Лінійні та квадратні рівняння
Тема 9
Рівняння
Рівність, що містить змінну, називається рівнянням.
Число, яке перетворює рівняння у правильну числову рівність при підстановці його замість змінної, називається розв’язком або коренем рівняння.
Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.
Рівняння, які мають однакові корені або зовсім їх не мають, називаються рівносильними.
Перетворення, які можна виконувати з рівняннями
1
2
3
У будь-якій частині рівняння можна розкривати дужки і зводити подібні доданки.
Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
Виконуючи рівносильні перетворення рівнянь, необхідно врахувати ОДЗ заданого рівняння.
4
Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число або вираз зі змінною, який не втрачає змісту при будь-яких значеннях змінної, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Перетворення, які можна виконувати з рівняннями
5
6
Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок із протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
7
Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, або на вираз зі змінною, який не перетворюється в нуль при будь-яких значеннях змінної й не втрачає змісту на множині допустимих значень невідомої для даного рівняння, рівносильне даному.
Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного натурального степеня, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Лінійні рівняння
Лінійним рівнянням називається рівняння виду ax = b, у якому a та b - деякі числа.
Рівняння не має розв’язків
Розв’язуючи рівняння, його спочатку потрібно спростити, звести до лінійного.
Зробити це можна в такій послідовності:
Позбутися знаменників (якщо вони є);
Розкрити дужки (якщо вони є);
Перенести члени зі змінними в ліву частину рівняння, а інші – в праву, змінивши при цьому знаки на протилежні;
Звести подібні доданки.
Квадратні рівняння
Рівняння коренів не має
Має 2 однакові корені
Має 2 різні корені
Неповні квадратні рівняння
Теорема Вієта
Зведене квадратне рівняння
Якщо а = 1, то квадратне рівняння називається зведеним.
Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену.
Обернена теорема Вієта
Назвіть корені рівнянь:
Розкладання квадратного тричлена на множники
Наприклад:
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3);
2x2 – 2x – 12 = 2(x + 2)(x – 3).