10. OSZTÁLY: VI. TÉMAKÖR:�EGYBEVÁGÓSÁG, KÖR

​

​

KOPPÁNYI ANIKÓ

KOVÁCS PÁL BAPTISTA GIMNÁZIUM

​

Geometriai transzformációk

• Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési

tartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá.

• Ha a transzformáció a P ponthoz a P′ pontot rendeli, akkor a P′ pontot a P pont képének nevezzük.
• Értelmezési tartománya a sík vagy a tér pontjainak halmaza
• Értelmezési tartománya és értékkészlete megegyezik
• Kölcsönösen egyértelműek
• Identitás:

Olyan geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli. P pont képe éppen önmaga.

​

Tulajdonságok: �

• fixpontja az a pont, amelynek a képe önmaga.
• fixegyenese az az egyenes, amelynek a képe önmaga
• Ha egy egyenes képe önmaga, de nem minden pontja fixpont, akkor invariáns egyenesnek nevezzük
• szimmetrikus, ha a P pont képe P′ és P′ képe is a P pont
• távolságtartó, ha bármely szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz
• aránytartó, ha két szakasz hosszának aránya egyenlő a képszakaszok hosszának arányával
• szögtartó, ha bármely szög képe vele azonos nagyságú szög
• irányítástartó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása azonos ( az óramutató járásával tudjuk megállapítani)
• irányításváltó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása ellentétes.

​

Egybevágósági transzformációk

Ha egy geometriai transzformáció távolságtartó,

akkor egybevágósági transzformációnak

nevezzük. Vagyis bármely szakasz képe az

eredetivel egyenlő hosszúságú.

• Tengelyes tükrözés
• Középpontos tükrözés
• Forgatás
• Eltolás

​

Háromszögek egybevágóságának alapesetei

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

Sokszögek egybevágósága

Két sokszög egybevágóságához

Szükséges: a megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők legyenek.

Elégséges: a megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők legyenek.

Speciális háromszögek

• Szabályos háromszög:

Minden oldala és minden

szöge egyenlő (60￮)

​

• Egyenlő szárú derékszögű

háromszög szögei 45￮

A kör jellemzése

K=2rπ

T=r²π

π-irracionális szám,

végtelen, nem szakaszos

tizedes tört, értéke 3,14…

​

Kör részei

Részek:

sugár: r középpont és a körív távolsága

átmérő:d leghosszabb húr, sugár duplája d=2r

húr: h a körív két pontját összekötő szakasz

szelő: s a kör két pontján átmenő egyenes

érintő e a körívvel egy közös pontja van. Az érintő merőleges az érintési pontjába húzott sugárra. Egy külső pontból húzott két érintőszakasz egyenlő hosszú

​

​

Kör részei

​

Körív: a kör kerületének egy része ,i

Körcikk: A kör azon része, melyet két sugár és

egy körív határol

Körszelet: A kör azon része, melyet egy körív és

egy húr határol

Körgyűrű: Két koncentrikus kör közötti síkrész

T=π(R²-r²)

​

​

Középponti szög

Középponti szög: Csúcsa a kör középpontja, szárai

a kör sugarai. Két sugár 2 középponti szöget alkot,

melyeknek összege 360￮

• Egy adott sugarú körben a középponti szög, a körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos.
• Egyenlő területű körcikkhez egyenlő nagyságú körív és egyenlő középponti szög tartozik

​

Kerületi szögek

Olyan szögek, melynek csúcsa egy kör kerületén van, szárai a kör érintői, vagy egy húr és egy érintő

​

• Ugyanahhoz az ívhez tartoző kerületi szög feleakkora, mint a középponti szög
• Ugyanahhooz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlőek

Húrnégyszögek (e)

•  Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köréírt körük, húrnégyszögeknek nevezzük.
• Tétel 1: A húrnégyszögek két-két szemközti szögének összege egyenlő.
• Tétel 2:Ha egy konvex négyszög két-két szemközti szögének összege egyenlő, akkor húrnégyszög.
• Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két-két szemközti szögének összege egyenlő.
• Egy sokszöget húrsokszögnek nevezünk, ha van köré írt köre.

Érintőnégyszögek (e)

•  Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük.
• Tétel 1: Az érintőnégyszögek két-két szemközti oldalának összege egyenlő. a+c=b+d
• Tétel 2:Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor érintőnégyszög.
• Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő.
• Egy sokszöget érintősokszögnek nevezünk, ha van beírt köre.

​

Beírt és köréírt kör négyszögeknél

​

​

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

Beírt és köréírt kör négyszögeknél

Beírt kör: Olyan kör, amely a konvex négyszög minden oldalát érinti

Létezik olyan pont, mely a négyszög minden oldalától egyenlő távol van(r)

Köréírt kör: Olyan kör, amely a konvex négyszög minden csúcsán átmegy

Létezik olyan pont, amely egyenlő távol van a négyszög mindegyik csúcsától.

​

Szabályos sokszögek jellemzése

• Egy sokszög konvex, ha minden szöge konvex (kisebb 180°-nál), és konkáv, ha van egy konkáv szöge, amely nagyobb 180°-nál.
• Vagyis egy konvex sokszögnek, ha bármely két pontját összekötjük, a két pontot összekötő szakaszt is tartalmazzák.

Szabályos: Olyan sokszög, melynek minden oldala és

minden szöge egyenlő

​

​

Sokszögek átlóinak a száma

• Konvex sokszög egy csúcsából húzható átlók száma: n-3
• Egy n oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma :

​

​

​

• Bizonyítás�Egy n oldalú konvex sokszög egy csúcsából önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzható átló, így minden csúcsából (n-3) átló húzható. Ha így összeszámoljuk az összes átlót, az n (n-3) átló, de így minden átlót kétszer számoltunk, így valójában az átlók száma ennek a szorzatnak a fele.

​

Sokszögek külső és belső szögei

Tétel

Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek az összege

(n – 2) 180°

​

Bizonyítás�A sokszög egyik csúcsából kiinduló (n- 3) átló (n-2) darab háromszögre bontja a sokszöget.

A háromszögek belső szögeinek az összege éppen a sokszög belső szögeinek az összegét adja.

Az állítás konkáv sokszögekre is igaz, nem csak konvexekre.

​

Tétel�Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek az összege

360°

Bizonyítás�A sokszög egy külső szöge 180°-ra egészíti ki a hozzátartozó belső szöget. Tehát minden csúcsban a belső és a külső szög összege 180°, vagyis az összes belső és összes külső szög összege

A külső szögek összege így éppen 360°

​

Szabályos sokszög

• K=n*a
• egy belső szög nagysága:
• Területe: T= n*TΔ
• Beírható körének sugara: Egyenlő szárú háromszög magassága
• Köréírható kör sugara: Egyenlő szárú háromszög oldala

​