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FUNCIÓN - IDEA

Podemos entender una función como una fábrica, en la que introducimos unos elementos y obtenemos otros.

Siempre que introducimos el mismo elemento obtenemos el mismo resultado (la fábrica no es “caprichosa”), y además puede haber elementos con los que no funcione la fábrica.

Algodón

Camiseta

Seda

Corbata

Lino

Lana

Chaleco

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FUNCIÓN - DEFINICIÓN

Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que a cada elemento del primero le corresponde, como mucho, un valor del segundo.

No es función, ya que al 1 le corresponden dos letras.

Si es función

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Variables dependiente e independiente

Las funciones con las que vamos a trabajar relacionan números reales con números reales:

al valor que introducimos en la función se le denomina variable independiente y habitualmente se representa por la letra x
el valor que nos devuelve la función se denomina variable dependiente y habitualmente se representa por la letra y.

Las funciones se notan con una letra minúscula, por ejemplo para la función f, escribiremos:

f(x)=y

A y se le denomina imagen de x.

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EJERCICIO

RELACIÓN	FUNCIÓN (SI/NO)	VAR. INDEPENDIETE (X)	VAR. DEPENDIENTE (Y)
DNI del electorado y partido político al que vota	SI	DNI	Partido político
Color de ojos y edad de la persona	NO	-	-
Longitud del lado de un cuadrado y su área
Kwh consumidos e importe de la factura de la luz
Duración de un desplazamiento y la velocidad
Especie animal y género al que pertenece
Marca de la equipación de un equipo de fútbol de primera división
Edad de un padre y la de su hijo
Escudería de F1 y empresa que lo patrocina

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FUNCIONES - EXPRESIONES

Una función entre dos conjuntos cualquiera la podemos expresar como una tabla.

🍉

🍋

🍌

🚗🏍️🚢

Frutas

🍉

🍋

🍌

Vehículos

🚗

🚢

🏍️

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FUNCIONES - EXPRESIONES

Cuando una función relaciona números con números se puede expresar de tres formas diferentes: tabla, gráfica o expresión algebraica.

Ejemplo: f es la función que hace corresponder a cada número entero su cuadrado.

x	f(x)=y
….	….
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
….	….

f(x)=y

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Ejercicio: De las siguientes, indica cuales no pueden ser función y por qué

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EJERCICIOS

En un estudio ginecológico, se analiza cómo crece un bebé antes de nacer en función del tiempo de gestación, obteniéndose los siguientes datos:

Indica las variables independiente y dependiente.
Representa gráficamente los datos obtenidos, ¿tiene sentido unir los puntos?

La relación entre el volumen de un cubo y su arista:

¿Es una función? En caso afirmativo, indica la variable independiente y la dependiente.
Realiza una tabla de valores para esta función ¿tiene sentido asignar valores negativos a la arista?
Representa gráficamente los valores obtenidos en el apartado anterior ¿tiene sentido unir los puntos obtenidos?
¿Cuál sería la expresión algebraica de esta función?

Una empresa de telefonía cobra a sus clientes una cuota mensual de 5€ y por cada minuto en llamadas 10 céntimos.

Realiza una tabla de valores que recoja el importe de la factura de los clientes que hayan realizado en ese mes llamadas por un total de 10, 50, 100, 120 y 150 minutos.
Representa gráficamente los datos del apartado anterior ¿tiene sentido unir los puntos?
Indica la expresión algebraica de la función que representa la facturación según el número de minutos de las llamadas del cliente.

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EJERCICIOS

Para las siguientes funciones, realiza una tabla de valores y representa los puntos obtenidos en una gráfica.

f(x) = 3x - 5
f(x) = - x²- 1

Para la función de la gráfica indica:

Indica los valores de: f(-6), f(-7), f(0), f(2).
Calcula la imagen del 3.
Los valores de x en los que f(x)=1

Realiza una gráfica que represente la distancia a casa en función del tiempo de un ciclista teniendo en cuenta que:

Salió de casa a las nueve de la mañana.
Se alejó a velocidad constante de su casa durante una hora hasta llegar a un área de descanso situada a 10 km.
Descansó durante 10 minutos y después realizó el camino de vuelta el doble de rápida que el de ida.

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Características de una función

Dominio: Valores de la x (variable independiente) para los que existe la función.
Recorrido o imagen: valores de la y (variable dependiente) para los que existe la función.
Monotonía: Diremos que en un intervalo una función:

crece si, al aumentar x aumenta y
decrece si, al aumentar x disminuye y
es constante, si al aumentar x no varía y

Máximos y mínimos relativos: Diremos que una función tiene:

un máximo relativo en x=a, si crece antes de a y decrece después.
un mínimo relativo en x=a, si decrece antes de a y crece después.

Continuidad: Una función se dice que es continua si su gráfica no presenta discontinuidades o saltos, es decir, se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

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Características de una función

Corte con los ejes. Puntos donde la función corta al eje de abcisas y al eje de ordenadas.
Tendencia: Estudiar la tendencia de una función consiste en analizar qué ocurre cuando los valores de la variable independiente se hacen cada vez más grandes y/o cada vez más pequeños. Puede que la función se haga crezca (o decrezca) cada vez más o que se acerque a un determinado valor.
Periodicidad: Diremos que una función es periódica cuando su gráfica se repite en intervalos del eje x de la misma longitud. Esta longitud se denomina periodo.

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Ejemplos

Análisis función

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¿Qué hora fué la más cara?
¿Qué hora fue la más barata?
¿Qué horas son más caras que las anteriores y posteriores?
¿Qué horas son más baratas que las anteriores y posteriores?
¿En qué períodos sube el precio de la luz? ¿En qué períodos baja el precio de la luz?

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¿Cuál es la máxima producción de energía real? ¿Para qué velocidad del viento se alcanza?
¿Cuál es la máxima producción de energía teórica? ¿Para qué velocidad del viento se alcanzaría?
¿A qué velocidad del viento comienza a producir energía?
¿A qué velocidades del viento aumenta la producción de energía?
¿A qué velocidades del viento disminuye la producción de energía?
¿Cuál es la potencia teórica para una velocidad de viento de 9 m/s?
¿A qué velocidad se alcanza una potencia real de 500 kw?
¿Por qué se trata de una turbina de 900W?

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¿Qué vehículo tiene mayor potencia? ¿A cuántas rpm se obtiene?
¿Qué par tiene cada motor a esas revoluciones?
¿Qué potencia alcanza cada coche a las 2000 rpm?
¿A cuántas revoluciones alcanza cada vehículo un par de 100 Nm?
Describe la gráfica de potencia del motor eléctrico.

Eléctrico

Combustión

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¿Cuándo se alcanza el mayor número de microorganismos?
¿En qué períodos aumenta el número de microorganismos?
¿En qué períodos desciende el número de microorganismos?
¿Qué ocurre entre las 10 y las 15 horas?
¿Por qué crees que la gráfica tiene esta forma?

Nº de microorganismos

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¿Cuál es el mayor número de conejos? ¿y de zorros?
¿Qué puedes decir de la evolución con el tiempo?
¿Por qué crees que ocurre eso?

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¿En qué años se alcanzan mínimos relativos?
Indica el valor de f(2012) y g(2022).
Cuál es la imagen de la función f en el año 2022.
¿Cuántas veces alcanza la función g un valor de 1’30€?

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FUNCIÓN AFÍN

Una función afín es una función de la forma (expresión explícita)

Su gráfica es una recta.
A m se le denomina pendiente, si m>0 la creciente, si m<0 es decreciente. Si m=0 es una recta horizontal, se dice que es una función constante.
A n se le denomina ordenada en el origen, la gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto (0,n). Si n=0, la gráfica pasa por el origen de ordenadas, se dice que es una función lineal.

https://www.geogebra.org/classic/mrast9kc

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PENDIENTE

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN AFÍN

La pendiente indica cuánto aumenta o disminuye la función por cada unidad que varía la x.

Si una recta pasa por dos puntos P₀=(x₀, y₀) y P₁=(x₁, y₁) vendrá dada por el cociente

Al ser una recta, bastará con calcular dos puntos. Recuerda que un punto siempre será (0,n)

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RECTA SABIENDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE

Ejemplo: Recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto P=(-1,2).

La función tendrá la forma y=3x+n, falta encontrar n.
P es un punto de la gráfica, por tanto 2=3·(-1)+n → n=2+3=5
Por tanto y=3x+5

Repitiendo el procedimiento con una pendiente m y un punto P₀=(x₀, y₀).

La función tendrá la forma y=m·x+n, falta encontrar n.
P es un punto de la gráfica, por tanto y₀=m·x₀+n → n=y₀-m·x₀
Por tanto y=m·x+y₀-m·x₀→ y-y₀=m(x-x₀)

y-y₀=m(x-x₀) → expresión punto-pendiente de la recta.

[En un ejercicio puedes aplicar la fórmula o repetir los pasos]

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RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Ejemplo: Recta que pasa por los puntos P₀=(2, 5) y P₁=(-1,2).

La pendiente de esta recta será
Por tanto, la recta tiene pendiente 1 y pasa por el punto (1,2), usando la ecuación punto-pendiente y-2=1·(x-(-1)) → y=x+3

Repitiendo el proceso con P₀=(x₀, y₀) y P₁=(x₁, y₁)

La pendiente de esta recta será
Por tanto, la recta tiene pendiente m y pasa por el punto P₀, usando la ecuación punto-pendiente , de dónde expresión de la recta que pasa por dos puntos será

[En un ejercicio puedes aplicar la fórmula o repetir los pasos]

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Relación entre ecuaciones de primer grado y funciones afines.

Una ecuación de primer grado siempre puede expresarse de la

Polinomio de primer grado = 0

Por tanto,

m·x+n=0

Al resolver esta ecuación, estamos buscando los puntos de corte de la función f(x)=m·x+n con el eje de abscisas.

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Relación entre sistemas de ecuaciones y funciones afines.

En un sistema de ecuaciones (lineales) cada ecuación representa una recta.

Por tanto, al resolver el sistema estamos buscando los puntos en común de las dos rectas. Se pueden dar tres circunstancias:

Sistema incompatible: Las rectas no tienen puntos en común, por tanto, son paralelas (en ese caso las pendientes serán iguales).
Sistema compatible determinado: Las rectas tienen un único punto en común, se cortan.
Sistema compatible indeterminado: Las rectas tienen infinitos puntos en común, son la misma recta, se dice que son coincidentes.

https://www.geogebra.org/m/jppdd4wt

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función cuya expresión algebraica es un polinomio de segundo grado

Su gráfica es una parábola con vértice en
Si a>0, decrece hasta x_v y crece a partir de ahí.
Si a<0, crece hasta x_v y decrece a partir de ahí.
La función corta al eje de ordenadas en el punto (0,c).

https://www.geogebra.org/m/t4xqxy9w

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Calcular el vértice.
Calcular el corte con los ejes.
Construir la tabla de valores: calculamos varios valores a la derecha (o a la izquierda) del vértice, por simetría conoceré también los del otro lado.
Elegir correctamente las escalas de los ejes.
Representar los puntos de la tabla, y esbozar la parábola.

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Relación entre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma

a·x² + b·x + c= 0

Al resolver esta ecuación, estamos buscando los puntos de corte de la gráfica función f(x)=a·x² + b·x + c con el eje de abscisas, es decir, buscamos los cortes con el eje de abcisas de una parábola. En función del discriminante △ de la ecuación podrá pasar:

△<0 → La parábola no corta al eje OX.
△=0 → La parábola corta al eje OX en un sólo punto (es tangente al eje oX).
△>0 → La parábola no corta al eje OX en dos puntos.

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PRUEBA 2

FIN

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FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante tiene la forma

Su gráfica es una recta horizontal.
Cortará al eje de ordenadas en el punto (0,n)

https://www.geogebra.org/m/qn7zqcqs

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FUNCIÓN LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Una función afín es una función de la forma

Su gráfica es una recta que pasa por el origen de ordenadas.
A m se le denomina pendiente, si m>0 la función es creciente, si m<0 la función es decreciente.

https://www.geogebra.org/m/cssazqvx

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