10.02.2025

Сьогодні

Урок

№ 39

Сума кутів трикутника

Геометрія

Розділ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

Давайте згадаємо девіз нашого уроку:

10.02.2025

Сьогодні

Організація класу

Не просто слухати, а чути.

Не просто дивитись, а бачити.

Не просто відповідати, а міркувати.

Дружно й плідно працювати!

10.02.2025

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

10.02.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:�формувати поняття суми кутів трикутника, вміння знайти невідомий кут; розвивати вміння застосовувати набуті знання на практиці

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Цікаві факти

Чи може сума кутів трикутника недорівнювати 180°? Своєрідні «трикутники», у яких сума кутів більша за 180°, існують не на площині, а на сфері (мал.). їх називають сферичними трикутниками, а геометрію — сферичною геометрією. Найкоротша лінія між двома точками на сфері — дуга кола. Якщо з таких дуг утворити «трикутники», то сума їх кутів буде більшою за 180°. У «трикутнику» ABF на малюнку вершина А — на північному полюсі, а вершини В і F — на екваторі, кожний з кутів при вершинах В і F дорівнює 90°, а сума кутів трикутника ABF (180° і ще кут при вершині А) більша за 180°. Науку, яка займається вимірюванням Землі та способами зображення її поверхні, називають геодезією.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Сума кутів трикутника

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Сума кутів трикутника

Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Доведення. Проведемо через вершину В трикутника пряму MN, паралельну АС (мал. ). Утворені кути позначимо цифрами: ∠1 і ∠ 2.

∠1 = ∠C, ∠2 = ∠A як внутрішні різносторонні при паралельних прямих MNіАС та січних ВС і АВ відповідно. Кути 1, 2 і В утворюють розгорнутий кут, тому ∠1 + ∠B + ∠2 = 180°. Замінивши в цій рівності кути 1 і 2 рівними їм кутами С і А, отримаємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

​

Дано: АВС.

Довести:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Наслідок.

У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі; трикутник не може мати більше ніж один прямий або тупий кут.

А отже, у сумі з гострим перевищить 180°, що суперечить доведеній теоремі. Прийшли до протиріччя, бо наше припущення є неправильним. Отже, у кожного трикутника принаймні два кути гострі, а тому трикутник не може мати більше ніж один прямий або тупий кут.

Враховуючи цей наслідок, можна сказати, що гострокутний трикутник має три гострих кути; прямокутний трикутник має один прямий і два гострих кути; тупокутний трикутник має один тупий і два гострих кути.

Доведення. Припустимо, що в трикутнику лише один кут є гострим. Тоді сума двох інших кутів, що не є гострими, не менша від 180°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Зовнішній кут трикутника

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний із кутом цього трикутника

Доведення. На рисунку кути 1, 2 і 3 — зовнішні кути трикутника ABC. Треба довести, що ∠1 = ∠5 + ∠6, ∠2 = ∠4 + ∠6, ∠3 = ∠4 + ∠5.

Доведемо, наприклад, першу із цих трьох рівностей (решту рівностей доводять аналогічно). За властивістю суміжних кутів ∠1 + ∠4= 180⁰ . За

теоремою про суму кутів трикутника ∠4 + ∠5 + ∠6 =180 ° .

Тоді ∠1 + ∠4 = ∠ 4+ ∠5 + ∠ 6, звідки ∠1 = ∠5 + ∠6.

Теорема. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Математична

розминка

1. Чи існує трикутник, кути якого дорівнюють:

1) 20°, 60° і 80°; 2) 10°, 40° і 120°?

Відповідь:

1. 1,2 –ні;
2. 49⁰

​

2. Чому дорівнює кут трикутника, якщо два інших його кути дорівнюють 35° і 96°

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть невідомі кути трикутника ABC, зображеного на рисунку 270.

Завдання №399

Підручник.

Сторінка

151

1

рівень

∠C = 60°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

∠B = 180° – (50° + 60°) = 180° – 110° = 70°.

Відповідь: ∠C = 60°, ∠B = 70°.

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Відрізок BD — це бісектриса трикутника ABC (рис. 272),

∠А = 40°, ∠С = 70°.

Знайдіть кут ABD.

Завдання №401

Підручник.

Сторінка

151

1

рівень

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

∠B = 180° – (40° + 70°) = 180° – 110° = 70°.

∠ABD = 70° : 2 = 75°. 

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Один із кутів трикутника в 3 рази менший від другого кута та на 35° менший від третього. Знайдіть кути трикутника.

Завдання №403

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №403

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

Нехай ∠A = х, тоді ∠B = 3x, ∠C = х + 35.

Оскільки ∠A + ∠B + ∠C – 180°, то

х + Зх + х + 35 = 180;

5x = 180 – 35;

5х = 145;

х = 29.

∠A = 29°; ∠B = 3 ∙ 29° = 87°; ∠C = 29° + 35° = 64°.

​

Відповідь: ∠A = 29°; ∠B = 87°; ∠C = 64°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть кути трикутника, якщо їхні градусні

міри відносяться як 2 : 3 : 7.

Завдання №404

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Нехай х — одна частина, тоді ∠A = 2х, ∠B = Зх, ∠C = 7х.

Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то

2х + 3x + 7x = 180;

12х = 180;

х = 15.

∠A = 2 ∙ 15 = 30°; ∠B = 3 ∙ 15 = 45°; ∠C = 7 ∙ 15 = 105°. 

​

Відповідь: 30°; 45°; 105°.

Завдання №404

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 63°. Знайдіть кут при вершині цього трикутника.

Завдання №407

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Нехай ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), тоді ∠A = ∠ C = 63°.

Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то

63° + ∠B + 63° = 180°;

∠B = 180° – (63° + 63°) = 54°.

​

​

Відповідь: ∠B = 54°.

Завдання №407

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо

один із них дорівнює: 1) 110°; 2) 50°.

Скільки розв’язків має задача?

Завдання №411

Підручник.

Сторінка

152

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

За умовою дано кут 110°. Цей кут не може бути кутом при основі, так як ∠A = ∠C і тоді ∠A + ∠C = 220° > 180°.

Отже, ∠B = 110°.

∠ A + ∠B + ∠C = 180°. ∠A + ∠C = 180° – 110°;

∠A + ∠C = 70°. ∠A = ∠C = 70° : 2 = 35°.

​

Відповідь: 110°; 35°; 35°.

Завдання №411

Розв’язання (I):

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

2) Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

За умовою дано кут 50°.

а) якщо цей кут — де ∠B, кут при вершині рівнобедреного трикутника, то ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠A + ∠C + 50° = 180°.

∠A + ∠C = 130°. ∠A = ∠C = 65°;

б) якщо цей кут — це кут при основі рівнобедреного трикутника, то

∠A = ∠C = 50°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

∠B = 180° – (50° + 50°); ∠B = 80°.

​

Відповідь: а) 50°; 65°; 65°; б) 50°; 50°; 80°.

Завдання №411

Розв’язання (II):

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 75°.

Чому дорівнює:

1) кут трикутника при цій вершині;

2) сума двох кутів трикутника, не суміжних з ним?

Завдання №421

Підручник.

Сторінка

153

1

рівень

1) Оскільки зовнішній кут трикутника суміжний з внутрішнім, то їх сума 180°; кут трикутника 180° – 75° = 105°;

2) якщо зовнішній кут трикутника дорівнює 75°, то сума двох кутів трикутника, не суміжних з ним 75°.

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У трикутнику ABC відомо, що ∠ A = 58° , ∠B = 72° .

Знайдіть зовнішній кут трикутника при вершині C.

Завдання №422

Підручник.

Сторінка

153

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

∠A + ∠B + ∠С = 180°.

∠С = 180° – (58° + 72°) = 180° – 130° = 50°;

∠BСD = 180° – 50° = 130°.

Завдання №422

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

153

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника 149-157.

​

Виконати завдання

№ 408, 412.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Чи існує трикутник з кутами:

1) 30°, 60° і 70°; 2) 70°, 40° і 70°?

Завдання

1

рівень

Відповідь: 1) ні; 2) так

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть третій кут трикутника, якщо два його кути дорівнюють:

1) 43° і 54°; 2) 9° і 93°; 3) 83° і 89°

Завдання

1

рівень

Відповідь: 1) 83; 2) 78; 3)8.

Нехай ∠A - невідомий кут трикутника.

1) ∠A = 180° - (43° + 54°) = 180° - 97° = 83°.

2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Сума двох кутів трикутника дорівнює 126°.

Знайдіть третій кут трикутника

Завдання

2

рівень

Розв’язання

180° - 126° = 54°.

Відповідь: 54°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Один з кутів трикутника дорівнює 62°.

Знайдіть суму градусних мір двох інших кутів.

Завдання

2

рівень

Розв’язання

180° - 62° = 118°.

Відповідь: 118°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що кожний з кутів рівностороннього

трикутника дорівнює 60°.

Завдання

2

рівень

Розв’язання.

Нехай в Δ АВС , АВ = ВС.

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA.

АВ = АС, тоді ∠ABC = ∠ACB.

Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°,

∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180°: 3 = 60°.

А

В

С

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°.

Знайдіть кут при вершині.

Завдання

2

рівень

Нехай ΔАВС - рівнобедрений, АС = АВ, ∠ACB = ∠ABC = 70°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо:

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь : 40°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть кути при основі рівнобедреного трикутника, якщо

кут при вершині дорівнює 80°

Завдання

2

рівень

Нехай ΔАВС - рівнобедрений, АС = AB, ∠CAB = 80°.

∠ACB = ∠ABCяк кути при основі рівнобедреного трикутника.

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°,

∠ACB + ∠ABC = 180°- 80° = 100°.

Отже, ∠ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°.

Відповідь : 50°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть невідомі кути трикутника ABC на малюнках.

Завдання

2

рівень

1) ∠ABC = 70° (як вертикальний кут з кутом, який дорівнює 70°).

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (80° + 70°) = 180° - 150° = 30°.

2) ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°).

∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° - (75° +45°) = 180° - 120° = 60°.

Розв’язання.

Відповідь : 1) 30°; 2) 60°.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть кути трикутника MNL,

якщо ∠ М + ∠ N = 120°,

∠ М + ∠ L = 140°.

Завдання

2

рівень

У трикутнику MNL, ∠M + ∠ N = 120°, ∠M + ∠L = 140°.

∠M + ∠N + ∠L = 180° — як сума кутів трикутника.

∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180°- 120° = 60°,

∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°,

∠N = 120°- ∠M = 120° - 80° = 40°.

Відповідь: 60°, 80°, 40°.

Розв’язання.

N

L

M

10.02.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них на 15° більший за інший.

Скільки випадків слід розглянути?

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

І випадок. Нехай кут у вершині дорівнює х, тоді кут в основі дорівнює x + 15°.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + (х + 15°) + (x + 15°) = 180°;

3x + 30° 180°; 3x = 150°; x = 50°.

Отже, кут у вершині дорівнює 50°, тоді кожен з кутів в основі дорівнює

50° +15° = 65°.

ІІ випадок. Нехай кут в основі трикутника дорівнює х, тоді кут у вершині дорівнює х + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

x + x + x + 15° = 180°; 3x = 165°; x = 55°.

Отже, кожен з кутів в основі дорівнює 55°, тоді кут у вершині дорівнює

55° +15° = 70°.

Відповідь: І випадок: 50°, 65°, 65°. ІІ випадок: 55°, 55°, 70°.

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

На центральну міську клумбу, що має форму прямокутника зі сторонами 20 м та 6 м, потрібно висадити цибулини тюльпанів з розрахунку 60 цибулин на 1 м². 1) Скільки цибулин потрібно заготувати для висаджування? 2) Тюльпани продають в упаковках по 3 цибулини. Ціна такої упаковки 28 грн. Магазин готовий зробити знижки міській адміністрації за гуртову покупку на 15 %. Скільки доведеться заплатити за тюльпани?

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Розв’язання

1. 1) 20 ∙ 6 = 120 (м²) – площа клумби;

2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.

2. 1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) - ціна упаковки зі знижкою;

2) 7200: 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин;

3) 2400 ∙ 23,8 = 57 120 (грн) – потрібно заплатити за тюльпани.

​

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

Відповідь:

1) 23,8 грн;

2) 57 120 грн.

10.02.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Чому дорівнює сума кутів трикутника?
2. Яку найменшу кількість гострих кутів має будь-який трикутник?
3. Який кут називають зовнішнім кутом трикутника?
4. Який зв’язок між зовнішнім кутом трикутника та двома кутами трикутника, не суміжними з ним?
5. Порівняйте зовнішній кут трикутника з кутом трикутника, який не суміжний з ним.

10.02.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Обмін думками»

• Який вид роботи вам найбільш сподобався?

​

• Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

​

• Де можна використати здобуті знання?