ϕ
ρ
33
DERIVEE D’UN VECTEUR
La dérivée du module /temps
La dérivée du sens /temps/R
Et le vecteur V(t) s’écrit :
Soient un vecteur de l’espace vectoriel E
Et un référentiel R muni d’une base
(D)
Et u vecteur unitaire qui représente le sens du vecteur V(t)
Si non on détermine
R
i
j
k
34
DÉTERMINER LA DERIVEE D’UN VECTEUR
Remarque :
Soit un vecteur
θ(t)
O
Y
X
Unitaire défini par l’angle θ (voir figure)
On peut écrire :
Donc :
35
Conclusion:
Nous retenons donc, très important, que dans un plan :
, obtenu par rotation de
π/2 dans le sens des q croissants.
θ(t)
O
y
x
La dérivée d’un vecteur unitaire (défini par ) ,
θ(t)
est un vecteur perpendiculaire à
Construction graphique
36
Et d’après la figure suivante :
- De même pour l’accélération, on obtient :
On peut écrire :
i
j
e
e
ϕ
ϕ
ρ
On a:
REMARQUES :�
Et la vitesse de M s’écrit dans la base :
37
🞜 REPERE SPHERIQUE
En coordonnées sphériques la position du point M est repérée par :
Le point m est la projection orthogonale de M sur le plan horizontal (ox,oy).
θ(t)
ϕ(t)
m
x
y
z
O
M
r(t)
R(oxyz)
( r(t), θ(t), ϕ(t) ) :
38
Quel est le domaine de définition de r(t), θ(t) et ϕ(t) pour que le point M décrit l’espace une et une seule fois ?
⌦ Domaines de définition de r(t), θ(t) et ϕ(t)
- Si On fixe r =/OM/= constante et on fait varier ϕ de
on fait varier θ pas à pas de 0 à ?? :
on obtient donc un point (θ = 0, z=r )
M∊ un cercle de centre M’ et de rayon=r sin1
Soit θ = 5° ⇨
Soit θ = π/2 ⇨
Soit θ = 3π/4 ⇨
Soit θ = π ⇨
Donc pour que le point M décrit la sphère une et une seule fois :
Il faut que :
Et pour que le point M décrit tout l’espace il faut que
Soit θ = 0 ⇨
Soit θ = 1° ⇨
M ∊ un cercle (M’,r sin5)
M ∊ un cercle (M’,r sinp/4)
M ∊ un cercle (O,r)
M est un point (θ = π, z=-r )
Quel est le domaine de définition de θ(t) pour que le point M décrit la sphère de rayon r une et une seule fois ?
Réponse :
39
On fait varier θ(t) de 0 à π
r est une constante
On fait varier ϕ(t) de o à 2π
x
y
z
M
θ(t)=0
θ=π/2
Donc le domaine de définition de r(t), θ(t) et ϕ(t) pour que le point M décrit l’espace une et une seule fois :
40
41
θ
🢫 La position de M est donnée par :
Avec :
m
M
θ
z
O
m
x
ϕ
Dans le plan (Om,k)
et un vecteur unitaire , tel que:
Base du repère sphérique
Pour former une base du repère sphérique,
⮞ perpendiculaire à er dans le sens de θ
⮞ dans le plan ( k , er ),
z
O
x
y
M
M’
M’
on définit un autre vecteur unitaire eθ qui est :
42
A partir du repère sphérique, on peut définir les repères suivants:
R ( i , j , k )
R1( u , v , k )
R2( er , eθ , eϕ ) muni de la base sphérique
fixe
/ ( i , u ) = ϕ et u v = k
On remarque que :
= ?
= ?
🖎 DERIVEE DU VECTEUR : er ?
🢫
= ?
θ
m
z
O
ϕ
M
θ
z
O
m
x
Dans le plan (Om,k)
x
y
u
k
Quelle est la dérivée de er par rapport à :
i
j
k
43
⮞
⮞
car er est « lié » à R2
= ?
= ?
Puisque :
⮞
donc :
: R2( er , eθ , eϕ)
On a :
R1( u , v , k )
M
θ
z
O
m
x
u
44
eϕ = er ٨ eθ
donc :
Soit :
⮚ De la même façon, on obtient :
⮚ Et la relation :
, nous donne :
eϕ = - sinϕ i + cosϕ j
⮚ Expression du rayon vecteur OM
Dans R2 : OM = /OM/ er = r er
Dans R1 :
r cosθ
OM
=
+
u
k
r sin θ
ou bien, on peut remarquer :
❖RELATION ENTRE
⮚ Dans la base ( u , v , k ) , er peut s’écrire :
er
+
u
k
+
( er • u )
=
v
( er • k )
( er • v )
cosθ
er
=
+
u
k
sin θ
Et puisque : u = cosϕ i + sinj j
er = sinθ cosϕ i + sinθ sinϕ j + cosθ k
eθ = cosθ cosϕ i + cosθ sinϕ j - sinθ k
Dans R :
OM = rsinqcosϕ i +rsinθsinϕ j +rcosθ k
45
On a :
et on a démontré que :
Et l’accélération de M par rapport à R :
Et puisque : OM = r er , donc :
Donc :
= ?
Soit:
46
🞜 COORDONNÉES POLAIRES DE M
⮚ r(t) et θ(t) peuvent varier en fonction du temps :
x = ρ cos θ et y = ρ sin θ
,
⮚ On définit les vecteurs unitaires ( eρ , eθ ) dans la base ( i , j ) par :
On a : OM = ρ eρ
Soit une particule M mobile dans le plan Oxy du repère R(Oxyz)
⮚ En coordonnées polaires, la position de M est repérée par :
- le rayon vecteur OM de module ρ(t)
- l'angle polaire θ(t).
Remarque :
Représenter
(τ , n )
Remarque :
τ
n
M
x
y
θ
O
( j )
( i )
ρ(t)
e
θ
e
ρ
47
Dans la base des coordonnées polaires le vecteur position s'écrit :
⮚ Dans le cas où r est une constante (mouvement circulaire), on aura :
τ
n
M
x
y
θ
O
( j )
( i )
ρ(t)
e
θ
e
ρ
La vitesse de M/R :
Donc :
Et
Donc :
48
🞜 REPERE DE FRENET
qui est un référentiel dont les axes sont définis par les vecteurs unitaires suivants :
Le trièdre construit sur la base directe
est appelé trièdre de Frenet.
b = τ ʌ n
est un vecteur tel que :
n
b
τ
, n ,
( τ ,
b )
L'origine du trièdre est le point M et non pas le point O.
A chaque point M de C, il est possible d'associer un trièdre d'origine M
Soit un référentiel R et un point M de la trajectoire C/R
est un vecteur unitaire tangent à C en M
est un vecteur unitaire normal à C en M
Le plan ( , ) est appelé plan osculateur.
τ
n
M
n
b
R(oxyz)
o
C par
rapport à R
τ
49
Par définition, on a :
Soit :
est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire
A fixe par rapport à R.
O
X
Y
Z
R(oxyz)
M(t)
M’(t+Δt)
τ
n
n
dθ
τ
C
A
Et puisque :
et
Donc, on peut écrire :
Et soit C le centre de courbure donc : /CM/ =Rc rayon de courbure.
Soient un repère R et un point de la trajectoire à l’instant t et t+Δt
On défini le repère
de FRENET à chaque point M
Et dθ l’angle entre CM et CM’
On pose :
50
🞜 Expression de l’accélération dans le Repere de Frenet
On a :
Et puisque :
Donc :
On peut écrire :
Et puisque : ds = Rc dθ
On obtient :
Rc
ds
dθ
??
En effet on a:
Donc s’écrit :
51
🞜 Rayon de courbure
O
X
Y
Z
R(oxyz)
C centre de courbure et/CM/=Rc rayon de courbure
M
C
n
γ (Μ)
γ (Μ)
τ
γ (Μ)
Et d’après le triangle (MNP), on peut écrire :
N
P
Et le rayon de courbure s’écrit:
52
1) Mouvement rectiligne
a- Définition
Dans un repère R, un point matériel M est animé d'un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une droite et si les vecteurs position (O point fixe dans R), vitesse
Et accélération
sont colinéaires et portés par cette droite.
b- Mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est rectiligne et uniforme s'il répond à la définition (a) et si en plus, le module de la vitesse est constant, c'est-à-dire ; ainsi pour un tel mouvement nous avons:
Remarques :
* Si M décrit un mouvement rectiligne uniforme et i un vecteur unitaire sur la droite trajectoire, nous avons :
* Un mouvement sur une trajectoire quelconque (pas nécessairement rectiligne) est uniforme si le module de la vitesse est constant sur cette trajectoire :
Exemple de mouvement particuliers
53
c- Mouvement rectiligne uniformément varié
Un mouvement est rectiligne et uniformément varié s'il répond à la définition (a) et si en plus le module de l'accélération est constant sur la trajectoire, c'est-à-dire
Remarque :
* Un mouvement uniformément varié est dit accéléré si :
* Un mouvement uniformément varié est dit retardé si:
d - Mouvement rectiligne sinusoïdal
Un mouvement est rectiligne sinusoïdal s'il répond à la définition (a) et si en plus, l'abscisse du point mobile M est à chaque instant de la forme :
x(t) = Xm sin(ωt + ϕ)
Xm est l'amplitude maximale du mouvement,
ω est la pulsation et
ϕ est la phase.
Vecteur position :
Vecteur vitesse :
Vecteur accélération :
54
2) Mouvement circulaire.
Dans ce cas, le mobile se déplace sur un cercle (C) de rayon R et de centre O.
Ce cercle est situé dans le plan (xOy). Pou étudier le mouvement de M, on représente la figure suivante :
On a :
Avec :
Donc :
de même :
55
r = R
ϕ = ϕ(t) avec ϕ = ( Ox ,OM)
z = cte (= 0 dans le cas de la figure)
Soit en coordonnées cartésiennes :
x(t) = R cos ϕ
y(t) = R sin ϕ
z(t) = cte (= 0 dans le cas de la figure).
- Exemple de Mouvement circulaire en coordonnées cylindriques
Un point matériel M est animé d'un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle ( voir figure).
Si R est le rayon du cercle trajectoire le point M peut être défini par ses équations paramétriques :
Soit en coordonnées cylindriques:
56
🖑 Exemples de calcul de rayon de courbure :
🗹 Mouvement circulaire de rayon R :
🗹 Mouvement rectiligne :
Donc, dans ce cas Rc tend vers l’infini
M(t)
O
M
θ
plan(Oxz)
On a:
En reportant ces équations
dans l’expression de Rc :
x
O
z
57
❑ - HODOGRAPHE DES VITESSES
L'ensemble des positions de H constitue l'hodographe du mouvement par rapport à O
O
H(t1)
H(t2)
H(t3)
H(t4)
Remarque : Le vecteur accélération est tangent à l'hodographe, en effet :
⮚Analytiquement, L’odographe des vitesses par rapport à un point O fixe est donc l’ensemble des positions d’un point H, tel que :
Hodographe
γ(M)
⮚ Géométriquement, l’odographe par rapport à O:
A chaque point de la trajectoire de M, on trace le vecteur vitesse de M.
Et soit un point O fixe /R :
On représente le vecteur vitesse équivalent par translation au point O:
V(t)
V(t+Δt)
V(t+Δt)-V(t)
OH = V(M)
O
M(t1)
M(t2)
M(t3)
M(t4)
V(M)
Hodographe
🞜 V- CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL
58
5.1- Données du problème
Soient deux repères et un point matériel :
(3) : M une particule mobile par rapport à R et R0 :
(2) : R ( O x y z ) mobile de base
Le mouvement de R par rapport à R0 est appelé mouvement d’entraînement.
M
Trajectoire de M par rapport à R
Trajectoire de M par rapport à R0
(1 ): R0 ( O0 x0 y0 ) fixe de base
Ces bases sont orthonormées directes
(fixe)
La particule M mobile possède deux trajectoires :
- une trajectoire par rapport à R0 appelée absolue
- une trajectoire par rapport à R appelée relative.
O0
R0
y0
x0
z0
y
(Mobile)
O
R
z
x
59
R0
R
Trajectoire de M
par rapport à R
Trajectoire de M
par rapport à R0
- ⮚ Exemple.
Considérons le mouvement d'une valve (particule M) sur la jante d'une roue de vélo lorsque celle-ci roule, sans glisser, sur une route horizontale. La situation est schématisée ci-dessous:
60
🖎 La trajectoire dépend donc du repère, on dit que la trajectoire est relative.
R(oxyz)
o
🢫 La trajectoire de la valve par rapport à :
1- Référentiel lié à l’axe de la roue : R
Trajectoire en vert par rapport à R
2- Référentiel terrestre : R
R
Trajectoire en rouge par rapport R
M
- ⮚ Exemple.
Considérons le mouvement d'une valve sur la jante d'une roue de vélo lorsque celle-ci roule, sans glisser, sur une route horizontale. La situation est schématisée ci-dessous:
61
Fixe au sol : R0
Fixe à l’axe de la roue :R
62
63
- MOUVEMENT ABSOLU DU POINT M
Le mouvement de la particule M par rapport à R0 est appelé mouvement absolu
Si
Alors :
En effet est liée au repère R0
et
Soit :
64
🞜 MOUVEMENT RELATIF DU POINT M
Le mouvement de la particule M par rapport à R est appelé mouvement relatif.
Si
Alors :
et
Soit :
Les dérivées de i, j, et k sont nulles, en effet la base
est liée au repère R.
La vitesse relative s’écrit :
65
MOUVEMENT D’ENTRAINEMENT DE R PAR RAPPORT A R0
Remarque :
R est en rotation par rapport à R0 si au moins deux vecteurs
de changent de sens par rapport à R0
Exemple d’une rotation de R/R0 autour de Oz:
Le mouvement d’entraînement de R par rapport à R0 est définit
par la connaissance :
🢧 de la vitesse d’un point fixe de R par rapport à R0, soit : V(O)/R0
V(O)/R0=Va(O)
θ(t)
🢧 du vecteur rotation de R par rapport à R0, soit :
R0
O0
y0
x0
z0
O0
R0
y0
x0
z0
R
O
y
x
z
O
z
y
x
66
Z=z0 perpendiculaire au plan
Et O=O0
z0
O0
θ
y0
x0
z0
R0
y
x
z
R
x
y
z
X0
Y0
R0
O=O0
y
x
θ
θ
R0
O0
y0
x= x0
R
k = K0
j = J0
R
R
67
- EXPRESSION DE :
A partir des relations (7) , (8) et (9) (voir cours), on peut remarquer que :
Et puisque, on a posé
,donc :
68
et sa dérivée par rapport au temps et par rapport à R0 est donnée par la relation suivante :
Donc :
, un vecteur peut s’écrire :
69
DECOMPOSITION DES VITESSES
La vitesse de M par rapport à R0 est la vitesse absolue de M :
On a :
Et d’après ( Th.D ), on a :
Et puisque :
Donc :
Et on obtient :
70
Soit :
Puisque l’entraînement de R/R0 est caractérisé par la vitesse absolue de O et la rotation de R/R0 :
Donc le terme
peut représenter la vitesse d’entraînement de R/R0
Ce qui implique :
La vitesse d’entraînement est donc équivalente à la vitesse absolue de la trace (point coïncidant) de M dans R.
On a :
Si M est fixe dans R alors
Remarque :
Si M est fixe dans R, déterminer
71
Conclusion
ou
ou
ou
Vitesse
absolue
Vitesse
relative
Vitesse
d’entraî
-nement
72
🞖 DECOMPOSITION DES ACCELERATIONS
Par définition on a :
Et puisque :
On peut écrire:
Soit :
73
⮚
⮚
⮚
??
74
Un mouvement circulaire de rayon « a cos θ »
et de vitesse angulaire ω
Le mouvement de M par rapport à R0 Si on fixe M dans R est :
Sans faire de calcul :
Autres méthodes de calcul de Ve
1-
2-
Et puisque :
Donc :
Donc :
La vitesse est tangente à la trajectoire donc à i
M
θ
u
K
75
D’après ces relations, l’expression de l’accélération absolue de M, s’écrit :
Soient :
est l’accélération d’entraînement de M .
est l’accélération de Coriolis de M.
Terme qui représente
l’entraînement de R/R0
Terme
Complémentaire
« Coriolis »
76
Remarque :
Sachant que :
Réponse :
Déterminer , quel que soit M, en fonction de
77
Les lois de la dynamique établissent les liens entre le mouvement du corps et les causes ayant déclenché ou modifié ce mouvement. Et connaissant les conditions initiales de ce mouvement, il est possible de prévoir son déroulement ultérieur.
I-NOTION DE FORCES
La notion de force est intuitive, elle n’apparaît qu’à travers les différents effets qu’elle produit. Exemples:
1.1-Caractère vectoriel d’une force
- Son point d’application : B
- Sa direction : le support AB
- Son sens : de A vers B
- Son module : intensité F
Nous appliquons au point B une force F qui traduit l’effet produit
A
B
Cette force est un vecteur, tel que :
78
1.2- Quantité de mouvement
La quantité de mouvement (q.d.m) d’un point matériel M(m) mobile est
le produit de sa vitesse par sa masse.
La quantité de mouvement de M(m) est donc lié à la quantité de matière
contenue dans le point matériel mobile.
Et sera notée :
79
En mécanique classique, on considère que tout système de particules physique est réduit à un point matériel coïncidant avec son centre de gravité et contenant sa masse totale m.
Tout système matériel est formé de plusieurs particules quasi ponctuelles A1 , A2 , ..An de masse m1 , m2 , …mn
G
Le centre d’inertie G de ce système
est défini par :
Soit un point O quelconque (généralement origine d’un repère), On peut montrer à partir de cette relation que :
O
R
A2
(m2)
An
(mn)
A1
(m1)
(m1 + m2 +…..+mn)
80
II- LOIS DE NEWTON (1687)
Ces lois constituent les lois fondamentales de la mécanique.
🢂 1ère loi : Principe d’inertie.
Un corps soumis à aucune force reste immobile ou décrit un mouvement rectiligne uniforme :
donc
Si
🢂 2ème loi : Principe fondamental de la dynamique.
Lorsque la force totale agissant sur un corps est Celle-ci lui communique une accélération , on a:
🢂 3ème loi : Principe de l’action et de la réaction
Quand deux corps 1et 2 interagissent, la force exercée par le corps 1
sur le corps 2 est égale et opposée à la force exercée par le corps 2
sur le corps 1. Exemple :
Terre Lune
FT\L FL\T
FL\T = - FT\L
81
III- FORME GÉNÉRALE DE LA SECONDE LOI DE NEWTON (PFD)
Le P. F.D s'annonce sous la forme :
ou bien
qui s’écrit encore :
Puisque la masse du point matériel est invariante au cours du mouvement:
Dans la mécanique moderne, il est démontré que la masse m d’un corps dépend de la vitesse du mouvement quand celle-ci s’approche de celle de la lumière c (c=3. 108 m/s):
Où m0 est la masse constante du corps à la vitesse v.
82
Nous savons, par expérience, que le mouvement d’une particule est déterminé par la nature et la disposition des corps qui l’entourent, c’est-à-dire son environnement. Ainsi, le mouvement est le résultat de l’interaction entre la particule et son environnement. Cette
interaction, appelée force, est caractérisée par les propriétés de la particule (masse, charge, moment dipolaire …) et par la nature de l’environnement dans lequel elle est placée.
I. CONCEPT DE FORCE
I.1. Notion de force
Nous avons vu qu’en physique, la force est, intuitivement, perçue comme une grandeur qui traduit les interactions entre les objets. C’est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement d'un corps, ou d’engendrer sa déformation. Il est possible de classer les forces
en forces de contact ou actions à distance.
83
• Il y a force de contact lorsqu’elle traduit une interaction entre deux corps en contact physique. Les forces de contact comprennent, par exemple :
- les "forces de frottement" : les forces de frottement apparaissent lorsque deux corps en contact sont en mouvement relatif, l’un par rapport à l’autre. Elles s'opposent toujours au mouvement du corps considéré.
- les "forces de tension" exercées sur un corps : ce sont des forces qui tirent sur un élément d'un corps comme par exemple, la tension exercée par un fil ou par un ressort.
Les "forces à distance" : ce sont des forces qui peuvent se manifester même s’il n’y a pas de contact physique entre les deux corps qui interagissent. Ces forces interviennent par l'intermédiaire de champs vectoriels comme par exemple :
les forces de gravitation : ce sont des forces d’attraction qui s’exercent entre des corps et qui sont dues à leurs masses. Le poids d’un corps et les forces échangées par les astres sont essentiellement des forces de gravitation.
84
• les forces électriques : elles s’exercent entre deux objets portant des charges électriques. Elles peuvent être aussi bien attractives que répulsives.
• les forces magnétiques : elles s’exercent entre des aimants, entre des aimants et certains matériaux (en particulier le fer) ou bien entre deux conducteurs parcourus par un courant électrique. Elles, aussi, peuvent être attractives ou répulsives.
85
I.3. Interactions fondamentales
Malgré leur grande diversité, les forces rencontrées dans la nature sont les
manifestations des quatre interactions fondamentales :
- l’interaction gravitationnelle : elle se manifeste par une force d’attraction entre toutes les particules. Cette force apparaît dans la plupart des phénomènes décrits par l'astronomie et la géologie (le mouvement des astres, la montée des marées ; les corps attirés
par la Terre en son voisinage, la non désagrégation de la Terre …).
- l’interaction électromagnétique : elle se manifeste entre les charges électriques dans tous les phénomènes faisant intervenir l'électricité et/ou le magnétisme.
- l’interaction forte : c’est l’interaction qui s’exerce entre les nucléons qui sont les constituants du noyau d’un atome. Elle permet aux particules composées de quarks, comme les protons et les neutrons, de ne pas se désagréger. Elle s’exerce à très courte distance et est
responsable de la cohésion du noyau.
- l’interaction faible : elle s'applique à toutes les particules de matière (quarks, électrons, neutrinos, etc...). En particulier, les neutrinos, qui sont électriquement neutres et qui ne sont pas des quarks, ne sont sensibles qu'aux interactions faible et gravitationnelle.
L'interaction faible se manifeste dans certains types de réactions nucléaires telles que la radioactivité.
86
IV- DIFFERENTS TYPES DE FORCES :
4.1- Les forces à distance
Ce sont des forces dont la portée peut être étendue jusqu'à l'infini, parmi lesquelles on peut citer :
a - Force d'attraction universelle
Si on considère deux particules A1 et A2 de masses m1 et m2 voisines l'une de l'autre, alors chacune exerce sur l'autre une force dite d'attraction universelle de Newton.
Avec r = /A1A2/
Où G est la constante universelle , G = 6,6710-11 N.m2/kg2
b- Force électrostatique (voir cours d'électricité en S2)
Considérons deux particules de charges électriques q1 et q2 , ces deux particules exercent l'une sur l'autre des forces d'interactions données par la loi de Coulomb :
Où K= 8,99.109 Nm/Coul2 et
r est la distance entre les 2 charges
A1
m1
A2
m2
et r est la distance entre les 2 charges
87
4.2- Forces de contact: Exemples : Les contraintes mécaniques, Les forces de frottements, Les liaisons chimiques, Les interactions nucléaire…
🖑 FORCE DE FROTTEMENT
Sens du déplacement
P
R
j
M(m)
Soit la base :
Donc :
O
On a :
Choix de la base de la projection :
Soit M en mouvement rectiligne sur un support (sol) tel que /OM/= x
Il est soumis à deux forces : son poids et la réaction du sol sur M
Soit :
T
N
88
Donc le cas général, la force est inclinée par rapport à la normale à la surface de mouvement.
REMARQUE 1 :
Dans notre cas :
Le vecteur de déplacement = τ , donc :
Donc :
On a :
N force normale à la surface de contact
T force tangente à cette surface :
☠ Remarque 2 :
S il n y a pas de frottement du sol sur M, on a:
89
V- REFERENTIELS GALILEENS
5.1- Définition
Un référentiel R, dans lequel la 1ère loi de Newton est vérifiée, est Galiléen
au repos
- Exemples de repères Galiléens :
1- Référentiel de Copernic :
l’origine est le centre de gravité du système solaire et ses 3 axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.
2- Référentiel terrestre
l’origine est le centre de la Terre et les axes sont liés à la Terre.
R est en Mouvement
rectiligne uniforme
ou
90
- Remarques pratiques : Définition d’un repère Galiléen
1- Si un repère quelconque R est en mouvement rectiligne uniforme ou au repos par rapport à un repère Galiléen, ce repère R est Galiléen.
2- Dans un repère Galiléen, les forces exercés sur une particule, lié à ce repère, sont uniquement des forces réelles ( Poids, Réactions, …..)
3- Soient un repère R0 Galiléen et un repère R en mouvement par rapport à R0 .
R est Galiléen , si :
et
la vitesse de son origine O est constante par rapport à R0
91
PARTIE IV : THEOREME GENERAUX
I: THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
1.1- Moment d’un vecteur (rappel)
Tel que :
Remarque :
Le moment en O de toutes ces forces est défini par :
Si M est soumis à un ensemble de forces F1 , F2 , …….., Fn
On appelle moment d’un vecteur V d’origine M, par rapport à un point O, le vecteur, noté :
92
1.2- Moment cinétique
Le moment cinétique par rapport à un point A, d’une particule M de masse m animé d’un mouvement de vitesse V(M), est le moment de la q.d.m p par rapport à A :
1.3- Théorème du Moment cinétique (T.M.C.)
- Forme générale:
Soient M un point matériel, de masse m et de vitesse V(M)/R
Le moment cinétique de par rapport à un point quelconque A :
Dérivons par rapport au temps et /R :
M(m)
V(M)
A
93
Développant cette dérivée :
(PFD)
Le théorème du moment cinétique (par rapport à un point quelconque) A écrit :
et
94
CAS PARTICULIERS DE L’APPLICATION DU TMC :
1- Si A est fixe par rapport à R et soit A=O :
On a donc :
Le T.M.C. s’écrit :
Remarque :attention pour les forces si R est Galiléen ou non
2- Mouvement à forces centrales
Un mouvement est dite à force centrales si à chaque instant la force est dirigée vers un point fixe 0
O est un point fixe /R donc :
et
car
Donc :
Pour cette condition, ces mouvements possèdent des propriétés particulières :
O
R
M(m)
95
* Propriétés et conséquences des mouvements à forces centrales :::::::::::::::
Pour ces mouvement, on a :
Donc :
On peut écrire :
Ce qui implique :
Le mouvement de M est
donc situé dans le plan P :
Mouvement Plan
Repérons M par ses coordonnées polaires ( r, ϕ ) :
Et d’après le T.M.C :
Soit :
Donc :
R
M(m)
O
ϕ
r
M
O
P
96
On a :
A l’instant t la particule occupe la position M(t)
r
dS
da
Et le vecteur OM balayé la surface dS.
Application et conséquence (la loi des Aires)
Soit :
Et a l’instant t+dt la particule occupe la position M(t+dt)
Et d’après ce triangle :
M(t)
R
O
M(t+dt)
dϕ
Interprétation :
L’aire balayé (par le vecteur OM ) par unité de temps est constante :
c’est la loi des Aires.
97
II - THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE
2.1- Travail
Et puisque :
Ce travail s’écrit :
M
C
Si la force F déplace le mobile M de la position M1 à M2, le travail total :
dM
M1
M2
R
O
Considérons une force F appliquée à un point mobile M se déplaçant le
Long d’une trajectoire © .
On appelle travail élémentaire de la force F, lors de ce déplacement
la quantité scalaire :
Soit dM un vecteur déplacement infinitésimal du point M sur © .
98
L'unité du travail est le Joule : 1 [J] = 1 [N.m] = 1[kg.m2/s2]
Remarque :
W = F d cos α
Une force perpendiculaire au déplacement (α = 90°)
n'effectue aucun travail car le cos90°=0 donc W=0
On a :
Soit :
On parle de travail moteur lorsque α < 90° (cosa > 0)
par ex. travail de F motrice.
On parle de travail résistant lorsque α > 90° (cosa < 0)
par ex. travail de F frottement.
F
F
F
dM
où α est l'angle entre F et dM et d=/dM/
99
2.2- puissance
Pour faire un même travail deux machines peuvent mettre des temps différents.
On définit donc la puissance P comme :
Soit :
Le cheval-vapeur est une unité de la puissance : 1 [CV] = 736[W].
Le kilowattheure [kW.h] est une unité de travail.
L'unité de la puissance est le Watt: 1[W] = 1 [J/s] = 1[kg.m2/s3]
Remarques :
La puissance effectuée par F est donc:
100
2.3- Théorème de L’énergie Cinétique
Démonstration de Théorème de L’énergie Cinétique (T.E.C) :
On a :
Et d’après le P.F.D, dw s’écrit :
Soit :
Ce qui implique :
La quantité Ec est appelée énergie cinétique de la particule M de mase m,
Nous considérons maintenant F comme la résultante de toutes les forces
appliquées à ce point matériel M de masse m.
Et le Théorème de L’énergie Cinétique s’écrit :
ou
101
Remarque :
(unité de W et Ec est : le Joule)
La variation de l’énergie cinétique par rapport au temps, d’une particule M de masse m, en mouvement est égale au travail des forces qui lui sont appliquées.
Le travail à fournir pour communiquer une vitesse à un corps de masse m vaut donc ½mV2.
On dit que ce corps possède une énergie cinétique égale à ce travail.
Le travail communiqué par la force résultante augmente l’énergie cinétique
de l’objet.
Son énergie cinétique à n’importe quel moment est donc donné par ½mV2.
Interprétation de T.E.C :
Imaginons un objet de masse m se déplaçant avec une vitesse initiale de V0, il subit une accélération g sous l’effet de la force résultante F, l’énergie communiqué par cette force vaut :
W = E ciné finale – E ciné initiale
102
III- ENERGIE MECANIQUE TOTAL
L'énergie existe sous de multiples formes :
🢧mécanique (cinétique + potentielle)
🢧électrique
🢧calorifique
🢧nucléaire
🢧lumineuse
🢩chimique
(la masse est une forme d’énergie ! cf. la relation d’Einstein : E=mc2)
- Votre peau transforme l’énergie lumineuse en chaleur.
3.1- Introduction
L’énergie peut passer d'une forme à l'autre sous l’action d’une force:
Exemple :
- La force de frottement transforme de l’énergie mécanique en chaleur,
- Un barrage transforme de l’énergie potentielle en énergie électrique grâce à la force de pesanteur,
- Les centrales thermique (charbon), hydraulique (eau) et nucléaire (uranium),
103
3.2- Gradient d’une fonction (rappel )
Soit ϕ(x, y, z) une fonction scalaire qui dépens de x, y et z.
On appelle gradient de la fonction ϕ le vecteur :
Pour un déplacement infinitésimal du point M, on peut écrire :
Et le produit scalaire de (1) par (2), nous donne :
Donc :
3.3- Energie potentille
On dit qu’un champ de force F dérive d’un potentiel s’il existe une fonction
Scalaire U telle que :
Où U est une fonction énergie potentiel
104
3.4- Travail d’un gradient
Le travail élémentaire dW ,d’une force F pou un déplacement dM,
est donné par :
Et Si F dérive de U, on a:
dw s’écrit donc :
Soit :
Et puisque, on a :
L’équation (1) s’écrit :
3.5- Puissance de F
Soit :
Exemple en coordonnées cartésiennes :
car
La puissance P (de F dans le mouvement de M/R ) :
Soit :
105
1er cas :
2éme cas :
ETUDE DE CAS :
Si U(x,y,z,t) c.a.d
U dépend de x, y, z et explicitement de t
Dans ce cas, on peut écrire que :
Puissance
Donc :
Si U(x,y,z)
U dépend de x, y, z et implicitement de t
Dans ce cas, on peut écrire que :
Dans ce cas, le travail pendant s’écrit :
Soit :
ou
Soit :
ou
Donc :
Où
Soit :
( les forces qui interviennent dans ce cas s’appelle
Les forces conservatrices )
106
Dans ce cas (forces conservatrices), on dit que le travail
De ce gradient pendant (t1,t2) ne dépend pas du chemin suivi par M,
Mais ne dépend que de la position de M à l’instant t2 et
de sa position à l’instant t1
Remarque : En particulier le travail W(t1,t2) est égal à – W(t2,t1) soit :
t1
t2
Contre exemple : la force de frottement est non conservative
dEc = dw +dw’ (voir fin du chapitre)
107
On appelle énergie mécanique d'un corps ou d'un système la somme des énergies cinétique et potentielle de ce corps ou de ce système.
3.5- Conservation de l’énergie mécanique (total)
Appliquons le T.E.C pour une force qui dérive d’un potentiel U
Soit :
Et dans ce cas où les forces sont conservatrices: dw=-dU
On peut écrire dans ce cas :
dEc = -dU
Soit :
d(Ec +U)=0
Donc :
E = Ec +U
La somme de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie potentiel U reste constante
au cours du déplacement dans le cas des forces conservatives.
Cette somme E est appelée énergie mécanique totale.
Ec +U=constante quelque soit t
On a d’après le T.E.C :
dEc = dW
108
V- EQUILIBRE
4.1- Equilibre et principe fondamental de la dynamique
La particule M(m) est en équilibre statique dans R, lorsque ses coordonnées dans R restent constantes au cours du temps.
Equilibre statique
Pour trouver les positions d’équilibre possible d’un point M soumis à la force totale F, il suffit de résoudre l’équation suivante :
Le P.F.D nous permet d’écrire :
Ce sont les solutions à coordonnées constantes (M est fixe par rapport à R)
Equilibre dynamique
1er Cas :
2émé cas :
M est en mouvement rectiligne uniforme.
109
4.2- Equilibre et énergie potentielle
Donc :
(1)
Et supposons que ce point se déplace sur une droite de vecteur unitaire i, soit :
M(m)
x=x0
x
F
L’équation (1) nous donne:
Soit :
Considérons un point matériel M soumis à des forces conservatives F :
110
Et supposons qu’on a une position d’équilibre en x=x0 donc :
f(x0) =0
Faisons un développement limité de f(x) au voisinage de x=x0
f(x) =f(x0) + (x-x0) f’(x0) +………………………
Soit :
(1)
Et puisque :
Donc :
111
4.2.1- Nature de l’équilibre
1er cas :
Supposons que l’on s’éloigne
le mobile M de sa position
d’équilibre vers La gauche:
Le terme (x-x0) est négatif
f(x) est positif
Et d’après (1)
Donc la force ramène le point M vers sa position d’équilibre (x=x0)
De même si on éloigne M
de sa position d’équilibre
vers la droite :
Le terme (x-x0) est positif
f(x) est négatif
Et d’après (1)
Donc la force ramène le point M vers sa position d’équilibre (x=x0)
On aura ainsi, un mouvement d’oscillation au voisinage de x=x0 :
L’équilibre est stable.
On a :
(1)
x=x0
x
F
Gauche
Droite
M(m) à x
x=x0
x
Gauche
Droite
M(m) à x
M
F
112
Etude de la variation de U(x)
f(x) est positif
f(x) est négatif
(x-x0) est négatif
(x-x0) est positif
F
F
Dans ce cas d’équilibre stable :
x=x0
U(x)
U(x)
x
x
On a:
Et d’après (b) la concavité est dirigée vers le U(x) > 0
D’après (a), U(x) possède une tangente horizontale en x=x0
et
113
4.2.1- Nature de l’équilibre
2émé cas :
Supposons que l’on s’éloigne
le mobile M de sa position
d’équilibre vers La gauche:
Le terme (x-x0) est négatif
f(x) est négatif
Et d’après (1)
Donc la force éloigne le point M de sa position d’équilibre (x=x0) vers - l’infini
De même si on éloigne M
de sa position d’équilibre
vers la droite :
Le terme (x-x0) est positif
f(x) est positif
Et d’après (1)
Donc la force éloigne le point M de sa position d’équilibre (x=x0) vers + l’infini
L’équilibre est instable
On a :
(1)
M(m) à x
x=x0
x
Gauche
Droite
M
F
Dans ce cas, le point M écarté de sa position d’équilibre continuera à
S’éloigner, il ne repassera jamais par sa position d’équilibre x=x0.
x=x0
x
Gauche
Droite
M(m) à x
F
114
Etude de la variation de U(x)
: Dans ce cas d’équilibre instable :
On a:
Donc la concavité est dirigée vers le U(x) <0
x=x0
U(x)
x
Donc U(x) possède une tangente
horizontale en x=x0
et
f(x) est négatif
(x-x0) est positif
F
f(x) est positif
(x-x0) est négatif
F
115
θ = 0
O
θ max
Cas II
U=0 (hypo)
E=Ec + U = constante
Ec = max
U=Uint
E=Ec + U = constante
Ec=Ecint
U=Umax
E=Ec + U = constante
Ec = 0
O
θ
Cas I :Ec max
Cas III: Ep max
Cas II: intermédiaire à t
Remarque 1 :
L’énergie mécanique totale E est une constante pour
les forces conservatives : E=Ec + U = constante
Dans l’exemple d’un pendule simple,On peut distinguer 3 cas :
Cas I
Cas II
Cas III
U
θ
θ = 0
θ
θ max
E=cte
U max
Ec
U
U=0
Ec max
O
Ec=0
116
Remarque 2
Force de frottement dissipative :
Dans ce cas il n’y pas de conservation de l’énergie mécanique totale
Car il y a perte de chaleur au cours du mouvement dû à ce frottement
On peut écrire pour ces forces non conservatives :
dEc=dw + dw’ (1)
Où dw’ est la perte de chaleur au cours du mouvement
Et pour les forces conservatives :
dU = - dw
Et puisque dE=dEc +dU
Et d’après (1), on a :
dE=(dw+dw’) – dw’
dE= dw’ différent de 0
Donc E n’est pas constante
Exemple force de frottement:
R
Rn
Rt
dw’<0
implique
dE<0
E décroit, cette diminution correspond à une perte de chaleur
au cours du mouvement .
117
Chapitre V : OSCILLATEURS HARMONIQUES
(la loi de force en – k x)
L’objet de ce chapitre est l’étude des petits mouvements d’un point matériel au voisinage d’une position d’équilibre stable à l’aide d’un modèle : oscillateur harmonique.
I – OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI (libre)
1-1 Définition :
Par définition nous appellerons oscillateur harmonique à une dimension un point matériel mobile sur un axe dont le mouvement est décrit par une équation différentielle de la forme :
toutes fonctions de la forme : x = A cosω0t+B sinω0t
(1)
Ou x = C cos (ω0t+ϕ)
est solution de (1) avec ϕ, A, B et C sont des constantes et t est le temps
Remarque : est la période du mouvement et C est l’amplitude.
118
1-2 EXEMPLE : Oscillateur vertical
La figure ci-dessous représente trois positions d’un ressort de raideur k, suspendu à un point fixe :
M en mouvement
M en équilibre
Une particule M de masse m fixée à l’extrémité d’un ressort, longueur l0
l0
z
P
+
T
= 0
P
mg K
=
P
T
+
= g
T
=
- K ( le – lo)
K
le
T
=-K [ (le-l0)+z ]
K
P
mg K
=
z
mg
- K ( le – lo)=0
mg
-K [ (le-l0)+z ]
= m z
..
=0
P
T
M
P
T
mg
-K (le-l0)
-Kz
= m z
..
Etude de l’équilibre :
Etude dynamique :
On pose Δl = le-l0
(2)
(1)
Ressort à vide
119
- Résolution de l’équation (2) :
Avec :
Est une solution de l’équation (2)
(2)
Les constantes zo et ϕ sont calculées par les conditions initiales.
D’après l’équation (2) le mouvement est périodique de période
Soit :
120
1-3 DETERMINATION DES ENERGIES
a- Energie cinétique : Ec
Soit :
b- Energie potentielle: Ep
On a :
Ce qui implique :
De même pour la force T :
On a :
(3)
Pour le poids P :
Ep = -mgz + constante
Soit :
Ce qui implique :
Soit :
121
L’énergie potentielle Ep(M) de M est :
et en tenant compte de l’équation d’équilibre (1) on obtient :
Ep(M) = Ep(dû à P) + Ep(dû à T )
et si on suppose que Ep = 0 à l’équilibre (z=o) Ep s’écrit :
c- Energie mécanique totale : E
On a : E = Ep + Ec
Soit :
(4)
(5)
(6)
Montrer que E = cte ∀ t
Puisque : z=z0 cos(w0t + j)
En reportant ces deux expression dans l’équation (6), on obtient :
donc E est une constante
Remarques :
1-on peut vérifier de même que d’après l’équation (6) :
122
2- réciproquement si un mouvement est représenté par une équation de type :
multipliant cette équation par 2(dz/dt) et en intégrant on obtient :
E = constante
Propriété :
L’énergie mécanique totale E est constante pour tout système physique dont
l’évolution obéit à une équation de type :
Et multiplier par m/2 :
Et puisque :
On obtient :
123
Le P.F.D nous donne :
On a :
et en tenant compte de l’équation d’équilibre (1), on obtient :
avec :
période de l’oscillateur en absence d’amortissement.
Et
paramètre qui caractérise le phénomène dissipatif
pulsation de l’oscillateur en absence d’amortissement
(7)
(8)
124
II – OSCILLATEUR AMORTI
Les oscillateurs réels NON ENTRETENUS n’oscillent pas indéfiniment,
l’amplitude du mouvement décroît avec le temps et le système atteint une position d’équilibre,
l’amortissement des oscillations est lié à une perte d’énergie du système au profit du milieu qui l’entoure.
Cette perte d’énergie est due à des forces de frottement qui sont toujours opposées à la direction du mouvement.
On adopte dans ce chapitre une force de fortement proportionnelle à la vitesse et opposée au mouvement du type :
avec a =constante
2.1- Equation de l’oscillateur amorti
- Considérons comme dans I, une masse m suspendue à un ressort et supposons que M(m) soit soumise à une force de frottement visqueuse donnée par :
(9)
où a est une constante.
125
donc 1/λ est un temps
Posons
τ est le temps que met le système pour atteindre sa position d’équilibre stable
Ce temps τ est appelé le temps de relaxation de l’oscillateur :
- Temps de relaxation de l’oscillateur
On appelle temps de relaxation le temps que met le système pour atteindre sa position d’équilibre stable.
D’après l’équation (8), l’unité de λ est 1/s
z
t
τ
126
2-2 Résolution de l’équation de l’O. Amorti
D’après l’équation (9), le type de l’équation d’un oscillateur amorti est la forme :
(10)
Avec :
A noter que x(t) est l’élongation ou déplacement à l’instant t de l’O.H.
On propose une solution de la forme :
En reportant cette expression dans l’équation (10), on obtient :
(12)
La solution de cette équation (12), dépend du signe de
1er cas :
2ème cas :
3ème cas :
(11)
127
1er cas :
2ème cas :
3ème cas :
Amortissement faible (régime pseudo-période)
Lorsque l’amortissement est critique (λ = ωo), on ne peut plus parler d’un oscillateur puisque le système retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillation autour de cette position.
(λ < ωo),
(λ > ωo),
Amortissement fort (régime fort)
(λ = ωo)
X
t
t
X
t
X
128
2-2-1 AMORTISSEMENT FAIBLE (régime pseudo-période) (D’<o)
L’amortissement faible est caractérisé par l < w0, dans ce cas
L’équation (12) admet donc 2 solutions complexes, soient :
Avec :
La solution générale de l’équation (10) est donc une combinaison linéaire de
donc :
Où A et B sont des constantes.
En reportant l’expression de r1 et r2 dans x(t):
129
En utilisant la formule de Moivre :
On peut écrire x(t) sous la forme suivante :
On sait que x(t) est une élongation, donc cette solution x(t) est une valeur réelle
en choisissant les coefficients arbitraires A et B tels que :
(A + B) soit réel et
(A-B) imaginaire pur.
Dans ce cas :
où l’amplitude initiale (t=o) = ao et la phase ϕ sont deux constantes,
à déterminer par les conditions initiales.
⮚ ω1 pulsation de l’oscillateur Amorti donnée par
ou
⮚ Et la période de l’oscillateur amorti T1 est donnée par :
- Représentation graphique de x(t) :
130
- Représentation graphique de x(t) :
Cette solution x(t) représente un oscillateur amorti de période T1 telle que
Et d’amplitude décroissante exponentiellement en fonction de
- Conditions initiales :
- Conditions initiales :
Et puisque:
Donc:
a0
T1
Remarque :
On a :
0
X(t)
t
0
X(t)
t
131
- ENERGIE MÉCANIQUE TOTALE :
L’énergie cinétique de la particule :
et son énergie potentielle est donnée par :
donc l’énergie totale est :
- Multiplions scalairement, l’équation différentielle du mouvement,
,Ce qui nous donne :
Soit:
donc on en déduit que :
1- La dérivée de E par rapport au temps est négative (#o),
l’énergie ne reste pas constante,
E décroît depuis une valeur initiale Eo
2- Si l’on écrit :
On fait apparaître la puissance P de la force de frottement responsable
de la décroissance de l’énergie E.
ou
132
2-2-2 AMORTISSEMENT CRITIQUE (Régime aperiodique) (Δ’=o)
L’amortissement critique est défini par
dans ce cas on a
L’équation caractéristique (12) admet une racine double
r = -l,
soit :
Mais la relation (10) est une équation différentielle de second ordre,
la solution générale est donc une combinaison linéaire de deux fonctions indépendantes :
Cherchons une deuxième solution de l’équation (10) de la forme :
En reportant les expressions de
dans l’équation (10), on trouve
r = -l
soit
et
Donc la solution générale de l’équation (10) s’écrit(a+b) :
où A et B sont des constantes de déterminant à partir des conditions initiales.
(a)
(b)
133
- Représentation graphique de x(t)
On a :
x(t) est toujours positif,
donc
sans effectué aucune oscillation.
Et quand
De même
Donc x(t) admet un maximum pour t = tm.
- Conditions initiales :
- Conditions initiales :
t
x(t)
tm
tm=0
t
x(t)
0
134
2.2.3- AMORTISSEMENT FORT (régime apériodique)
C’est le cas où :
Ce qui implique :
L’équation (10) admet donc deux solutions réelles :
Avec :
La solution de l’équation (12) s’écrit donc :
- Représentation graphique de x(t)
tm
C.I :
C.I :
t
x(t)
0
t
x(t)
0
Car :
135
z(t)
t
136
on lui applique une force excitatrice extérieure qui lui apporte autant d’énergie qu’en dissipent les frottements.
III – OSCILLATEUR AMORTI ENTRETENU
L’énergie d’un oscillateur amorti décroît,
cette énergie se dissipe sous l’action des forces de frottement
et le mouvement s’amortit après quelques temps.
Pour entretenir un phénomène physique amorti,
3-1 EQUATION DE L’OSCILLATEUR AMORTI ENTRETENU (OAE)
Prenons l’exemple précédent de l’oscillateur vertical soumis en plus à une force extérieure F(t), l’équation du mouvement, s’écrit :
(III)
Car :
137
Le P.F.D nous donne :
Et avec :
et en tenant compte de l’équation d’équilibre (1), on obtient :
où :
période de l’oscillateur en absence d’amortissement.
Et
paramètre qui caractérise le phénomène dissipatif
pulsation de l’oscillateur en absence d’amortissement
(III)
138
3-2 Résolution de l’équation de l’A.A.E.
La solution x(t) de l’équation (III) est la somme de :
1- La solution générale de l’équation sans second membre, soit x1(t) solution déjà calculée dans l’étude de l’oscillateur amortie (voir II).
2- La solution particulière avec second membre, soit x2(t) que nous allons calculer ci-dessous.
On a donc : x(t) = x1(t) + x2(t)
Ceci définit le régime permanent.
Régime transitoire
Régime permanent
X(t)
t
0
x1(t)
x2(t)
139
Etude le cas où F(t) = Fo cos wt
Avec Fo le module de F(t) et w sa pulsation
Dans ce cas x2(t) s’écrit :
x2(t) = A cos wt + B sin wt ou bien
x2(t) = a cos (wt + j)
où a et j deux constantes
que nous allons déterminer en utilisant la NOTION COMPLEXE :
Soient F(t) = = Fo (cos wt + i sin wt)
Dans ce cas x2(t) s’écrit : :
En injectant ces expressions, dans l’équation (III),
On obtient :
140
(1)
Rappel : Soient z1 et z2 ∈ C
On a :
Donc :
Multipliant membre à membre les équations (1) et (2) :
Soit :
141
On a :
Soit :
On calcul la dérivée de a par rapport à w :
Cette dérivée s’annule pour :
(Amortissement faible)
a
0
positive
négative
w
0
0
0
142
ω
0
a
0
positive
négative
0
0
L’amplitude a(w) présente un maximum pour
On a :
a
w
0
143
Dans le cas où
l’amortissement est assez important.
Donc
s’annule que pour ω = o,
et puisque a 🡪 o quand ω 🡪∞ donc :
a
ω
0
144
Remarque : Résonance
Calcul de a pour ω = ωr :
Pour ω = ωr, on dit qu’il y a résonance entre l’oscillateur et la force excitatrice
et si le frottement n’est pas trop important (λ faible) l’amplitude passe par un
maximum pour
le phénomène de résonnasse commence à apparaître
où
Donc :
On a :
145
Si
on peut écrire :
Soit :
a(ω)
ω
0
Amortissement faible
Amortissement fort
La fréquence:
s’appelle la fréquence de résonance.
146
D’après la relation (1), on peut écrire que :
ce qui implique :
Soit :
donc :
Rappel : on a :
147
Chapitre VI : GRAVITATION
avec des applications aux mouvements des plantes et satellites.
I – Forces gravitationnelles
et la loi de la force de gravitation selon laquelle deux masses m et m’ s’attirent toujours en raison inverse du carré de la distance r qui les sépare :
Où
(force en )
Ce chapitre sera consacré à l’étude des mouvements dans un champ de forces en (champ Newtonien)
NEWTEN a découvert à la fois la loi fondamentale de la dynamique :
m
m’
L’expérience de CAVENDICH permit de mesurer l’attraction entre deux sphères de plomb et
d’en déduire la valeur numérique de la constante G de gravitation :
F
F
148
- Remarque :
l’étude des phénomènes électrique a montré l’existence d’une autre force :
la force coulombienne qui s’exerce entre deux charges q et q’
où
II – Equations des trajectoires pour des mouvements de forces centrales en
Soit une particule M de masse m soumise a une force centrale passant par un point fixe O :
θ
x
y
O
M
où
Et A une constante
R(Oxyz) repère fixe
149
2-1 Loi des aires
D’après le théorème du moment cinétique :
et puisque
Et
Donc :
Implique
Donc :
Par suit, la trajectoire de M est plane dans un plan passant par o et perpendiculaire à k
Et le mouvement s’effectue de telle sorte que :
Soit :
c’est-à-dire avec une vitesse aréolaire constante (2ème loi de KEPLER).
150
* Propriétés et conséquences des mouvements à forces centrales :
Pour ces mouvement, on a :
Donc :
On peut écrire :
Ce qui implique :
Le mouvement de M est
donc situé dans le plan P :
Mouvement Plan
Repérons M par ses coordonnées polaires ( r, ϕ ) :
Et d’après le T.M.C :
Soit :
Donc :
R
M(m)
O
ϕ
r
151
On a :
A l’instant t la particule occupe la position M(t)
M(t)
R
O
ϕ
r
M(t+dt)
dϕ
dS
da
Et le vecteur OM balayé la surface dS
L’aire balayé (par le vecteur OM ) par unité de temps est constante :
c’est la loi des Aires.
Application et conséquence (la loi des Aires)
Soit :
Et a l’instant t+dt la particule occupe la position M(t+dt)
Et d’après ce triangle :
Interprétation de ce résultat :
152
0
- Exemple : Mouvement de la terre.
S
Le rayon vecteur ST balaye des aires égales Pendant des temps égaux.
T(M)
Donc la vitesse de la Terre près de P et > à sa vitesse près de A.
P
A
(voir exercice en TD)
153
Loi de KEPLER
C’est vers 1618 que KEPLER énonça les trois
lois empiriques suivantes qui constituent
sans doute une des plus grandes découvertes
expérimentales dans l’histoire de l’humanité :
Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l'attraction gravitationnelle (ou gravitation), induisant celle-ci, par le calcul, les trois lois de Kepler.
Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du Soleil, mais il les laissait sur les trajectoires circulaires
Kepler (1571 – 1630)
154
1- LOI des ORBITES
L'orbite de chaque planète est une ellipse, dont l'un
des foyers est occupé par le soleil.
2- LOI des AIRES
Le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales
3- LOI des PÉRIODES
Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi grand axe de la trajectoire et le carré de la période est le même.
155
EXEMPLE :
156
157
2-2 Etude énergétique : Conservation de l’énergie mécanique
On a : E = Ec + Ep
avec Ec énergie cinétique et
Ep énergie potentielle
2-2-1 Energie cinétique : Ec
L’énergie cinétique d’une particule M de masse m, animée d’une vitesse V(M) est telle que :
Et d’après les données :
θ
où
et A une constante
R(Oxyz) repère fixe
Donc :
V(M)
x
y
O
M
On a :
158
2-2-2 Energie potentielle : Ep
L’énergie potentielle Ep d’une particule M soumise à la force F est donnée par :
où A est une constante
On a :
Et si Ep(r 🡪 ∞) = o, Ep s’écrit
2-2-3 Energie mécanique (Totale) : E
On a : E = Ec + Ep implique
- Développement de l’expression de E avec un changement de variable:
D’après la relation (4)
et E s’écrit :
159
on obtient :
Posons
Changement de variable
ce qui nous donne
et en le reportant dans d’expression E (eq.8),
Si on dérive l’eq.(9) par rapport à θ
Et puisque:
on obtient :
Est l’équation différentielle du trajectoire de M.
160
- Résolution de cette équation :
Pou un Changement de variable, on pose :
l’équation (10) s’écrit :
la solution de cette équation est de la forme :
Soit :
Et d’après
on peut écrire :
161
Nature de cette trajectoire de M
On a :
Par identification à l’expression d’une conique donnée par :
On trouve:
On peut toujours choisir les C.I pour que θo = 0 sans changer la nature de la trajectoire.
162
III – Nature de cette conique en fonction de e (Rappel)
Suivant la valeur de e (excentricité), on peut définir la nature de la conique :
Si e < 1 la trajectoire de M est une ELLIPSE
Si e > 1 la trajectoire de M est une HPERBOLE
Si e = 1 la trajectoire de M est une PARABOLE
Si e = o la trajectoire de M est un CERCLE
e < 1
e > 1
e = o
e = 1
163
IV – Energie E en fonction de l’ Excentricité e
Nous allons montrer comment l’excentricité e de la trajectoire dépend de l’énergie totale E = Ec + Ep.
D’après la relation (8) on a :
Avec :
Et
Et puisque
On a :
et
En reportant ces relations dans les expressions de Ec et Ep, Ec et Ep deviennent :
et
Expression de Ec et Ep en fonction de θ :
164
Sachant que
E puisque
E=Ec+Ep
4-1 Nature des trajectoires en fonctions de E
|
|
| |
| |
| |
e
e=0
e=1
e-1
e+1
négative
positive
0
0
positive
négative
positive
On a:
D’après l’étude des coniques (voir cours de math) la nature de cette conique
dépend de la valeur de e (Excentricité ) :
-1
+1
positive
2
Excentricité | Trajectoire |
0< e < 1 | Ellipse |
e = o | Cercle |
e = 1 | Parabole |
e > 1 | Hyperbole |
Energie |
E < o |
E = |
E = o |
E > o |
(0<e<1)
e>1
165
La connaissance de cet élément e , nous permet de déterminer la forme de l'orbite d’un satellite : �
Exemple orbite d’un satellite :
Plusieurs cas sont alors possibles :
E > 0 : la trajectoire est une hyperbole.
E = 0 : la trajectoire est une parabole.
E < 0 : la trajectoire est une ellipse et donc est fermée.
Par conséquent, la fusée "s'évade" si et seulement si
c'est-à-dire
ou encore
C'est la condition de libération
Excentricité | Trajectoire |
0< e < 1 | Ellipse |
e = o | Cercle |
e = 1 | Parabole |
e > 1 | Hyperbole |
Energie |
E < o |
E = |
E = o |
E > o |
Satellite de V0
e < 1
e > 1
T
e = o
e = 1
166
La vitesse de libération
Lorsque l'on veut quitter un corps céleste (la Terre par exemple) et échapper à son attraction, il faut vaincre les forces de gravitation et surtout éviter de retomber sur le sol. Deux cas se présentent :
1-éviter de retomber sur le sol mais rester en orbite autour de la Terre : trajectoire fermée (cercle ou ellipse)
2-quitter l'attraction terrestre en s'éloignant indéfiniment (trajectoire hyperbolique)
La vitesse de la libération de la masse m situé à la distance R du centre de la terre est la plus petite vitesse qui permet à cette masse de s’éloigner indéfiniment (parabole ou hyperbole)
Définition:
167
Il faut pour cela que l’énergie mécanique totale E de m soit
positive ou au moins nulle.
Soit :
La vitesse de la libération vérifié la relation suivante:
Exemple : au niveau du sol
168
4-3 Calcul de la Vitesse de satellisation
Pour calculer la vitesse de satellisation Vs du point M(m) (vitesse qui permet à M(m) de ne plus retomber sur terre),
il suffit d’écrire que sa trajectoire est circulaire de rayon égale sensiblement à celui de la terre R
Et puisque :
trajectoire est circulaire , donc : e=0, et E=-A/2p,
On peut écrire que :
Et puisque e= o et
Donc : p = R
Notons que l'altitude minimum pour satelliser un objet est de 300 km pour éviter le freinage par l'atmosphère terrestre.
Donc :
169
Exemple : au niveau du sol
On a :
Terre (R,M)
Si v = 8 km/s :la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre (trajectoire fermée)
M(m)
Atmosphère terrestre
Donc quand vs est < 8 km/s,
la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre (trajectoire T0)
Trajectoire de M
V
R
T0
170
Si v > 11.2 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire hyperbolique (trajectoire T3)
T1
T0
T2
T3
Vitesse initiale tangentielle
Atmosphère
terrestre
Terre (R,M)
Si v = 8 km/s :la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre (trajectoire T1fermée)
Si v < 8 km/s : la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre (trajectoire T0)
Si 8 km/s < v < 11.2 km/s : la trajectoire est une ellipse dont le périgée correspond
au point de lancement (trajectoire T2 fermée)
Si v = 11.2 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire parabolique (trajectoire T4)
T4
M(m)
171
Altitude au point d'injection | Vitesse de satellisation circulaire | Vitesse de libération |
200 km | 7,78 km/s (28 008 km/h) | 11,01 km/s (39 636 km/h) |
400 km | 7,67 km/s (27 612 km/h) | 10,85 km/s (39 060 km/h) |
800 km | 7,45 km/s (26 820 km/h) | 10,54 km/s (37 944 km/h) |
36 000 km | 3,07 km/s (11 052 km/h) | 4,34 km/s (15 624 km/h) |
Vitesses de satellisation circulaire et de libération d’un satellite terrestre
Exemples des
172
V – Changement d’orbite
Aux point M1 et M2, on peut écrire :
- La conservation de l’énergie totale :
Et puisque :
Orbite (R1 , V1)
Orbite (R2, V2)
M2
M1
U2
U1
Soit :
(2)
(1)
173
Aux positions M1 et M2, on peut écrire :
- La conservation du moment cinétique :
(3)
A partir des relations (1), (2) et (3),
on obtient :
Par le même raisonnement, on obtient
la relation suivante :
Orbite (R1 , V1s)
Orbite (R2, V2s)
M2
M1
U2
U1
On a :
(2)
(1)
O
174
Non pas parce qu'il est réellement immobile par rapport à la Terre, mais parce qu'il tourne à la même vitesse que la Terre autour de son axe.
Application : Les satellites géostationnaires : la mise sur orbite
Définition :
Un satellite géostationnaire est vu immobile depuis la surface de la Terre :
Il doit faire une révolution en 24 heures ! (en fait en 23 heures 56 minutes 4 secondes qui est la période de rotation sidérale autour de la Terre).
- Pour l’observation et pour les transmissions, les satellites géostationnaires sont devenus indispensables.
Pour une orbite circulaire, la vitesse tangentielle et le rayon de l’orbite sont reliés par la relation (1) :
avec :
G = 6,6710-11 MKS constante d’attraction universelle
M= 5,98 1024 kg masse de la terre
Si le rayon de l’orbite vaut 42164 km, la vitesse vaut 3075 m/s
175
1- On place le satellite sur une orbite d’attente circulaire
à l’altitude de 200 km (R1 = 6578 km, Vs1 = 7800 m/s, T = 5300 s);
2-On effectue une première correction en faisant passer la vitesse Vs1 à U1=10250 m/s:
le satellite passe sur une orbite elliptique (périgée 6578 km U1 = 10250 m/s, apogée 42164 km U2 = 1590 m/s).
Puis au passage à l’apogée on effectue
une seconde correction qui amène
la vitesse U2 à Vs2=3075 m/s.
Orbite (R1 , Vs1)
Orbite (R2, Vs2)
M2
M1
U2
U1
Pour Procéder à la mise sur orbite,
on peut utiliser la technique suivante :
périgée
apogée
Donc le satellite est placé sur
un autre orbite de rayon R1 et
de vitesse Vs2
176
Orbite (R1 , Vs1)
Orbite (R2, Vs2)
M2
M1
U2
U1
périgée
apogée
177
Chapitre VII : CHOCS DE DEUX PARTICULES.
I) Définition.
On appelle choc ou collision entre deux particules, toute interaction qui entraîne une
variation brusque et finie des vecteurs vitesses des deux particules pendant un temps très court.
II) Conservation de la quantité de mouvement.
Soient m1 et m2 les masses respectives des particules M1 et M2 dans un référentiel galiléen R0. et soient:
► V1 et V 2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repère R0 avant le choc.
► V’1 et V’2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repère R0 après le choc.
► F 21 et F12 les forces transitoires appliquées respectivement à M1 et à M2 uniquement pendant le choc.
178
Hypothèse fondamentale:
L'équation (1) montre que la quantité de mouvement du système (S), formé de M1 et de M2, se conserve (quantité de mouvement du système est la même avant et après le choc) :
Avec :
Implique :
Soit :
Conservation du quantité de mouvement
179
Au moment de la collision entre les particules M1 et M2 , les forces extérieures au système (S) sont généralement négligeables devant les forces intérieures à ce système que sont les forces de contact. (S) peut alors être considéré comme système isolé.. Dans le cas d'un système isolé, le principe fondamental de la dynamique appliqué à celui-ci dans le repère R0 est comme suit:
a) Collisions élastiques:
Par définition, la collision entre deux particules M1 et de M2 est dite parfaitement
élastique si l'énergie cinétique du système(S) des deux particules avant le chocs est égale à l'énergie cinétique totale de ce système après le choc.
Nous avons alors:
Une autre hypothèse pour montrer que P= cte
180
b) Collision inélastique:
Dans ce cas, il n'y a pas de conservation de l'énergie cinétique du système durant la collision.
Le bilan énergétique s'écrit:
où
U est la variation de l'énergie cinétique du système(S) avant et après le choc.
Si U < 0, le système absorbe de l'énergie (le choc est endo-énergétique ).
Si U > 0, le système cède de l'énergie (le choc est exo-énergétique).
181
- Après le choc, les deux masses M1 et M2 constituent un seul corps de masse (m1 + m2) et de vitesse V .
La conservation de la quantité de mouvement s'écrit dans ce cas,
Au cours de la collision l'énergie cinétique n'est pas conservée.
Les pertes apparaissent sous forme de chaleur, de déformation, …
c) Choc mou.
- Avant le choc, la particule M1 a la masse m1 et la vitesse 1V et la particule M2 a la
masse m2 et la vitesse 2V .
182
d) Coefficient de restitution.
Le coefficient de restitution (ou d'élasticité) e est le nombre, compris entre 0 et 1, défini par le rapport des vitesses relatives de la particule M2 par rapport à la particule M1 (ou de M1 par rapport à M2) après le choc, soit:
► Si e = 0, le choc est mou.
► Si e = 1, le choc est élastique.
► Si 0 < e < 1, le choc est inélastique (ou intermédiaire).
183
❖ Exemples de choc élastiques.
On considère un système (S) de deux particules M1 et M2 de masses respectives m1 et m2, dont les vitesses V 1et V2 avant le choc deviennent V’1 et V’2 après le choc.
supplémentaires pour avoir autant d'inconnues que d'équations scalaires
► Nombre d’ inconnues : on a six inconnues qui sont les six composantes des vitesses V’1et V’2 (dans un espace de dimension trois)
► Nombre d’équations :
La conservation de la quantité de mouvement (équation vectorielle) donnent
trois équations scalaires et
La conservation de l'énergie cinétique du système (S) donnent une équation scalaire
- Résolution du problème :
- Le nombre d’inconnues (=6) est donc supérieurs au nombre d’équations (=4)
184
Un choc entre deux particules M1 et M2 est appelé "direct", "frontal" ou de ''plein fouet'' si les vitesses avant et après le choc, V1 , V2 , V‘1 et V’2 sont colinéaires.
M1(m1)
M2(m2)
Dans ce cas, nous aurons deux équations à deux inconnues:
La projection de l’équation de le conservation du quantité du mouvement,
suivant le sens du mouvement, nous donne la 1ére équation :
La Conservation de l’énergie cinétique, nous donne la 2éme équation :
185
2) Collision de type boules de billard.
Supposons que la particule M1 est animée d'une vitesse V1 juste avant le choc, dans le repère galiléen R0, et que la particule M2 soit immobile.
On dit que les particules M1 et M2 subissent un choc élastique de type boules de billard, si après le choc, leurs vitesses respectives font des angles θ1 et θ2 avec la direction de V1.
- Conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique du système (S)
avant et après le choc, nous donne
x
y
186
La projection de l'équation vectorielle ci-dessus sur les axes x et y donne:
(8)
(9)
(10)
13
Ɵ1
Ɵ2
y
x
187
Au cours de la collision l'énergie cinétique n'est pas conservée. Les pertes apparaissent sous forme de chaleur, de déformation, …
Exemple de choc inélastique (Choc mou):
m1
m2
m1+m2
La conservation de la quantité de mouvement s'écrit dans ce cas:
m1
m2
m1+m2
15
188
Le centre de masse OG:
Pour un système de deux particules de masses m1 et m2, la position du
centre de masse est défini par:
Où M est la masse totale du système
3
Le mouvement du centre de masse
En dérivant le vecteur position OG par rapport au temps et par rapport au repère R0, on obtient :
Donc:
189
Remarque : comparer la vitesse de G avant et après le choc
On a :
Avant le choc
Et d’après la conservation du quantité du mouvement
Et après le choc, la vitesse de G :
On en déduit :