1 of 40

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

10

2 of 40

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

  • системы счисления
  • позиционная система счисления
  • непозиционная система счисления
  • базис системы счисления
  • схема Горнера

​

3 of 40

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Система счисления – это способ записи чисел.

​

УНАРНЫЕ

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

ПОЗИЦИОННЫЕ

  • узелки
  • камни
    • Римская {I, V, X, L, C, D, M}
    • Кириллическая
    • Двоичная {0, 1}
    • Восьмеричная {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
    • Двенадцатеричная {0, 1, …, 9, T, E}
    • Шестнадцатеричная {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

4 of 40

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Кириллическая система счисления основана на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы или глаголицы. Применялась в России до начала XVIII века. В настоящее время используется в церковнославянском языке.

Для отличия от букв над числовым значением писался специальный знак – титло.

​

5 of 40

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Двенадцатеричная система счисления – позиционная система счисления с основанием 12. Используются цифры �0–9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют T (ten) и E (eleven).

Неоднократно предлагался переход на двенадцатеричную систему счисления.

Преимущество – большое количество делителей основания 12: 2, 3, 4, 6.

1/12 доля (разных величин) – унция

1/12 шиллинга = 1 английский пенс

1/12 фута = 1 дюйм

1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки

1 масса = 12 гроссов = 1728 штук

1 дюжина = 12 штук

6 of 40

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Основное достоинство любой позиционной системы счисления – возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов.

Основание

Название

Базис

q = 2

Двоичная

1, 2, 4, 8, 16, 32, …

q = 3

Троичная

1, 3, 9, 27, 81, 243, …

q = 8

Восьмеричная

1, 8, 64, 512, …

q = 16

Шестнадцатеричная

1, 16, 256, 4096, …

7 of 40

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ q

 

8 of 40

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 

 

Свернутая

форма

Развернутая

форма

9 of 40

РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

 

125 248 – запись числа в свернутой форме.

 

 

 

 

10 of 40

СХЕМА ГОРНЕРА

​

​

​

​

​

​

​

1

=

1

​

​

​

​

​

​

1

0

=

1·2+0

​

​

​

​

​

1

0

0

=

2·2+0

​

​

​

​

1

0

0

1

=

4·2+1

​

​

​

1

0

0

1

0

=

9·2+0

​

​

1

0

0

1

0

1

=

18·2+1

​

1

0

0

1

0

1

1

=

37·2+1

 

1

2

4

9

18

37

75

По схеме Горнера переведите

в 10-ую систему счисления:

20213

101000112

11001100112

11 of 40

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ q-ИЧНОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

5432q = 5×q3 + 4×q2 + 3×q1 + 2×q0

3 2 1 0

q0 = 1

12 of 40

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ q-ИЧНОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

Для перевода числа Аq в десятичную систему счисления достаточно:

  1. записать развёрнутую форму числа Аq;
  2. представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;
  3. вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

​

13 of 40

ПЕРЕВОД В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ЦЕЛЫХ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2n

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

10011100112 = 1001110011 = 512 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1 = = 62710

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

14 of 40

ПРИМЕР 1

Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5.

​

​

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления.

Запишем условие задачи иначе:

212q = 5710, q > 2

Представим число 212q в виде суммы разрядных слагаемых:

212q =2·q2 +1·q1 +2·q0 =2q2 +q+2=5710

Решим уравнение:

2q2 + q + 2 = 57

2q2 +q–55=0

x1 = –5,5; x2 = 5

15 of 40

ПРИМЕР 2

Все пятибуквенные слова, составленные из пяти букв А, И, Р, С, Т, записаны в алфавитном порядке.

Вот начало списка:

1)  ААААА

2)  ААААИ

3)  ААААР

4)  ААААС

5)  ААААТ

6)  АААИА

...

Необходимо найти ответы на два вопроса:

  1. На каком месте от начала списка стоит слово ИСТРА?
  2. Сколько всего слов в этом списке?

​

16 of 40

ПРИМЕР 2

Введём следующие обозначения: А — 0, И — 1, Р — 2, С — 3,

Т — 4. Перепишем в новых обозначениях исходный список:

1)  00000

2)  00001

3)  00002

4) 00003

5)  00004

6)  00010

...

​

Представим слово ИСТРА в новых обозначениях:

134205

 

Слово ИСТРА находится в списке на 1111 месте.

17 of 40

ПРИМЕР 2

Самое последнее слово в списке ТТТТТ.

​

Ему соответствует число 444445.

 

В списке это число стоит на 3125-м месте.

18 of 40

ПРИМЕР 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 60, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31.

​

В четверичной системе счисления используются цифры 0, 1, 2 и 3; число представляется в виде суммы разрядных слагаемых:

40

41

42

43

…

1

4

16

64

​

 

 

Искомые числа: 314 = 1310 (k = 0), 1314 = 2910 (k = 1), 2314 = 4510 (k = 2).

19 of 40

Система счисления — это способ записи (обозначения) чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, ..., q – 1.

Число A, свёрнутая запись которого в системе счисления с основанием q имеет вид an–1an–2...a0,a–1...a–m, может быть представлено в развёрнутой форме как

an–1·qn–1 +an–2·qn–2 +...+a0·q0 +a–1·q–1 +...+a–m·q–m.

Для перевода числа Аq в десятичную систему счисления достаточно:

1)  записать развёрнутую форму числа Аq;

2)  представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;

3)  вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

​

САМОЕ ГЛАВНОЕ

20 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Что такое система счисления? Какие классы систем счисления принято выделять?

​

21 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Дайте определение позиционной системы счисления. Что называется алфавитом системы счисления? Что называется базисом позиционной системы счисления? Что называется основанием позиционной системы счисления?

​

22 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Сколько цифр используется в позиционной системе счисления с основанием 2, 3, 5, 8, 16, 100, q?

​

23 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Какая форма записи числа называется развёрнутой?

​

24 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Запишите в развёрнутой форме числа:�1) 143,51110; 2) 1435,118; 3) 143,51116.

​

25 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:

1) 1234510; 2) 123458; 3) 0,123456.

​

26 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:

1) 1203; 2) 100,214; 3) 5A,12416.

​

27 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1223 и 110112?

​

28 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Укажите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:�1) [2023; 10003]; 2) [148; 208]; 3) [2816; 3016].

​

29 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

 

30 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.

​

31 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Какое из чисел X, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 9D16 < X < 2378?�1) 100110102; 2) 100111102; 3) 100111112; 4) 110111102.

​

32 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Как изменится величина чисел 311,2114 и 23,456 при переносе запятой на:�1) один знак вправо;�2) два знака влево?

​

33 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

 

34 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

​

35 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

 

36 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

 

37 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Все трёхбуквенные слова, составленные из букв И, М, Р, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1)  ИИИ

2)  ИИМ

3)  ИИР

4)  ИМИ

...

Выясните общее количество слов в этом списке. На каких местах в этом списке стоят слова МИМ, МИР, РИМ?

​

38 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22.

​

39 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Трёхзначное число, записанное в системе с основанием 3, при перестановке крайних цифр становится числом, выражающим то же количество, но уже в системе с основанием 4. Найдите это число.

​

40 of 40

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Исполнитель умеет сравнивать однозначные числа, представленные в некоторой позиционной системе счисления. Составьте для него:

1) алгоритм сравнения двух двухзначных чисел;

2) алгоритм сравнения двух n-значных чисел.

​