PROBABILITAS
Probabilitas adalah peluang suatu kejadian.
Secara lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :
“Probabilitas” ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu
kejadian acak.
Manfaat:
Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat,
karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.
Contoh:
• Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham
• Peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dan lain-lain.
Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui :
1. Percobaan
2. Hasil (outcome)
3. Kejadian atau peristiwa (event)
Percobaan:
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Hasil (outcome):
Suatu hasil dari sebuah percobaan.
Peristiwa (event):
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.
Contoh
Dari percobaan pelemparan sebuah koin. Hasil (outcome) dari pelemparan sebuah koin tersebut adalah “MUKA” atau “BELAKANG”. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai peristiwa (event).
Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan
Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.
Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif.
Probabilitas objektif dibagi menjadi dua, yaitu :
1. Pendekatan Klasik
2. Konsep Frekuensi Relatif
Pendekatan Klasik
Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan :
keterangan :
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A.
x = peristiwa yang dimaksud.
n = banyaknya peristiwa.
Contoh
Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya
angka berjumlah 5.
Penyelesaian :
Hasil yang dimaksud (x) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3). (3,2)
Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3). ….., (6,5), (6,6).
Konsep Frekuensi Relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil atau frekuensi relatif dari suatu peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.
Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut. Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dirumuskan :
Contoh :
Dari hasil ujian statistik 65 mahasiswa didapat nilai-nilai sebagai berikut.
x = nilai statistik.
f = jumlah mahasiswa
Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3.
Penyelesaian :
Frekuensi mahasiswa dengan nilai 8,3 (f) = 15
Jumlah mahasiswa (n) = 65.
Probabilitas Subjektif
Menurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.
Contoh :
Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapat dipercaya. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.
Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut :
Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).
Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki
batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 ( 0 ≤ P ≤ 1).
- Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.
- Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti
terjadi.
- Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS
Aturan Penjumlahan :
Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.
= Atau
= Dan
1. Kejadian Saling Meniadakan :
Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A atau B) = P(A) + P(B) atau
A
B
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwanya adalah
A = peristiwa mata dadu 4 muncul.
B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.
Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !
- Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!
2. Kejadian Tidak Saling Meniadakan :
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika dua peristiwa A dan B tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
B
A
Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
Contoh :
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :
A = peristiwa mata (4, 4) muncul.
B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.
Tentukan probabilitas P(A atau B) !
Contoh Soal
Suatu penelitian dilakukan berkaitan dengan selera pengunjung di suatu toko musik terhadap jenis musik. Penelitian tersebut menggunakan 50 pengunjung sebagai sampel. Berdasarkan sampel tersebut diperoleh informasi sebagai berikut:
20 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R)
15 orang pengunjung menyatakan senang musik Pop (P)
12 orang pengunjung menyenangi senang musik Dangdut (D)
8 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R) dan Pop (P)
9 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R) dan Dangdut (D)
7 orang pengunjung menyatakan senang musik Pop (P) dan Dangdut (D)
5 orang pengunjung menyatakan senang ketiga jenis musik tersebut.
Berdasarkan data tersebut, jika dipilih seorang pengunjung secara random, tentukan probabilitas bahwa ia:
Jawaban Soal 5
a. P(R∪D) = P(R) + P(D) - P(R∩D)
= 20/50 + 12/50 – 9/50 = 23/50 = 0,46
b. P(R∪P) = P(R) + P(P) - P(R∩P)
= 20/50 + 15/50 – 8/50 = 27/50 = 0,54
c. P(R∪P∪D) = P(R) + P(P) + P(D) – P(R∩P) - P(R∩D) - P(P∩D)
+ P(R∩P∩D)
= 20/50 + 15/50 + 12/50 – 8/50 – 9/50 – 7/50 + 5/50
= 28/50 = 0,56
d. = 1 - 0,56
= 0, 44
Soal
Suatu perusahaan melakukan survey mengenai pendapat konsumen terhadap produk yang ia hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat responden terhadap produk tersebut.
Jika dipilih seorang responden secara random, tentukan probabilitas bahwa ia:
Jawaban
a. P(R ∪ SP) = P(R) + P(SP) – P(R∩SP)
= 60/200 + 85/200 – 20/200 = 125/200 = 0,625
b. P(D ∪ KP) = P(D) + P(KP) – P(D∩KP)
= 55/200 + 35/200 – 10/200 = 80/200 = 0,4
c. P(D ∪ A) = P(D) + P(A) – P(D∩A)
= 55/200 + 85/200 - 0 = 140/200 = 0,700
Aturan Perkalian :
Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian
Bebas.
Kejadian Tak Bebas (Dependen):
Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Contoh: Penjualan akan meningkat jika perekonomian membaik. Peristiwa penjualan meningkat dan perekonomian membaik adalah dua peristiwa yang dependen. Penjualan meningkat akan terjadi jika perekonomian membaik terjadi. Penjualan dipengaruhi oleh kondisi perekonomian.
Probabilitas dua peristiwa, misalnya A dan B, terjadi di mana A dan B merupakan dua peristiwa yang dependen adalah
P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)
P(A ∩ B): probabilitas A dan B
P(A): probabilitas A
P(B/A): probabilitas B dengan syarat sebelumnya terjadi A
Probabilitas tiga peristiwa, misalnya A, B, dan C terjadi di mana A, B, dan C merupakan tiga peristiwa yang dependen adalah
P(A∩B ∩C) = P(A) x P(B/A) . P(C/A∩B)
P(A ∩ B ∩ C): probabilitas A dan B dan C
P(A): probabilitas A
P(B/A): probabilitas B dengan syarat sebelumnya terjadi A
P(C/A∩B): probabilitas C dengan syarat sebelumnya terjadi A dan B
Kejadian Bebas (Independen):
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Probabilitas tiga peristiwa, misalnya A, B, dan C yang independen satu sama lain dapat ditentukan dengan formula:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C)
Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 6 berwarna merah dan 4 berwarna putih. Jika 2 buah bola diambil berturut-turut secara random, tentukan probabilitas 1 berwarna merah dan lainnya berwarna putih. Pengambilan dilakukan:
Jawab:
Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 6 berwarna merah dan 4 berwarna putih. Jika 3 buah bola diambil berturut-turut secara random, tentukan probabilitas semua bola berwarna merah. Pengambilan dilakukan:
Jawab:
= 216/1.000 = 0,216
= 6/10 . 5/9 . 4/8 = 120/720 = 0,167
Probabilitas Bersyarat (Conditional probability)
Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Untuk peristiwa yang independen, probabilitas terjadinya peristiwa B dgn syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri
P(B/A) = P(B)
Contoh :
Berapa probabilitas muncul sisi gambar (G) pada sebuah koin yang dilempar satu kali dengan syarat muncul sisi angka (A) pada pelemparan sebelumnya?
P(G/A) = P(G)
Misalnya A dan B adalah dua peristiwa yang saling dependen. Besarnya probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu adalah
Misalnya A dan B adalah dua peristiwa yang saling dependen. Besarnya probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B terjadi terlebih dahulu adalah
Contoh:
65% karyawan perusahaan ABC membaca koran, 45% membaca tabloid, dan 30% membaca keduanya. Berapa probabilitas terpilih seorang karyawan yang membaca tabloid dengan syarat dia juga membaca koran?
Jawab:
Misalnya K adalah karyawan menbaca koran dan T adalah karyawan membaca tabloid.
Soal
Data mengenai komposisi karyawan pada suatu pabrik yang mempunyai 100 karyawan adalah sebagai berikut:
Probabilitas Gabungan
Peristiwa A dan peristiwa B merupakan dua peristiwa yang dependen. Besarnya probabilitas B dengan syarat A terjadi terlebih dahulu adalah
Probabilitas A dan B atau P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)
Soal
Pada saat diterima barang dari penyalur, biasanya pembeli memeriksa barang-barang tersebut. Dari 100 barang yang diterima ternyata 10 barang yang rusak. Apabila diambil dua barang secara random dari 100 barang yang datang, berapa probabilitas bahwa kedua barang yang diambil tersebut adalah rusak (Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian).
Jawaban Soal 14
Misalnya A adalah peristiwa terambil barang yang rusak pada pengambilan pertama dan B adalah peristiwa terambil pengambilan kedua.
P(A) = 10/100 dan P(B/A) = 9/99
Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement). Probabilitas terambil keduanya rusak adalah
P(A∩B) = P(A) . P(B/A)
= 10/100 x 9/99 = 90/9.900
= 1/110
Soal
Misalnya Anda mengikuti seleksi penerimaan staf baru di sebuah perusahaan. Anda memiliki probabilitas diterima sebagai karyawan baru di perusahaan tersebut adalah 65%. Jika Anda diterima sebagai karyawan baru di perusahaan tersebut, probabilitas menempati posisi manajer produksi 20%. Tentukan probabilitas Anda diterima dan menempati posisi sebagai manajer produksi di perusahaan tersebut.
Jawab Soal 15:
Misalnya A menyatakan peristiwa Anda diterima dan B menyatakan Anda menempati posisi sebagai manajer produksi. Dengan demikian probabilitas yang akan ditentukan adalah P(A ∩B).
P(A∩B) = P(A) . P(B/A)
P(A) = 65% = 0,65 dan P(B/A) = 20% = 0,20
= 0,65 (0,2) = 0,13
Probabilitas Anda diterima dan menempati posisi sebagai manajer produksi di perusahaan tersebut adalah 13%.
Marginal Probability
Probabilitas sederhana dari suatu kejadian yang dependen
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar
membilang dan faktorial.
Prinsip Dasar Membilang
Contoh :
Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Banjarmasin melalui Surabaya. Jika Jakarta – Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya – Banjarmasin dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Banjarmasin dari Jakarta?
Penyelesaian misalkan :
Dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara
Dari Surabaya ke Banjarmasin (n2) = 2 cara
Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Banjarmasin dari Jakarta adalah :
n1 x n2 = 3 x 2 = 6 cara.
Faktorial
Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.
Faktorial dilambangkan: “!”.
Contoh :
Tentukan nilai faktorial dari bilangan berikut
a. 5!
b. 3! X 2!
c. 6!/4!
Permutasi
Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.
Contoh :
Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.
Rumus-rumus Permutasi
a. Permutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian : mPm = m!
Contoh :
Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapat disusun.
Penyelesaian :
Buku-buku matematika dapat disusun dalam :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
b. Permutasi sebanyak x dari m objek tanpa pengembalian
Contoh :
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?
Penyelesaian:
m = 4 dan x = 3
c. Permutasi dari m objek dengan pengembalian
Contoh :
Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur yang terpilih!
Penyelesaian:
d. Permutasi dari m objek yang sama
Contoh :
Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”
Kombinasi
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.
Contoh
Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD.
Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu :
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
Contoh :
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?
5 x 4 x 3 x 2 x 1 5 x 4 20
= =
3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 2
Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar satu kali secara bersama, maka peluang untuk memperoleh GAMBAR pada mata uang dan bilangan GANJIL pada dadu adalah…
Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah:
a. kartu warna hitam�b. kartu Quenn atau King�c. kartu merah dan Jack�
Peluang mahasiswa A lulus mata kuliah statistika adalah 0,91 sedangkan peluang mahasiswa B lulus mata kuliah statistika adalah 0,89. Hitunglah:
Fatek UNISKA akan mengikuti kejuaraan bola voli antar perguruan tinggi. Ada 12 mahasiswa yang terpilih sebagai anggota tim. Tentukan berapa banyak cara sebuah tim voli yang dapat dibentuk?
Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A, B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh informasi sebagai berikut:
30 responden menyatakan pernah membeli A
20 responden menyatakan pernah membeli B
25 responden menyatakan pernah membeli C
7 responden menyatakan pernah membeli A dan B
11 responden menyatakan pernah membeli A dan C
8 responden menyatakan pernah membeli B dan C
3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C
Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan probabilitas seorang responden:
a. pernah membeli barang A atau C
b. pernah membeli barang B atau C
c. pernah membeli barang A atau B atau C
d. tidak pernah membeli barang A atau B atau C.