1. Vektörler ve

Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

1

26.09.2025

1.a

Giriş ve Motivasyon

.

Video 1a

Video 1b

1.1 Konunun önemi

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2

26.09.2025

Soru: Bu konuyu öğrenmek bize ne kazandıracak?

Cevap: Bu konuyu iyice anlayabilirsek;

Statik’in temel konusu olan kuvvet hesaplamalarını yapabilecek ve özellikle üç boyutlu denge problemlerini, daha kolay ve pratik olarak çözebileceğiz.

Hatırlayın : Kuvvetleri hesaplamanın ne önemi vardı?

• Kuvvetleri bilmeden mukavemet hesapları yapılamaz.
• İncelenen parçanın, kuvvete dayanması için gerekli minimum boyutları mukavemet hesaplamalarıyla belirlenir.
• Bu minimum boyutlar ise günlük hayatımıza uygulanabilir bir veri elde etmemizi sağlar. Zira boyutlar bu değerlerden büyük olmalıdır.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Bu konuyu niçin

öğrenmeliyim ?

Şekil 1.1

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

26.09.2025

• 1.2 Skaler büyüklük: Sadece şiddeti bulunan büyüklüklerdir (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacim, enerji, yoğunluk). Bir harf ile sembolize edilebilirler. (örn: kütle: m)

• 1.3 Vektörel büyüklük: Şiddeti ile birlikte yönü olan büyüklüklerdir. (örn: hız, ivme, kuvvet)
• 1.4 Bir vektörün gösterimi: Bir okla gösterilir. Sembolize edilirken harfin üzerinde bir ok koyulur.

Şimdi vektörlerle ilgili tanım ve işlemleri sırasıyla işleyip, son kısımda çeşitli örneklerle konuyu pekiştirmeye çalışacağız.

etkime doğrultusu

A

B

V

Doğrultusu : AB

Yönü : A’dan B’ye doğru

Uygulama noktası : A

Yatayla yaptığı açı : θ

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.2

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

26.09.2025

1.5 Vektörlerin Sınıflandırılması

Püf Noktası (P.N) 1.1 : Sınıflandırmada esas olan vektörün etkisinin korunmasıdır.

1-Serbest vektör (Free vector): Belirli bir şiddeti, doğrultusu ve yönü vardır ama etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçmez.

Sabit bir hızla doğrusal hareket yapan bir aracın hız vektörü buna bir örnektir.

2- Kayan vektör (Sliding vector): Belirli bir şiddeti, doğrultusu ve yönü vardır. Uygulama noktası etkime doğrultusu üzerinde herhangi bir nokta olabilir.

Rijit bir cisme etki eden kuvvet, aynı etkiyi etkime çizgisi üzerinde herhangi bir noktadan uygulandığında da gösterir ki bu kuvvet kayan vektöre bir örnektir.

3- Sabit vektör (Fixed vector): Belirli bir şiddeti, doğrultusu ve yönü vardır.

Etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçer. Elastik bir çubuğa uygulanan çekme kuvvetleri buna bir misaldir. Kuvvetlerin aynı etkiyi koruması için etkime doğrultusu üzerinde belirli bir noktadan uygulanması gerekir.

​

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.3

Şekil 1.4

Şekil 1.5

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

26.09.2025

1.6 Kaydırılabilme İlkesi (Principle of transmissibility):

Bir cismi arkadan itsek veya önden aynı doğrultuda aynı kuvvetle çeksek, teorik olarak bu kuvvetlerin mekanik etkisi aynıdır.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Rijit cisim üzerine etkiyen kuvvetin şiddeti, doğrultusu ve yönü aynı kalmak koşuluyla uygulama noktası, doğrultusu üzerinde herhangi bir noktaya taşınabilir ve bu işlem sonucu cisme etkisi değişmez.

Şekil 1.6

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

6

26.09.2025

1.7.1 Kartezyen Koordinatlar : Birbirine dik (ortogonal) eksenlerden oluşan eksen takımıdır. İki boyutlu (düzlemsel) durumda x ve y eksenlerini, üç boyutlu (uzaysal) durumda x, y ve z eksenlerini içerir. Eksenlerin 2si keyfi, diğeri onlara bağlı (sağ el kaidesine göre) yerleştirilir.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.7

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

26.09.2025

1.7.2 Eksenlerin yerleştirilmesi nasıl yapılır?

• x ve y eksenleri keyfi olarak yerleştirilir; ancak z ekseninin yönü artık keyfi olamaz.
• z ekseni sağ el kaidesiyle yerleştirilir.
• Yani x ekseni sağ elimizin 4 parmağıyla tutup, y ekseni üzerine kaparsak baş parmağımızın yönü + z eksenini gösterir.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

x

y

z

Şekil 1.8

Şekil 1.9

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

26.09.2025

1.8 Vektörelerin Toplanması ve Çıkarılması

Toplama:

Çıkarma:

Vektörlerin toplama ve çıkarma işleminde 2 yöntem vardır:

a-) Paralelkenar yöntemi:

Çıkarılan 2nci vektör 180 derece çevrilip toplama işlemi aynen yapılır.

+

=

-

=

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

26.09.2025

b-) Üçgen Yöntemi (uç uca ekleme yöntemi):

Çıkarma: 2nci vektör 180 derece çevrilip toplama işlemi yukarıdaki gibi aynen uygulanır.

+

=

-

=

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

10

26.09.2025

c-) Birden Fazla vektörün toplanması veya çıkarılması:

Bu durumda üçgen yöntemi daha pratiktir. Vektörler uç uca eklenir ve ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen vektör bileşke (yani toplam) vektörü verir.

Vektörlerin sırasının önemi yoktur. Çıkarılacak vektörler varsa yine 180 derece çevrilir.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

26.09.2025

1.9 Bir vektörün bir skalerle (bir katsayı ile) çarpımı:

• Sonuç, başka bir vektördür.
• Sonuç vektörün şiddeti = (çarpılan vektörün şiddeti) x (katsayı)
• Sonuç vektörü, çarpılan vektöre paraleldir ancak yönü değişebilir.
• Eğer çarpım katsayısı pozitif ise sonuç vektörü aynı yönde, katsayı negatif ise zıt yönde (180 derece ters yönde) olur.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

26.09.2025

• Sonuç bir skalerdir (bir sayıdır).
• Bu sayı; her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının cosinüsünün çarpılmasıyla bulunur.
• Skaler çarpımda arada . ( nokta) kullanılır.

1.10 İki Vektörün Birbirleriyle Skaler Çarpımı (.) :

Şiddetler : A = 5, B = 4 ve θ = 60^ο

= 5.4.Cos60^o

Örneğin;

(1.1)

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

= 10

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

26.09.2025

• Sağ el kaidesi : Çarpılan ilk vektör sağ elimizin 4 parmağıyla tutulur ve ikinci vektör üzerine kapatılır. Bu durumda baş parmağımızın yönü sonuç vektörünün yönünü verir.
• Vektörel çarpımda arada ‘ x ‘ veya ‘^’ kullanılır.

1.11 İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı (x):

(1.2)

Şiddeti:

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

• Sonuç başka bir vektördür.
• Sonuç vektörünün şiddeti :her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının sinüsünün çarpılmasıyla bulunur.
• Sonuç vektörünün yönü: çarpılan vektörlerin bulunduğu ortak düzleme diktir ve sağ el kaidesiyle bulunur.

Şekil 1.10

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

26.09.2025

1.13 Vektörel Çarpmada Dağılma Özelliği :

Reel sayılardaki bu özellik vektörler için de geçerlidir. Yani:

Yapraksız kaldın diye gövdeni kestirme. Zira bu işin baharı da var. (Mevlana)

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Vektörel çarpımda vektörlerin çarpım sırası önemlidir.

(1.3)

Şekil 1.11

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

26.09.2025

Birim vektör nasıl bulunur? : Birim vektör; kendisiyle aynı yönde olan bir vektörün kendi şiddetine bölünmesiyle bulunur.

Bu tanıma göre;

Not: Birim vektör ise aynı yönde başka bir vektörün yardımıyla 1.4 denklemi ile bulunur. Bununla ilgili örnekler ileride verilecektir.

(1.4)

(1.5)

1.5 denklemi bize der ki: Bir vektörün şiddeti belli iken, vektörel ifadesini bulmak istiyorsan; vektörün şiddeti ile vektörle aynı yöndeki birim vektörü çarp.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

26.09.2025

1.16 Kartezyen birim vektörlerin birbirleriyle vektörel çarpımı:

Çıkan sonuç vektörünün şiddeti:

Çarpılan vektörlerin şiddeti ile aralarındaki açının sinüsünün çarpılır.

Vektörel çarpım gereği sonuç başka bir vektördür.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.12

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

26.09.2025

Çıkan sonuç vektörünün yönü: Sağ el kaidesiyle +z yönündedir.

Sağ elimizin dört parmağıyla çarpılan 1. vektörü (i) tutup, 2.vektör (j) üzerine kapayınca, baş parmağımızın yönü sonuç vektörünün yönünü gösterir.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Benzer şekilde:

olduğunu görmeye çalışınız.

O halde, Kartezyen birim vektörlerin ikisinin birbiriyle çarpımı diğer kartezyen birim vektöre eşittir. İşareti ise sağ el kaidesiyle tespit edilir.

Şekil 1.13

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

26.09.2025

1.17 Şema yardımı ile Kartezyen birim vektörlerin vektörel çarpımı:

Örn-1:

Örn-2:

olduğunu görmeye çalışın.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Kartezyen Birim vektörlerin kendisi ile vektörel çarpımı sıfırdır. Çünkü aralarındaki açı 0° dir.

Şiddeti :

Benzer şekilde:

Örneğin;

Şekil 1.14

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

26.09.2025

1.18 Kartezyen birim vektörlerin skaler çarpımı:

1.10 maddesinden biliyoruz ki, skaler çarpımda, sonuç bir sayıdır ve çarpılan vektörlerin şiddeti ile aralarındaki açının kosinüsü çarpılır. Aynı birim vektörlerin aralarındaki açı 0^o dir. Bir birim vektörün, diğer birim vektörlerle arasındaki açı 90^o dir. Buna göre;

Kartezyen birim vektörlerin kendisiyle skaler çarpımı sonucu 1 dir.

Kartezyen birim vektörlerin birbirleriyle skaler çarpımı sonucu 0 (sıfır) dır.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Örneğin:

Örneğin:

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

20

26.09.2025

Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü vektörün bitim noktasından o eksene inilen dik ile bulunur.

1.19 İzdüşüm :

veya

(1.6)

1.6 denklemi der ki: Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümünün şiddeti o vektörün o eksendeki birim vektörle skaler çarpımına eşittir.

1.5 denklemini önce hatırlamakta fayda var: Bir vektör, kendi şiddeti ile kendisiyle aynı yöndeki birim vektörün skaler çarpımına eşittir.

Buna göre :

1.6 denklemini de düşünürsek izdüşüm vektörü :

(1.7b)

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

θ

(1.7a)

Şekil 1.15

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

21

26.09.2025

Bir vektörün 2 farklı eksen üzerindeki bileşenlerini bulmak için, vektörün ucundan (bitim noktasından) her bir eksene paralel çizgiler çizeriz. Bu çizgilerin eksenleri kestiği noktalar vektörün bileşenlerini verir.

(1.8)

P.N 1.2 : İki vektörün toplama işleminde (bk: 1.8), toplanan vektörlerin aslında bileşenler olduğuna dikkat ediniz.

1.20 Bileşen:

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

β

Δ

// β

// Δ

Şekil 1.16

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

22

26.09.2025

1.21 Bileşen ile İzdüşüm Arasındaki Fark:

Eksenler birbirine dik olduğunda bileşen ve izdüşümler üst üste çakışır ve aynı olur.

1.22 Bileşenle İzdüşüm Ne zaman çakışır?

• Yandaki şekilde bu fark net olarak görülmektedir.
• İzdüşüm için tek, bileşen için iki eksenin varlığı gerekli olduğuna dikkat ediniz.

( Anlamadı iseniz 1.19 ve 1.20 maddelerini tekrar inceleyiniz.)

Dikkat: Kartezyen koordinat eksenleri (x,y,z) birbirlerine diktir. Bu sebeple bu eksenlerdeki izdüşümler, aynı zamanda bileşenlerdir.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Δ

// β

// Δ

β

β

Δ

Şekil 1.17

Şekil 1.18

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

23

26.09.2025

1.23 Bir Vektörün Kartezyen Bileşenleri

1.5 denklemine göre bir vektör, şiddeti ile birim vektörün çarpımına eşit idi. O halde :

yazılabilir.

Kartezyen bileşenleri belli olan bir vektörün şiddeti :

Yatayla yaptığı açı:

Düzlemde ( iki boyutlu halde)

Bu bileşenler aynı zamanda izdüşümlerdir. Çünkü eksenler diktir. (bk:1.22)

(1.9a)

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.19

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

24

26.09.2025

(1.9b)

Kartezyen bileşenleri belli olan vektörün şiddeti:

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.20

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

25

26.09.2025

1.24 Konum Vektörü:

Başlangıç ve bitiş noktasının koordinatları belli olan bir konum vektörü şu şekilde bulunur: (Bitiş noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları sırayla çıkarılır.)

Konum vektörünün Şiddeti:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Konum vektöründen birim vektörün bulunması:

Konum vektörü:

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Şekil 1.21

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

26

26.09.2025

1.25 Bir Vektörün Bir Eksene Paralel ve Dik Bileşenini nasıl buluruz?

b

θ

Birim vektör

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

Yani;

Şekil 1.22

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

27

26.09.2025

b

θ

• 1.7 denklemi ile 1.13 denklemleri aslında aynı şeyi ifade eder.

c-) Dik bileşen:

Birim vektör

Yani:

(1.13)

Şunları da görebilmek gerekir:

• Ayrıca: Şiddetleri şu şekilde de bulunabilir:

,

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

,

Şekil 1.23

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

28

26.09.2025

1.26 Vektörel çarpımın matris formatı:

Örnek:

Çözüm:

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

(1.14)

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

29

26.09.2025

1.27 Karışık Üçlü Çarpım: 2 vektörün vektörel çarpımı ile 3ncü bir vektörün skaler çarpımı söz konusu ise yine matris formatında çarpım yapılabilir.

Bir kuvvetin bir eksene göre momenti alınırken bu işlem pratik bir çözüm olabilir. İleride bu konu anlatılacaktır.

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

(1.15)

(1.16)

STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

30

26.09.2025

1.28 Doğrultman Kosinüsleri

Bir vektörün Kartezyen eksenlerin her birisi ile yaptığı açıların (α, β, γ ) Kosinüslerine doğrultman kosinüsleri denir. Mukavemetle ilgili bazı hesaplamalarda daha pratik çözümler için kullanılır.

Doğrultman Kosinüsleri

Şimdi vektörlerle ilgili bilgilerimizin zihnimizde daha iyi yerleşmesi için çeşitli örnekler inceleyeceğiz….>>

1. Vektörler ve Vektörel İşlemler

(1.17)

Şekil 1.2