П Л О Щ А Д И

Совместная работа учащихся 8 "А" класса ГБОУ СОШ № 548

Красносельского района Санкт-Петербурга

​

Учитель математики:

Шкромада Е.А.

​

​

2012-2013

Свойства площадей

№1 Равные многоугольники имеют равные площади.

Если два прямоугольника равны, то единица

измерения площадей и её части укладываются

в таких многоугольниках одинаковое число раз.

SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1

​

№2 Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Величина части плоскости, занимаемой всем

многоугольником,является суммой величин

тех частей плоскости, которые занимают

составляющие его многоугольники.

SACDFGLPRMKB=S1+S2+S3

​

​

A B

​

​

​

E F

​

D C

​

​

​

A1 B1

​

​

​

​

C1

D1

​

F1 E1

S1

S2

S3

A B

​

C

​

​

​

D

​

​

​

F

G

​

​

K M

​

​

​

R

P

L

Максимилиан

Шатохин

Задача о свойствах площадей

Чернышова Даша

№448

Дано:

ABCD - прямоуг.

ADE - треугольник

AD э ABCD; ADE

AE U BC=M

DE U BC=N

AM=ME

​

Доказать:

SABCD=SADE

A

B

C

D

M

N

E

Доказательство:

1) ДП: EK - выс. MEN

MEK, KEN э MEN

2) EM=MA MEK= ABM

EMK=AMB (по катету и прил.остр.у.)

3) MEK= ABM,=>AВ=EK

ABCD-пр-ник,=>AB=CD

=> EK=CD

4) EK=CD KEN= DNC

CDN=KEN (-- --)

5) AMNDэABCD; AED

6) ABCD= ABM+AMND+ DNC

=>SABCD=S ABM+S DNC+SAMND

(2пр.)

7) AED= MEN+AMND,=>

S AED=S MEN+SAMND (2пр.)

8) ABM= MEK,=>S ABM=S MEK

KEN= DNC,=>S KEN=S DNC

9) =>S ABCD=S ADE (2пр.)

Ч.т.д.

К

=>

=>

(1пр.)

Площадь квадрата

Дано: Доказательство:

АВСВ-квадрат 1)Разобьем ABCD на n

AB=a (см. рисунок)

a=1/n

а=1

​

​

​

S=a

2)т.к. S=1 => Sмал.кв.=(1/n),

Сторонамал.кв.=1/n=а,

|=>S=(1/n) =(1/n) =a

ч.т.д.

1

​

1/n

Хлебников Валентин

2

2

2

2

2

2

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

​

Дано:�ABCD - прямоуг.

а, b - стороны

(рис.)

​

S = ab

Доказательство:

1) Д.п. прямоуг. ABCD до квадрата ABCD со / a + b (рис. 1)

2) По св-ву 3 - S кв. = (a + b)²

3) S ABCD кв. = S прямоуг. + S прямоуг. (св-во 1 площадей) + a² + b² (св-во 3 площадей)

4) По св-ву 2:�(a + b)² = S + S + a² + b², или�a² + 2ab + b² = 2S + a² + b²

Следовательно:�S = ab.

ч.т.д.

Выполнила: Бородулина Катя.

Площадь параллелограмма

Андреянова Маша

Дано:�AD=a�BH=h�ABCD-пар-м�Доказать:�SABCD=ah

Доказательства:�1.Д.П. BH,CE перпенд. AD�2.Тр.ABH=Тр.CDE-прямоуг.(по ст. и угл)=>�SABH=SCDE�3.SABCD=SABH+SBCDH�4.SABCD=SBCEH=BH*BC=BH*AD=h*a ч.т.д

Задача № 461 .

Дано: Решение:

ABCD- пар/м 1)Д.П. BK AD

AB=12 см 2)S abcd=BC AD

AD=14 см Т.К. А=30 по св-ву

A=30 BК=1/2 AB=1/2 12=

Найти: = 6 см.S=6 14=84см2

Sabcd=? Ответ: S=84см2

B C

​

Глинский Александр

A K D

Площадь треугольника

Дано:

​

АВС - треугольник

​

Доказать:

​

SABC= 1/2*AB*CH

​

​

​

​

Швед Алексей

​

Док-во:

1.Д.П. СН - выс. АВСD - параллелограмма

​

2. ▲ABC=▲BCD (BC- общ. ,АВ = CD и АС = BD

противоположные стороны ABCD) => SABC =1/2 SABCD=>

SABC= 1/2*AB*CH ч.т.д.

Задача № 471.

Дано:

ABC

AB=7,5 см

BC=3,2 см

СN AB

CN=2,4см

AM BC

​

AM - ?

​

Решение:

​

1. S ABC =1/2 AB CN

S ABC = 1/2 7,5 2,4 = 9 см2

​

2. S ABC = 1/2 AM BC =>

S ABC = 1/2 AM 3,2

9 = 1/2 AM 3,2

AM = 9 1,6

AM = 5,625

Ответ: AM = 5,625 см

​

Выполнила: Кротова Анна

A

B

C

N

M

Задача № 469

​

Дано:

​

ABC

AB=16см

BC=22см

CH=11см

AH1=?см

Решение:

A

B

C

H

H1

1) Т.к. S ABC =1/2 AB*CH =>S ABC=88 см2

2) Т.к. S ABC =88 см2=>AH1 =8 см.

Ответ: 8см

Васильев Илья

Теорема о площади прямоугольного треугольника

Леднёва Кристина

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов��Дано: Доказательство:�АBCD-прям/уг. 1.S ABCD = ab

� 2.Д.п. BD- диагональ ABCD� ABD= BCD(по 2 катетам) => S ABD= S BCD

� 3.S ABD= 1/2 SABCD => S ABD= 1/ 2 ab � �� Что и требовалось доказать�

А

В

С

D

а

b

Задача №472

Дано:

АВС - прямоуг.

АС:ВС = 7:12

S АВС = 168см2

​

АВ, ВС = ?

​

В

А

С

Решение:

​

Пусть х см - 1 часть => АС = 7х см, ВС = 12х см

S АВС = 1/2АС* ВС => 168 = 1/2*7х*12х

х2 = 4

х = 2

АС = 7х = 14см�ВС = 12х = 24 см

Ответ: 14см; 24см.

Веселова Екатерина

Площадь ромба

Гуляев Артем

Дано: Доказательство:

АВСD - ромб 1)AC,BD - диагонали; АOD= AOB=

BOC= COD - прямоугольные

В АВО: Sabo= 1/2AO*OB, где

AO=1/2AC;BO=1/2BD

Sabcd=4*Sabo=4*1/2AO*OB= Sabcd=

Sabcd=1/2 AC BD 1/2 AC*BD = 2*1/4(AC*BD)=1/2AC*BD

​

​

​

​

​

Что и требовалось доказать

Площадь ромба: № 477

Дано: Решение:

АВСD - ромб

АС

ВD, в 1,5 раза б

S = 27 cм

​

AC, BD - ?

2

1) Пусть х - коэф. пропорционал.

АС = х, BD = 1,5 х

2) S = 0,5 AC * BD�27 = 0,5 x * 1,5 x

1,5 x = 54

x = 36

x = 6

3) AC = 6 см , BD = 1,5 * 6 = 9 см

2

2

Ответ: 6 см, 9 см.

Дегилевич Егор

B

A

D

C

Задача №493 .

Дано: Решение:

АBCD - ромб 1) SABCD =AC*BD

AC - 10 cм 2

BD - 24 c SABCD =10*24 = 120 см

2

AB = ? 2) АOB-прямоугольный

​

SABCD = ? c = a + b - по Т.Пифагора

AB = AO + BO

AB = 5 + 24 = 169 = 13см

​

Ответ: АВ=13 см, S=120 см

Филиппова Ксения

А

С

O

B

D

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Задача №513

Дано:

ABCD - ромб

AC=18м

BD=24м

​

PABCD-?

Решение:

1) SABCD= * AC * BD (по теореме о S ромба)

​

SABCD = * 18 * 24 = 216м

​

2) Рассмотрим: ABO

AB = AO + BO (по теореме Пифагора)

AB = 9 +12 = 225м

AB=15м

​

3) PABCD=4 * AB=60м

​

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

A

B

C

D

O

Ответ: 60м

Савельев Егор

Площадь трапеции.

Чурляева Настя.

Дано:

ABCD - трапеция

BC, AD - основания

BH, DH1 - высоты

Доказать:

S=1/2(AD+BC)BH

Доказательства:

1)Д.п. BD - диагональ=>

▲ABD и ▲BCD=> SABCD=S▲ABD+S▲BCD.

2)S▲ABD=1/2DAхBH.

S▲BCD=1/2BCхDH1. | BH=DH1, т.к . BC||AD.

3)SABCD=1/2ADхBH+1/2BCхDH.

SABCD=1/2(AD+BC)BH.

​

Что и требовалось

доказать

Площадь трапеции (№480 б)

Площадь трапеции: № 481

Дано: Решение:

ABCD-прямоугольная

трапеция Д.П.:CH-высота

BC=BA=6 см S=0.5*СH*(BC+AD)

C=135 град. угол HCD=45град. след.

SABCD-? ABCH-квадрат(углы A,B,C,H=90град.)

след. AB=AH=BC=CH=HD=6 см (треуг.CHD-р/б)

SABCD=0.5*6*(6+6)=54 см квадратных

Ответ:54 см квадратных

​

​

​

​

​

Гасанбеков Мурад

Формула Герона.

Дано: Решение:

ABC - треуг. 1) ABC(AB=c,BC=a,AC=b). Пусть А

a,b,c - стороны и В- остр. углы. Тогда СН- высота. ( СН- h,AH-y,HB-x)

треуг. По т.Пифагора a²-x ²=h²=b²-y²,откуда y+x =c, то y-x=1/c(b²-a²)

p=1/2(a+b+c) сложив два последних равенства и разделив их на 2, получим:

полупериметр y=(b²+c²-a²) / 2. Поэтому h²=b²-y²=(b+y)(b-y)=

треугольника.

= b²+c²-a² b²+c²-a² (b+c)²-a² a²-(b-c)²

S=p(p-a)(p-b)(p-c) b+ b- = * =

в корне. 2c 2c 2c 2c

​

(b+c+a)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c) 2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c) 4p(p-a)(p-b)(p-c)

= = .

4c² 4c² c²

2 корня из p(p-a)(p-b)(p-c) 1

Следовательно, h= . Но S= hc, откуда

c 2

мы получаем: S =p(p-a)(p-b)(p-c) в корне.

ч.т.д.

А

С

В

Н

b

a

y

x

c

h

Христофорова Полина