FERNANDO NETO

MATRIZES

16.1

Define-se matriz do tipo m × n (lemos “m por n”) uma tabela com m ∙ n números dispostos em m linhas �e n colunas.

Os números que compõem uma matriz são chamados elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ).

Definição de matriz

Matriz 3 × 2

Matriz 3 × 3

Matriz coluna

Matriz linha

Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem.

​

Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo símbolo a_ij, em que i indica a linha que o elemento ocupa �e j indica a coluna.

​

Genericamente, uma matriz A é representada por �A = (a_ij)_{m × n}, em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i e j ∈ ℕ.

16.2

Representação genérica de uma matriz

Exercício resolvido

R1. Escrever a matriz A = (a_ij)_{2 × 3} na qual a_ij = i + 2j.

Uma matriz do tipo 2 × 3 é representada genericamente por:

A =

Aplicando a “lei de formação” dos elementos dessa matriz, temos:

Portanto: A =

16.3

• a₁₁ = 1 + 2 ∙ 1 = 3

• a₁₂ = 1 + 2 ∙ 2 = 5

• a₁₃ = 1 + 2 ∙ 3 = 7

• a₂₁ = 2 + 2 ∙ 1 = 4

• a₂₂ = 2 + 2 ∙ 2 = 6

• a₂₃ = 2 + 2 ∙ 3 = 8

Resolução

Exercício resolvido

R2. Escrever a matriz A = (a_ij)_{3 × 2} em que a_ij =

Uma matriz do tipo 3 × 2 é representada genericamente por:

A =

Quando i = j, temos a_ij = 10 + i, então:

Quando , temos a_ij = 0, então: a₁₂ = a₂₁ = a₃₁ = a₃₂ = 0

Portanto: A =

16.4

• a₁₁ = 10 ∙ 1 + 1 = 11

• a₂₂ = 10 ∙ 2 + 2 = 22

Resolução

Igualdade de matrizes

Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes.

16.5

A =

B =

Exemplo

Nessas matrizes, os elementos correspondentes são:

a₁₁ e b₁₁

a₁₃ e b₁₃

a₁₂ e b₁₂

a₂₁ e b₂₁

a₃₁ e b₃₁

a₂₂ e b₂₂

a₂₃ e b₂₃

a₃₃ e b₃₃

a₃₂ e b₃₂

Exercício resolvido

R3. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes �A e B iguais.

A =

Para que as matrizes A e B sejam iguais,�devemos ter:

B =

Resolvendo o sistema pelo método da adição:

16.8

Resolução

Substituindo x por 4 em x – y = 5, temos:

4 – y = 5 ⇒ y = –1

Então:

x = 4 e y = –1

Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é denominada matriz nula. 

Indica-se uma matriz nula do tipo m × n por: 0_{m × n}

a) 0_{3 × 2 =}

b) 0_{2 × 4 =}

16.9

Exemplos

Matriz nula

Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é chamada matriz quadrada.

Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e �m colunas é do tipo m × m, ou que a matriz é de ordem m.

a) A = é uma matriz quadrada 2 × 2 ou, simplesmente,

matriz de ordem 2.

b) B = é uma matriz quadrada 3 × 3 ou matriz de

ordem 3.

16.10

Exemplos

Matriz quadrada

Diagonais de uma matriz quadrada

Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais.

Os elementos a_ij com i = j formam a diagonal principal da matriz; os elementos a_ij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária da matriz.

A =

diagonal secundária

diagonal principal

16.11

Exemplo

Matriz identidade

Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero.

Assim, em qualquer matriz identidade, temos: a_ij =

Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: I_n

a) i₃ =

b) i₅ =

16.12

Exemplos

Matriz diagonal

Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada e todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

a)

b) I₂ =

16.13

Exemplos

c) 0_{4 × 4} =

Dada uma matriz A do tipo m × n, denominamos matriz transposta de A a matriz do tipo n × m cujas linhas são, ordenadamente, iguais às colunas de A.

Assim, se (a’_ij)_{n × m} é transposta de (a_ij)_{m × n}, temos: a’_ij = a_ji

Indicamos a matriz transposta de A por A^t.

16.14

Matriz transposta

a) A =

b) B =

então A^t =

então B^t =

Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua transposta, isto é, se A = A^t.

a) A = é simétrica, pois A = A^t =

b) B = é simétrica, pois B = B^t =

​

Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

diagonal principal

diagonal principal

16.15

Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta de A, e indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0_{m × n}

+ =

Matriz oposta

Se A = , então –A = , pois:

16.18

Exemplo

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (a_ij)_{m × n} �e B = (b_ij)_{m × n}, a matriz soma A + B é a matriz �C = (c_ij)_{m × n}, na qual c_ij = a_ij + b_ij para todo i e todo j.

Adição de matrizes

Considere as matrizes A e B: A = e B =

Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos correspondentes de A e B:

C = + = =

16.17

Exemplo

Propriedades da adição de matrizes

Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0_{m × n}, todas de mesmo tipo, valem as seguintes propriedades: 

• Comutativa: A + B = B + A 
• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)  
• Existência do elemento neutro:

A + 0_{m × n} = 0_{m × n} + A = A 

• Existência do elemento oposto:

A + (–A) = (–A) + A = 0_{m × n} 

• Cancelamento: A + C = B + C ⇔ A = B

16.19

A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo, �é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é:� A – B = A + (–B).

Subtração de matrizes

Sejam: A = e B =

A – B = A + (–B) = – =

= + =

16.20

Exemplo

Resolução

Exercício resolvido

R6. Dadas as matrizes A = e B = , obter uma matriz X_{2 × 2} tal que A + X = B.

Representando a matriz X por: , temos:

​

+ = ⇒ =

Então:

• 2 + a = –1 ⇒ a = –3
• 0 + c = 5 ⇒ c = 5

​

16.21

• 1 + b = 2 ⇒ b = 1
• 3 + d = 0 ⇒ d = –3

Logo: X =

Também podemos determinar a matriz X usando as propriedades da adição de matrizes:

A + X = B ⇒ (–A) + A + X = (–A) + B ⇒ 0_{2 × 2} + X = B – A ⇒

⇒ X = B – A  

Assim: X = + ⇒ X =

16.21

R6.

Resolução

Exercício resolvido

Sejam a matriz A = (a_ij)_{m × n} e k um número real, então k ∙ A �é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por todos os elementos de A, ou seja, kA = (ka_ij).

Multiplicação de um número real por uma matriz 

Se A = e k = 3, então:

k ∙ A = 3 ⋅ = =

16.22

Exemplo

Resolução

Exercício resolvido

R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B sabendo que: A = e B = .

Inicialmente, aplicamos as propriedades da adição à equação matricial:

2X + A = X + B

2X + (–X) + A + (–A) = X + (–X) + B + (–A)

2X – X = B – A ⇒ X = B – A   

Então: X = – =  

Logo: X =

16.24

Resolução

Exercício resolvido

R7. Determinar a matriz X na equação:

Aplicando a definição de igualdade, temos:

• 2 + 2a = 4 ⇒ a = 1
• –1 + 2c = –5 ⇒ c = –2

• 7 + 2d = 9 ⇒ d = 1

Logo: X =

16.23

• 5 + 2b = –1 ⇒ b = –3 

Dadas as matrizes A = (a_ij)_{m × n} e B = (b_ij)_{n × p}, o produto de A por B é a matriz C = (c_ij)_{m × p}, na qual cada elemento c_ij é a soma dos produtos obtidos multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

Multiplicação de matrizes

16.26

iguais

O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é definido se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.

A_{m × n} ∙ B_{n × p} = C _{m × p}

​

Exemplo

Dadas as matrizes A = e B = , vamos determinar

A ∙ B.

Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2, existe o produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B). �Então: A ∙ B = C, sendo C = (c_ij)_{2 × 2}

16.26

Multiplicação de matrizes

Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo: 

• c₁₁: multiplicamos, ordenadamente, a 1^a linha de A pela � 1^a coluna de B; 
• c₁₂: multiplicamos, ordenadamente, a 1^a linha de A pela � 2^a coluna de B; 
• c₂₁: multiplicamos, ordenadamente, a 2^a linha de A pela � 1^a coluna de B; 
• c₂₂: multiplicamos, ordenadamente, a 2^a linha de A pela � 2^a coluna de B. 

16.26

Multiplicação de matrizes

Exemplo

A ∙ B = =

Assim, temos: 

C =

Logo: C =

16.26

Multiplicação de matrizes

Exemplo

Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades:

• Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
• Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C  
• Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙

Propriedades da multiplicação �de matrizes

16.27

A ∙ B = e B ∙ A =

Dadas as matrizes A = e B = , obtemos os seguintes produtos:

Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A.

16.27

Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A. �Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação �de matrizes.

Propriedades da multiplicação �de matrizes

A ∙ B = e A ∙ C =

Dadas as matrizes A = , B = e C = , �obtemos:

Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C.

Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo.

16.27

Propriedades da multiplicação �de matrizes

A ∙ B = , que é a matriz nula.

Dadas as matrizes A = e B = , obtemos �o produto:

Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0.

Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode �ser uma matriz nula. Veja:

16.27

Propriedades da multiplicação �de matrizes

Resolução

Exercício resolvido

R10. Resolver a equação matricial: X ∙ =

Para que essa multiplicação exista, é preciso que:

• a matriz X tenha 2 colunas, pois a matriz multiplicada tem

2 linhas;

• a matriz X tenha 2 linhas, pois o produto das matrizes tem �2 linhas.

Observe o esquema: X_{m × n ∙} =

16.28

iguais

=

Exercício resolvido

Assim:

=

Igualando as matrizes, temos os sistemas:

Resolvendo os sistemas, obtemos: a = , b = , c = e d =

Logo: X =

16.28

e

Resolução

R10.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que

A ∙ B = B ∙ A = I_n, então B será a matriz inversa de A, indicada por A^–1.

Matriz inversa

Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível ou não singular. 

16.29

A^–1 ∙ A= =

Exemplo

A inversa da matriz A = é matriz A^–1 = , pois:

A ∙ A^–1 = = e

Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se

A ∙ B = I, então B ∙ A = I.

16.29

Matriz inversa

= =

Com base na igualdade de matrizes, construímos os sistemas:

Exercício resolvido

R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes:

a)

a) Se existir, a matriz A^–1, inversa de A, é quadrada de �ordem 2, tal que A ∙ A^–1 = I₂.

Seja A^–1 = . Pela definição, temos:

Portanto: A^–1 = =

16.30

b)

a = 3 e c = –2

b = –4 e d = 3

Resolução

=

​

Com base na igualdade de matrizes, construímos os sistemas:

Exercício resolvido

b) Se existir, a matriz B^–1, inversa de B, é quadrada de �ordem 2, tal que B ∙ B^–1 = I₂. 

Seja B^–1 = . Pela definição, temos:

16.30

e

Resolução

R11.

Exercício resolvido

b) Resolvendo o primeiro sistema:

Portanto, não há valores de a e de c que satisfaçam ambas as equações do sistema e, portanto, que tornem as matrizesa

e iguais. 

0 = –3 (falsa)

Logo, a matriz B não admite inversa.

16.30

Resolução

R11.