Рівняння. Основні властивості рівнянь.

Двадцять третє квітня.

Класна робота.

Ситуація. Стефанія запропонувала однокласникам математичний фокус «Угадаю число». Учням треба задумати число. До цього числа подумки додати таке саме число. Суму помножити на 5, а добуток поділити на 10. Результат оголосити. А Стефанія безпомилково назве саме те число, яке було загадане.

У чому полягає фокус?

Відповідь дає вираз (х + х) · 5 : 10, значення якого дорівнює х.

невідоме

є рівнянням

Коренем рівняння

є число 2, бо

Чи може рівняння не мати коренів?

Так. Наприклад, рівняння 0 ∙ х = 10 не має коренів, бо не існує числа, яке перетворює це рівняння на правильну числову рівність.

Чи може рівняння мати безліч коренів?

Так. Наприклад, рівняння 0 ⋅ х = 0 має безліч коренів, оскільки будь-яке число перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Властивість 1.

Якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то рівняння не зміниться.

Наведена властивість дозволяє усамітнити невідоме в одній із частин рівняння.

х – 12 + 12 = 20 + 12,

х = 20 + 12,

х = 32.

Розв’яжіть рівняння: х – 12 = 20.

Розв’язання.

До лівої і правої частин рівняння додамо число 12 і спростимо отриману рівність:

х – 12 = 20,

Розв’язуючи рівняння, у лівій частині усамітнили невідоме. Такий самий результат отримаємо, якщо число – 12 перенесемо з лівої частини в праву, змінивши при цьому його знак.

Доданок можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданка на протилежний.

Чи можна переносити до іншої частини рівняння доданок, що містить невідоме?

Так.

Розв’яжіть рівняння 5х – 18 = 2х + 6.

Розв’язання.

Перенесемо доданок 2х до лівої частини рівняння, а доданок −18 – до правої його частини:

5х – 18 = 2х + 6,

5х – 2х = 6 + 18,

3х = 24,

х = 24 : 3,

х = 8.

1) 9х – 16 = 2;

9х = 2 + 16;

9х = 18;

х = 18 : 9;

х = 2;

4) – 2y = 4y + 24;

-2y = 24 - 4;

-2y = 20;

y = 20 : (-2);

y = -10;

3) 6x= 32 – 2x;

6x + 2x = 32;

8x = 32;

x = 32 : 8;

x = 4;

2) 4 – 2y = 24;

– 2y - 4y= 24;

- 6y = 24;

y = 24 : (-6);

y= - 4;

5) 3x – 8 = x;

3x – x = 8;

2x = 8;

x = 8 : 2;

x= 4;

6) -20 = 4y + 8;

-4y = 8 + 20;

-4y = 28;

y = 28 : (-4);

y = -7;

7) 5x + 4 = 3x - 12;

5x – 3x = -12 - 4;

2x = -16;

х = -16 : 2;

х = - 8;

8) -y + 25 = 12y - 1;

-y – 12y = -1 - 25;

-13y = -26;

х = -26 : (-13);

х = 2;

9) 10 = 4y – 2 – 2y;

-2y = -2 - 10;

-2y = -12;

х = -12 : (-2);

х = 6;

10 = 2y – 2;

Пишемо

10) -2 = 3x + 14 + x;

-4x = 14 +2;

-4x = 16;

y = 16 : (-4);

y = - 4;

11) 10y + 6 = 12y - 8;

10y – 12y = -8 - 6;

-2y = -14;

y = -14 : (-2);

y = 7;

12) 11y - 3 = -3 - 1;

11y = -3 – 1 + 2;

11y = -1;

х = -1 : 11;

Пишемо

Загальна схема розв'язування рівнянь

4(x - 3) - 12x = 3(2 - x) + 7.

1. Розкриємо дужки

4х - 12 - 12х = 6 - 3х + 7;

2. Зведемо (якщо є) подібні доданки в лівій і правій частинах рівняння

-8х - 12 = 13 - 3х;

3. Перенесемо доданки, які містять невідоме, в ліву частину рівняння, а решту доданків — у праву частину рівняння, змінивши при цьому їх знаки на протилежні

-8х + 3х = 13 + 12;

4. Зведемо подібні доданки в лівій та правій частинах рівняння

-5х = 25;

5. Знайдемо корінь рівняння. Поділити праву частину на коефіцієнт при змінній.

х = 25 : (-5);  

х = -5.

1) 2х – 10 = -3x;

Перенесемо доданок, який містить невідоме, вліво, а відомий – вправо, змінивши їх знак на протилежний.

2х + 3x = 10;

Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння.

5х = 10;

Поділити ліву частину рівняння на коефіцієнт при змінній.

х = 10:5;

х = 2;

2) -4y – 5 = 3;

Перенесемо відомий доданок вправо, змінивши знак на протилежний.

-4y = 8;

Зведемо подібні доданки в правій частині рівняння.

-4y = 3 + 5 ;

Поділити ліву частину рівняння на коефіцієнт при змінній.

y = 8 : (-4);

y = -2;

1) 5(x – 4) = 3x - 10;

5x – 20 = 3x - 10;

5x – 3x = - 10 + 20;

2x = 10;

x = 10 : 2;

x = 5;

2) 4y + 2 = 3(10 – y);

4y + 2 = 30 – 3y;

4y + 3y = 30 – 2;

7y = 28;

y = 28 : 7;

y = 4;

Пишемо

3) 7(x – 4) = 5(x + 4);

7x – 28 = 5x + 20;

7x – 5x = 20 + 28;

2x = 48;

x = 48 : 2;

x = 24;

4) 3(y + 1) = 6(1 - y) + 6;

3y + 3 = 6 - 6y + 6;

3y + 3 = 12 - 6y;

3y + 6y = 12 - 3;

9y = 12 - 3;

9y = 9;

y = 9 : 9;

y = 1;

Пишемо

21.04.2024

Сьогодні

Опрацюй підручник §29

Виконай завдання: