2 of 15

Зміст

1. Потужність скінченої множини.

2. Упорядковані множини.

3. Декартів добуток множин.

3 of 15

Для інтерпритації множин і операцій над ними використовуються геометричні фігури – кола Эйлера (діаграми Венна).

4 of 15

Потужність множин

Потужність скінченної множини А визначається як кількість елементів, що належать множині А.

Можна позначати n(A) або |A|.

5 of 15

Нехай А, В – скінченні множини, що не перетинаються, тобто А∩В=∅

Тоді n(А∪В)=n(A)+n(B).

6 of 15

Це твердження вірне для довільної кількості множин, що не перетинаються.

Нехай Аі (і=1,2,3,…,n) – скінченні множини, що не перетинаються. Тоді

n(А1 ∪А2 ∪… ∪Аn)=∑n(Ai),

7 of 15

Нехай А, В –довільні скінченні множини, тоді n(А∪В)=n(A)+n(B) – n(A∩B).

8 of 15

Упорядковані множини�

Усяку множину можна упорядкувати, якщо кожному елементу ії поставити у відповідність деяке натуральне число від 1 до n. Таке число буде номером елемента.
Визначення: Упорядкованою множиною чи кортежем називається послідовність елементів множини, у якій кожен елемент займає визначене місце, елементи кортежу називаються його компонентами.

Довжиною кортежу називають кількість

його координат.

9 of 15

Рене Декарт

10 of 15

Рене́ Дека́рт — французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії. У математиці Декарт запровадив декартову систему координат, дав поняття змінної величини і функції, ввів багато алгебраїчних позначень

11 of 15

Декартів добуток множин

Визначення: Декартовим добутком множин А і В називається множина АхВ, що складається з всіх упорядкованих пар, перший компонент яких належить множині А, а другий компонент належить множині В.

АхВ={<a, b>∈AхВ| а∈А, b∈B}

Приклад: А={а, c}; Β={1, 2};

ΑхВ={<а, 1>, <а,2>, <с,1>,<c,2>}.

Очевидно, що якщо ⏐Α⏐=n, а ⏐Β⏐=m,

то ⏐ΑхВ⏐=n⋅m

12 of 15

Два кортежі (вектори) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні відповідні їх координати,

тобто аі=bi, i=1, 2, …,n.

Отже кортежі <а, b, c> і <a, c, b> різні, а множини {а, b, c} і {a, c, b} рівні між собою.

13 of 15

Декартів добуток має� такі властивості:

АхВ≠ВхА

Ах(ВхС)≠(АхВ)хС≠АхВхС

(А∪В)хС=(АхС)∪(ВхС)

(А∩В)хС=(АхС)∩(ВхС)

(А\В)хС=(АхС)\(ВхС)

АхАх ... хА=Аⁿ

Ах∅=∅хА=∅

14 of 15

Домашнє завдання

Приклад: Задано А={0, 2, 3}; В={а, b}; Знайти декартовий добуток ΑхВ = ?

ВxA= ?

15 of 15

Домашнє завдання

Приклад: Задано А={−1, 0, 2}; В={1, 2}; Знайти декартовий добуток ΑхВ = ?

ВxA = ?