1 of 28

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

2 of 28

Что такое логика?

Логика (от греч. logos -- слово, рассуждение, разум) –

наука о законах и операциях правильного мышления.

Формальная логика обращает основное внимание на форму в отвлечении от содержания.

3 of 28

Что такое логика?

Логика (от греч. logos -- слово, рассуждение, разум) -- наука о законах и операциях правильного мышления. Формальная логика обращает основное внимание на форму в отвлечении от содержания.
Слово "логика" происходит от древнегреческого "логос", имеющего значения: слово, наука, разум. Поэтому оно, во-первых, вошло составной частью в названия многих наук, а во-вторых, выражает смысл логики, как НАУКИ О МЫСЛЯХ.

4 of 28

Логика

Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение).

5 of 28

6 of 28

Формы мышления

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные признаки объекта.
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах объектов.
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из нескольких суждений получается новое суждение.

7 of 28

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:

Земля вращается вокруг Солнца.

Москва - столица.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Без стука не входить!

Откройте учебники.

Ты выучил стихотворение?

Высказывание

Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:

Это высказывание ложное.

8 of 28

Логическое высказывание

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

«6 — четное число»

«Рим — столица Франции»

«Указанное число кратно 3»

«Число 9 кратно 3»

истинно

ложно

не является высказыванием, так как нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно

является высказыванием и имеет значение истинно

9 of 28

Высказывание или нет?

Зимой идет дождь.

Снегири живут в Крыму.

Кто к нам пришел?

У треугольника 5 сторон.

Как пройти в библиотеку?

Переведите число в десятичную систему.

Запишите домашнее задание

10 of 28

Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике

Логика

Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).

11 of 28

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Высказывание

Логическая переменная

Логическое значение

12 of 28

12

Алгебра логики

13 of 28

13

0 и 1 называются логическими значениями.

14 of 28

Простые и сложные высказывания

15 of 28

Обозначение высказываний

15

A – Сейчас идет дождь.

B – Форточка открыта.

простые высказывания (элементарные)

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не» и др.

Любое высказывание может быть ложно (0) �или истинно (1).

!

A и B

A или не B

Сейчас идет дождь и открыта форточка.

Сейчас идет дождь или форточка закрыта.

Логические основы компьютеров

16 of 28

Логические операции

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Для описания и обработки логических высказываний используется пять логических операций:

инверсия,
конъюнкция,
дизъюнкция,
импликация
эквивалентность.

17 of 28

А = “Луна — спутник Земли”

не А = “Луна — не спутник Земли” .

Операция НЕ (инверсия, отрицание)

Обозначения: не А, ¬ А ,

Таблица истинности:

Графическое представление

A

Ā

А	¬А
1	0
0	1

18 of 28

Таблица истинности логического выражения Х

– это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

19 of 28

Обозначения: А∧В , А·В, А&В, А и В.

А	В	А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Таблица истинности:

Графическое представление

A

B

А&В

Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.

20 of 28

Даны два высказывания

А = “10 делится на 2 ”

В = “5 больше 3” .

Определить истинность следующих высказываний:

“10 делится на 2 и 5 больше 3”

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”

“10 не делится на 2 и 5 больше 3”

“10 не делится на 2 и 5 не больше 3”

истинно

ложно

21 of 28

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

21

Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.

Таблица истинности:

А	В	АVВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Графическое представление

АVВ

Обозначения: АVВ, А + В, А или В

Логические основы компьютеров

22 of 28

Даны два высказывания

А = “10 делится на 2 ”

В = “5 больше 3”

Определить истинность следующих высказываний:

“10 не делится на 2 или 5 не больше 3”

“10 делится на 2 или 5 больше 3”

“10 делится на 2 или 5 не больше 3”

“10 не делится на 2 или 5 больше 3”

истинно

ложно

23 of 28

Порядок выполнения логических операций

23

С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

ИЛИ

И

НЕ

Базовый набор операций

() не и или

Логические основы компьютеров

24 of 28

Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание: �

НЕ (X < 2) И (X < 5)
НЕ (X < 2) И (X чётное).
НЕ (X < 6) И (X нечётное)

24

25 of 28

Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание: �

НЕ (X нечётное) И НЕ (X >= 6)
НЕ (X чётное) И НЕ (X >= 11).

25

26 of 28

Вычислить значение выражения

(2+3=5) и не (2 - число нечетное)
(1 или 0) и не 1
не (1 или 0 и 1) и 1
если А=0, В=1
если А=1, В=1, С=0

26

Ответы: 1) 1 2) 0 3) 0 4) 1 5) 1

27 of 28

Вычисление логических выражений

27

Порядок вычислений:

скобки
НЕ
И
ИЛИ

1 4 2 5 3

Логические основы компьютеров

28 of 28

Домашнее задание

Записи в тетради – учить,
п. 1.3.1, 1.3.2 стр 22-27,
№ 2 стр.37 №11 стр.39 письм.
Подготовиться к с.р.

28