31.03.2025
Сьогодні
Урок
№ 52
Деякі властивості кола. Дотична до кола
Геометрія
Розділ 4. Коло і круг
Усім, усім добрий день!
31.03.2025
Сьогодні
Організація класу
Геть з дороги, наша лінь!
Хай не заважає працювати
Гарним хлопцям та дівчатам.
31.03.2025
Сьогодні
Перевірка домашнього завдання
Перевіряємо
домашнє
завдання
31.03.2025
Сьогодні
Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної
діяльності учнів
Мета уроку:
узагальнити і систематизувати знання про коло і його елементи; вивчити властивості дотичної і навчитися застосувати їх до розв'язування задач
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
(Усно). На якому з малюнків пряма m є дотичною до кола, а на якому – січною?
Мал. 1
Мал. 2
Мал.3
Деякі властивості кола. Дотична до кола
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Якщо хорда є діаметром, то висновок теореми є очевидним.
На рисунку зображено коло із центром O, M — точка перетину діаметра CD і хорди AB, відмінної від діаметра кола, CD ⊥ AB . Доведемо, що AM= MB .
Проведемо радіуси OA й OB. У рівнобедреному трикутнику AOB (OA=OB ) відрізок OM — висота, а отже, і медіана, тобто AM=MB.
Діаметр кола, перпендикулярний
до хорди, ділить цю хорду навпіл.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Опрацюй і запам’ятай…
Пряму, яка має з колом тільки одну
спільну точку, називають дотичною до кола.
Теорема. Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то ця пряма є дотичною до даного кола.
Н ас л і д о к. Якщо відстань від центра кола до
деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є
дотичною до даного кола.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивість дотичної
Справді, якщо пряма ВС дотикається до кола в точці А (мал.), то будь-яка інша точка К цієї прямої лежатиме поза колом і ОК > ОА. Тому радіус ОА — найменший з відрізків, які сполучають точку О з точками прямої ВС. Таким відрізком є перпендикуляр, проведений з точки О до прямої ВС, тобто ВС ⊥ ОА.
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса цього кола, проведеного в точку дотику.
О
К
А
С
В
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Взаємне розміщення кола й прямої
1. Пряма й коло не мають спільних точок (мал. 1).
2. Пряма й коло мають дві спільні точки (мал. 2). Така пряма називається січною.
3. Пряма й коло мають одну спільну точку (мал. 3). Така пряма називається дотичною, а її спільна точка з колом — точкою дотику.
мал. 1
мал. 2
мал. 3
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Завдання
від Ботана
Установіть закономірність форм фігур, зображених на рисунку.
Яку фігуру треба поставити наступною?
Відповідь:
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Накресліть коло із центром O, проведіть хорду AB. Користуючись косинцем, поділіть цю хорду навпіл.
Завдання №576
Підручник.
Сторінка
198
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Завдання №576
Розв’язання:
Підручник.
Сторінка
198
1
рівень
О
А
В
С
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Накресліть коло довільного радіуса, позначте на ньому точки A і B. Користуючись лінійкою та косинцем, проведіть прямі, які дотикаються до кола в точках A і B.
Завдання №578
Підручник.
Сторінка
198
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Завдання №578
Розв’язання:
Підручник.
Сторінка
198
1
рівень
О
А
В
E
F
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Чи можна стверджувати, що пряма, перпендикулярна до радіуса кола, дотикається до цього кола?
Завдання №581
Підручник.
Сторінка
198
1
рівень
Розв’язання:
Ні. Наприклад:
Пряма a ⊥ AO, але пряма а не є дотичною до кола.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Пряма AB дотикається до кола із центром O у точці C (рис. 328). Знайдіть:
1) кут OCD, якщо ∠BCD = 28°;
2) кут ACD, якщо ∠OCD = 55°.
Завдання №582
Підручник.
Сторінка
199
1
рівень
Розв’язання:
Оскільки АВ — дотична до кола в точці С, то АВ ⊥ ОС.
Маємо: ∠ОCD = ∠ОCB – ∠ВCD = 90° – 28° = 62°.
∠ACD = ∠ACO + ∠ОCD = 90° + 62° = 152°.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Пряма CD дотикається до кола із центром O в точці A, відрізок AB — хорда кола, ∠BAD = 35° (рис. 329). Знайдіть кут AOB.
Завдання №583
Підручник.
Сторінка
199
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Так як CD — дотична до кола, OA — радіус, то OA ⊥ CD, ∠CAO = ∠OAD = 90°.
Оскільки ∠OAD = ∠OAB + ∠BAD,
90° = ∠OAB + 35°, ∠OAB = 90° – 35° = 55°.
Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (OA = OB = R),
тоді ∠OAB = ∠OBA = 55°.
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°;
∠AOB = 180° – (55° + 55°);
∠AOB = 180° – 110°;
∠AOB = 70°.
Відповідь: ∠AOB = 70°.
Завдання №583
Розв’язання:
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Пряма CD дотикається до кола із центром O в точці A, відрізок AB — хорда кола, ∠АОВ = 80° (рис. 329). Знайдіть кут BAC.
Завдання №584
Підручник.
Сторінка
199
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = В),
тоді ∠OAB = ∠OBA.
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°;
∠OAB + ∠OBA = 180° – 80°; ∠OAB + ∠OBA = 100°;
∠OAB = ∠OBA = 100° : 2 = 50°.
CD — дотична до кола, OA — радіус, то OA ⊥ CD,
∠CAO = ∠OAD = 90°. ∠OAD = ∠OAB + ∠BAD;
90° = 50° + ∠BAD; ∠BAD = 90° – 50° = 40°.
∠BAD і ∠BAC — суміжні. ∠BAD + ∠BAC = 180°;
∠BAC = 180° – 40° = 140°.
Відповідь: ∠BAC = 140°.
Завдання №584|Розв’язання:
1
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дано коло, діаметр якого дорівнює 6 см. Пряма a віддалена від його центра на:
1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см.
У якому випадку пряма a є дотичною до кола?
Завдання №585
Підручник.
Сторінка
199
1
рівень
Розв’язання:
Якщо діаметр кола 6 см, то R = 6 : 2 = 3 см.
Пряма а є дотичною до кола, якщо вона віддалена від центра на відстань 3 см. Відповідь: 2) 3см.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від його центра.
Завдання №587
Підручник.
Сторінка
199
2
рівень
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Нехай дано коло (О; R), AB і CD — хорди, AB = CD.
Доведемо, що відстань від хорди AB і від хорди CD до центра рівні.
Розглянемо ∆AOB і ∆DOC.
1) AO = OD
2) BO = CO
3) AB = CD (за умовою).
Отже, ∆AOB = ∆DOC за III ознакою рівності трикутників.
Проведемо OK ⊥ AB і OM ⊥ CD.
∆AOB і ∆COD — рівнобедрені (AO = OB = CO = OD = R).
З цього випливає, що ∠A = ∠B = ∠ C = ∠D.
Розглянемо ∆AOK і ∆DOM.
Завдання №587|Розв’язання (I):
2
рівень
А
B
K
M
O
C
D
Як радіуси кола
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розглянемо ∆AOK і ∆DOM.
1) AO = OD (як радіуси).
2) ∠A = ∠D (∆AOB = ∆DOC).
3) ∠AKO = ∠DMO = 90° (OK ⊥ AB, OM ⊥ CD).
Отже, ∆AOK = ∆DOM за гіпотенузою і гострим кутом.
Тоді OK = ОМ.
OK — відстань від т. O до AB.
OM — відстань від т. O до CD.
Завдання №587
Розв’язання (II):
2
рівень
А
B
K
M
O
C
D
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Радіус кола дорівнює 7 см. Чи може довжина хорди цього кола дорівнювати:
1) 14 см; 2) 15 см?
Завдання №590
Підручник.
Сторінка
200
2
рівень
Розв’язання:
Діаметр кола дорівнює 7 + 7 = 14 см.
1) Так; 2) Ні.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Скільки різних дотичних можна провести до кола через точку, що лежить:
1) на колі; 2) поза колом; 3) усередині кола?
Завдання
1
рівень
Розв’язання:
1) Одну;
2) дві;
3) жодної.
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3 см, позначте на ньому точку Р.
За допомогою косинця проведіть через точку Р дотичну до цього кола.
Завдання
1
рівень
Розв’язання:
Проведемо радіус OP, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму m, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма m є дотичною до кола.
3см
Р
m
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Радіус кола дорівнює 6 см. Як розміщені пряма а і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює:
1) 4 см; 2) 6 см; 3) 8 см?
Завдання
2
рівень
Розв’язання:
1) Пряма є січною до кола;
2) Пряма є дотичною до кола;
3) Пряма не перетинає коло.
31.03.2025
Сьогодні
Завдання для домашньої роботи
Опрацювати сторінки підручника 194-203.
Виконати завдання
№ 579, 584
31.03.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
На мал. КР - дотична до кола, точка
О - центр кола. Знайдіть:
1) ∠ OMN, якщо ∠ NMP = 40°;
2) ∠ KMN, якщо ∠ 0MN = 48°.
Завдання
2
рівень
Розв’язання:
1) Оскільки KP — дотична до кола, то ∠OMP – ∠OMK = 90°.
Тому ∠OMN = 90° – ∠NMP = 90° – 40° = 50°.
2) ∠KMN = 90° + ∠OMN = 90° + 48° = 138°.
31.03.2025
Сьогодні
Гімнастика для очей
31.03.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
На малюнку: ∠ C = 90°, ∠ ABC = 30°,
∠ADB = 15°, АС = 6 см.
Знайдіть BD.
Розв’язання:
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
1) У ∆ABC за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо
AB = 2 ∙ AC = 2 ∙ 6 = 12 (см).
2) ∠ABD = 180° – ∠ABC = 180° – 30° = 150°.
3) У ∆ABD: ∆BAD = 180° – (150° + 15°) = 15°.
4) Тому ∆ABD — рівнобедрений з основою AD; BD = AB = 12 (см).
31.03.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Для того щоб визначити відстань від спостерігача В до недоступного дерева А, що росте на другому березі, було виконано побудови (див. мал.). Як тепер можна знайти відстань ВА?
ЖИТТЄВА
МАТЕМАТИКА
А
С
В
K
N
Розв’язання:
Трикутники АCB та ВКN рівні тому, що їх сторони АС = KN, СВ = ВК, та кути ∠C = ∠К. Тому АВ буде дорівнювати ВN. Сторону BN вимірюємо на березі.
31.03.2025
Сьогодні
Підсумок уроку. Усне опитування
31.03.2025
Сьогодні
Вправа «ПОПС»
П
О
П
С
позиція
обґрунтування
приклад
судження