Частота и вероятность случайного события. Классическое определение вероятности

9 класс

Основным понятием теории вероятностей является понятие� случайного события.

​

• Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
• Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

• Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.
• Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
• Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА�

• Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2. найти количество N(A) тех исходов испытания, в которых наступает событие A;

3. найти частное N(A)/N — оно и будет равно вероятности события A, т.е.P(A)= N(A)/N

​

Пример:

• из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?
• Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) N=36. Событие A — появление карты червовой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события A, N(A)=9. Следовательно, P(A)=9/36=1/4=0,25.

​

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

• Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

В таблице мы покажем связь между терминами теории вероятностей и теории множеств.

Теорема 1 

•  Если события A и B не совместны, то вероятность того, что наступит или A, или B, равна P(A)+P(B).

Теорема 2

• Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: P(A)=1−P(A).

Сформулируем общее правило для нахождения геометрических вероятностей.

• Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры X, которая целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры X, окажется в фигуре A: P=S(A)/S(X).
• Аналогично поступают и с множествами на числовой прямой, и с пространственными телами. Но в этих случаях площади следует заменить или на длину числовых множеств, или на объёмы пространственных тел.

Пример:

• В прямоугольник 20 cm2 помещён круг радиуса 1,5  cm. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится)

 P = Sкруга/Sпрямоугольника = π⋅2,25/20=0,353.

​

Рассмотрим задачи

• В коробке находятся 4 мячика чёрного цвета и 13 мячика синего цвета. Какова вероятность вытащить мячик чёрного цвета?

P(вытащить мячик чёрного цвета) =4/(4+13)=4/17 .

• В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?

​

​

• Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.

​

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25

​

• В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероя­ность того, что команда России не попадает в группу A?

​

• Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75.

​

Ответ:0,75

​

​

В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15.

Ответ:0,2

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

​

Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

​

Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2.  

Ответ:0,2

​