Algoritmos matemáticos y �mecanismos económicos

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• Economías óptimas y precios
• Economías óptimas y contabilidades
• Algoritmos matemáticos y mecanismos económicos

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Opcional. Asignación óptima, condiciones de máximo y multiplicadores de Lagrange

• Planteemos el problema de una economía óptima, una economía que maximiza una función objetivo (el beneficio u otra cualquiera).
• Anotando como Φ la función objetivo que se maximiza, X las intensidades de los procesos, F la matriz con los flujos de consumo y producción, y D como las cantidades disponibles, el problema queda

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• X son las incógnitas; el resto son datos. Anotamos Y como los multiplicadores de Lagrange que se corresponden a los balances de cada materia, D + X F ≥ 0 , las condiciones de máximo resultan

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• Tenemos que hay unas condiciones de máximo, en donde están implicados unos multiplicadores de Lagrange, uno por cada balance de cada materia, que tienen que satisfacerse para que la asignación consiga maximizar el objetivo.
• El término son las tasas a las que aumenta directamente el objetivo con la variación de las intensidades de los procesos.
• Los multiplicadores de Lagrange Y son las tasas a las que aumenta el objetivo con una variación en las restricciones, son las tasas a las que aumentaría el objetivo con la introducción de una pequeña cantidad de la materia; los llamaremos también valor de la materia.
• El término F Y es la tasa a la que aumentaría indirectamente el objetivo con el consumo y la producción de las materias por los procesos.
• Para que la asignación alcance la mayor magnitud del objetivo, cumpliéndose las restricciones, es necesario que lo que aumenta el objetivo directamente más indirectamente sea nulo para los procesos que operan, y no negativo para los que no operan.
• Esto es así en toda economía óptima aislada, sin intercambios, también en la economía de Robinsón Crusoe, en donde para Robinson las cosas tienen valor, y los procesos que operan tienen que ser aquellos en los que o bien contribuyan directamente al objetivo de Robinson, o bien contribuyan indirectamente mediante su consumo y producción, o bien contribuyan de las dos formas.

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Economías óptimas y precios

Opcional. Valores y tasas de intercambio en una economía óptima (Thünen actualizado)

• Si una economía que maximiza una función objetivo (el beneficio u otra cualquiera) puede intercambiar con su entorno, de manera que el valor de los intercambios totales se anule (o sea constante) y que los intercambios no sean argumento del objetivo, los multiplicadores de Lagrange tienen que ser proporcionales a las tasas de intercambio.
• Anotando como Φ la función objetivo que se maximiza, X las intensidades de los procesos, F la matriz con los flujos de consumo y producción, D como las cantidades disponibles, V las ventas netas y como T las tasas de intercambio, el problema queda

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• X y V son las incógnitas; el resto son datos. Anotamos Y como los multiplicadores de Lagrange que se corresponden a los balances de cada materia, D + X F – V ≥ 0 , y como λ el multiplicador de Lagrange de los intercambios totales, V T = 0, las condiciones de máximo resultan

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• De la última expresión, los multiplicadores de Lagrange Y, o valores, que se corresponden a cada materia (en cada instante) son proporcionales a las tasas de intercambio T.
• Por lo tanto, un asignador que maximiza una función objetivo y que pueda intercambiar con unas tasas dadas, intercambiará hasta que sus valores sean proporcionales a las tasas de intercambio.

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Valores y tasas de intercambio �en una economía óptima

• Si el asignador valora internamente un recurso más de lo que cuesta intercambiarlo le conviene comprarlo.
• Si el asignador lo valora menos le conviene venderlo.
• Por lo tanto, el asignador tenderá a intercambiar hasta que las tasas de intercambio sean proporcionales a los valores, o multiplicadores de Lagrange.
• Pero fijémonos que los valores, los multiplicadores de Lagrange, dependen del objetivo que se intente alcanzar. Las cosas se valoran internamente en función del objetivo que se busca.
• Debemos “desacralizar” el valor. Los valores dependen del objetivo, y son proporcionales a las tasas de intercambio como resultado de las acciones de los asignadores intercambiando intentando maximizar sus objetivos.
• Esto es así en un capitalismo que maximice el beneficio, pero también para un robinsón que pudiera intercambiar con otros robinsones y que maximizara su “utilidad”, o para una cooperativa socialista vinculada con otras con intercambios.
• Si el asignador maximiza el beneficio, intercambiará hasta que sus multiplicadores de Lagrange (lo que aumentan sus beneficios con la introducción de unas pequeñas cantidades de las materias, o beneficio marginal) sean proporcionales a las tasas de intercambio.
• Si el asignador maximiza su “utilidad” intercambiará hasta que sus multiplicadores de Lagrange (lo que aumenta su “utilidad” con la introducción de unas pequeñas cantidades de las materias, o “utilidad” marginal) sean proporcionales a las tasas de intercambio.

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Opcional. Valores, tasas de intercambio y ponderaciones en los capitalismos

• Estudiemos una empresa que maximiza el beneficio, la producción física ponderada en unos precios, inserta en un mercado. Centrémonos para simplificar en un solo paso temporal. Anotando como A la matriz de insumos, como B la matriz de productos, como P las ponderaciones con las que se establece el beneficio, como T las tasas de intercambio imperantes en el mercado, D como las cantidades disponibles, V las ventas netas y X las intensidades de los procesos, el problema queda

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• X y V son las incógnitas; el resto son datos. Anotamos como Y los multiplicadores de Lagrange que se corresponden a los balances de cada materia, D – X A – V ≥ 0 , y como λ el multiplicador de Lagrange de los intercambios totales, V T = 0, las condiciones de máximo resultan

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• Tenemos los tres aspectos del precio: ponderaciones P, tasas de intercambio T, y multiplicadores de Lagrange o valores Y.
• De la última expresión, los multiplicadores de Lagrange Y, o valores, que se corresponden a cada materia son proporcionales a las tasas de intercambio T. Las acciones del asignador intentando maximizar el beneficio tienden a provocar que los valores sean proporcionales a las tasas de intercambio.
• De la penúltima expresión, con los procesos que operan los ingresos marginales B P son iguales a los costes marginales A Y.
• El asignador tiene que establecer P como una estimación. Y hará esa estimación en función de lo que observa en el mercado, en función de las tasas de intercambio y valores.
• Como consecuencia de las acciones del asignador, en los capitalismos P, T e Y tienden a ser proporcionales.

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Valores, tasas de intercambio y ponderaciones en los capitalismos

• En los capitalismos las empresas que maximizan el beneficio tienden a desplazar a las que buscan cualquier otro objetivo. Por eso impera la maximización del beneficio.
• Los beneficios se calculan en precios, ponderando las cantidades físicas, tomando como referencia las tasas de intercambio y valores.
• Pero es evidente que en otros sistemas distintos de los capitalismos no tienen porqué maximizarse el beneficio, y por lo tanto no tienen porqué existir ponderaciones.
• Eso no significa que las ponderaciones con las que se estiman los beneficios sean exactamente proporcionales a las tasas de intercambio y valores actuales. Las ponderaciones son estimaciones que los empresarios tienen que aventurar para el momento en el que la producción esté disponible, que está separado del momento en el que se consumen los insumos por el tiempo de producción. Y por eso no tienen porque ser proporcionales.
• En nuestro juego vosotros no pensabais que las ponderaciones, el precio que iba a imperar en la sesión siguiente, tuvieran que ser exactamente proporcionales a las tasas de intercambio imperantes.
• No obstante, a largo plazo para la mayoría de las materias, las ponderaciones si están vinculadas a las tasas de intercambio y valores, sí tienden a ser proporcionales, porque los empresarios tienden a pensar que lo que es caro hoy lo será también cuando la producción pueda realizarse.
• Por eso en los capitalismos, a largo plazo, valores, tasas de intercambio y ponderaciones sí tienden a ser proporcionales.

Economías óptimas y contabilidades

Economía óptima y condiciones de máximo

• En los problemas de maximización restringida:
• Para que exista una solución, tienen que cumplirse además de las restricciones unas condiciones de máximo en las que intervienen unas variables auxiliares, los multiplicadores de Lagrange.
• Comprobar si unas determinadas variables y multiplicadores forman una solución óptima resulta sencillo simplemente comprobando si se cumplen las restricciones y las condiciones de máximo.
• Muchos algoritmos matemáticos que intentan la solución de los problemas de maximización restringida usan este hecho de forma sistemática, comprueban si unas variables y unos multiplicadores satisfacen las restricciones y las condiciones de máximo, y si no es así los modifican intentando que las incumplan menos.
• En una asignación óptima la condición de máximo tiene dos términos:

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• La contribución marginal directa indica cuánto aumenta la magnitud del objetivo con la operación del proceso directamente.
• La contribución marginal indirecta F Y cuanto aumenta por el consumo y la producción de los procesos; tomando en consideración los multiplicadores de Lagrange o valores.

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Contabilidades y mecanismos económicos

• En los algoritmos económicos reales:
• Los valores y las contabilidades pueden usarse en el mismo sentido que los multiplicadores de Lagrange y las condiciones de máximo en los algoritmos matemáticos, porque al problema real de la asignación le corresponde lógicamente el problema de maximización restringida.
• La contabilidad indica si aumentar la intensidad de un proceso, o el nivel de un insumo, permite aumentar la magnitud el objetivo o reducirla. Si la contabilidad es positiva hay que aumentar la intensidad, y si es negativa reducirla. Por eso las contabilidades son esenciales en un mecanismo económico real.
• Pero la contabilidad debe tener en cuenta las contribuciones marginales directas e indirectas. Y la directa depende de la función objetivo.
• En los capitalismos:
• Los valores y la contabilidad opera en la empresa en el mismo sentido que los multiplicadores de Lagrange y las condiciones de máximo en los algoritmos matemáticos para resolver los problemas de maximización restringida.
• Se ha señalado, con razón, que el capitalismo es el triunfo de la contabilidad. Pero el capitalismo es el triunfo de una determinada contabilidad, la contabilidad del beneficio.
• De hecho la contabilidad capitalista puede aproximarse como una maximización a largo plazo, y entonces, para los procesos anteriores a ese largo plazo, solo se considera la contribución marginal indirecta, F Y, que son los beneficios marginales.
• En otros sistemas:
• Otros sistemas también pueden entenderse como economías óptimas, y por ello también existen unos multiplicadores de Lagrange y unas condiciones de máximo, unos valores y unas contabilidades específicos, aunque diferentes de los capitalistas.
• Para construir una economía distinta de los capitalismos será necesario usar una contabilidad y unos valores (en las unidades de asignación atomizadas, que será necesario usar), pero estos tienes que tomar en consideración su función objetivo específica, diferente del beneficio.
• En otros sistemas sí habrá que considerar, además de la contribución marginal indirecta, la directa, como influye en el objetivo que se busca la operación del proceso. La contabilidad de otros sistemas no se reduce a los beneficios marginales.

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Algoritmos matemáticos y �mecanismos económicos

Algoritmos y mecanismos

• Los algoritmos matemáticos para resolver los problemas de maximización restringida muy a menudo usan:
• Las condiciones de máximo y los multiplicadores de Lagrange para buscar la solución del problema.
• Por ejemplo, parten de unas magnitudes de las variables y unos multiplicadores de Lagrange iniciales, más o menos arbitrarios, e intentan conseguir unas variables y multiplicadores que incumplan menos las restricciones y las condiciones de máximo.
• Estrategias como divide et impera para intentar atacar problemas muy grandes.
• Dividiéndolos en problemas más pequeños, buscando la solución de estos problemas más pequeños, e intentando la solución del problema general coordinando las soluciones.
• Los mecanismos económicos pueden acercarse a una asignación óptima:
• Usando las contabilidades y los valores,
• Usando la división y la coordinación: empresas y mecanismo de precios.
• Los mecanismos económicos tienen que ser algoritmos reales para poder atacar el complicadísimo problema económico.

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Ejemplo: algoritmo del gradiente y mecanismo capitalista

• Uno de los algoritmos clásicos para resolver un problema de maximización restringida es el algoritmo del gradiente. Procedemos:
• Atribuimos unas magnitudes iniciales a las variables y a los multiplicadores de Lagrange,
• Vamos aumentando las variables según sus condiciones de máximo, aumentando las que tengan condiciones de máximo positivas y reduciendo las que las tengan negativas,
• Vamos disminuyendo los multiplicadores de Lagrange según las restricciones, aumentando los que tengan restricciones negativas, y reduciendo los de restricciones positivas.
• En una economía óptima las variables son las intensidades, las condiciones de máximo las contabilidades y los multiplicadores de Lagrange son los valores. Si aplicamos el algoritmo del gradiente al problema de una economía óptima procederemos:
• Vamos aumentando las intensidades cuyas contabilidades sean positivas y reducimos las de contabilidades negativas.
• Aumentando los valores de las materias con déficit y disminuimos los valores de las materias con superávit.
• En un capitalismo:
• Tendríamos que ir aumentando los procesos rentables, e ir disminuyendo los procesos con pérdidas,
• Ir aumentando los valores de las cosas con déficit y reduciendo los valores de las cosas con superávit.
• No parece necesario subrayar el parecido entre la forma de operar del mecanismo capitalista y el algoritmo del gradiente. Pero podríamos construir otro mecanismo, no capitalista, tomando en consideración la contabilidad correspondiente a su objetivo.
• Fijémonos que tenemos que modificar cómo cambian los procesos, por tener una diferente contabilidad, pero no la forma en la que cambian los valores.
• (En https://sites.google.com/site/manuelmuinhospan/computando-a-von-neumann se describen algoritmos para resolver el modelo Von Neumann y su vínculo con los mecanismos económicos; véase especialmente el algoritmo simplex y el divide et impera.

Opcional. Ejemplo: algoritmo simplex y selección de procesos

• El algoritmo simplex de Dantzig para los programas lineales (y los algoritmos análogos para otros problemas, como el modelo Von Neumann) pueden entenderse como paralelos al proceso de selección de procesos en un capitalismo.
• En los capitalismos:
1. Los procesos que operan determinan los precios y el tipo de interés;
2. Si un proceso no es rentable deja de usarse;
3. Si un proceso pasa a ser rentable se pone a operar;
4. Con los nuevos procesos que operan se vuelve al punto 1.
1. Aquí el papel de los precios y de las contabilidades es esencial.
• En el algoritmo simplex (para el modelo Von Neumann):
1. Los procesos básicos (los procesos que operan) determinan los multiplicadores de Lagrange (los precios) y el factor (1 más el tipo de interés);
2. Criterio de salida: los procesos básicos que cumplen las condiciones de máximo con holgura (los que no son rentables para los precios y el tipo de interés) se retiran de los procesos básicos;
3. Criterio de entrada: los procesos no básicos que incumplen las condiciones de máximo (que son rentables para los precios y el tipo de interés) se incluyen en los procesos básicos.
4. Con los nuevos procesos básicos se vuelve al punto 1.
1. Aquí el papel de los multiplicadores de Lagrange y de las condiciones de máximo es esencial.
• En un sistema no capitalista podría usar un procedimiento similar al simplex, pero no usaría la contabilidad capitalista (la rentabilidad o beneficio) sino la correspondiente condición de máximo tomando en cuenta la función objetivo.

Opcional. Ejemplo: algoritmo divide et impera; división y coordinación

• Los algoritmos divide et impera pueden entenderse como paralelos al proceso de división y coordinación de la asignación en los capitalismos (y potencialmente en otros sistemas).
• En los capitalismos:
• Al dividir el problema en empresas, el coste de obtener la información, de ejecutar el cálculo, y de llevar a la práctica lo calculado se hace posible en cada empresa.
• En cada empresa se resuelve el problema económico, sin necesidad de resolverlo para el conjunto de la economía. Las empresas disponen de los precios y el tipo de interés para poder buscar la maximización del beneficio.
• Dadas las producciones de las empresas, se desarrolla la coordinación global de las asignaciones locales mediante el mecanismo de precios, obteniendo unos nuevos precios y tipo de interés.
• El procedimiento se reitera.
• En el algoritmo divide et impera (con el modelo Von Neumann):
• Al dividir el problema general en subproblemas se hace posible resolver cada subproblema.
• Se resuelve cada subproblema de manera que se maximice el beneficio, para un factor de interés y precios, obteniendo las magnitudes de las variables de decisión interna y flujos para cada subproblema;
• Conociendo los flujos de cada subproblema, se resuelve el problema general, y se obtienen el factor de interés y precios generales.
• Se itera el procedimiento.
• Un sistema no capitalista también podría usar el divide et impera, también podría dividir la asignación en unidades y coordinarlas de alguna manera (con el mercado o de otra forma).
• Pero entonces: o bien las unidades locales no maximizarían el beneficio sino la función objetivo correspondiente, o bien tendría que modificarse la contabilidad para que se tuviera en cuenta el objetivo (incluso si se usa un mercado y las unidades compiten entre sí).

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