BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1 Các nguyên lý
2.2 Giải tích tổ hợp
1- Nguyên lý cộng
2- Nguyên lý nhân
3- Nguyên lý Dirichlet
4- Nguyên lý bù trừ
5- Hoán vị
6- Chỉnh hợp
7- Tổ hợp
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
A. TÍNH TOÁN
B. XÁC SUẤT
2.3 Sự kiện ngẫu nhiên
2.4 Định nghĩa-Khái niệm xác suất
2.5 Hệ đầy đủ các biến cố
2.6 Xác suất có điều kiện
1. Nguyên lý cộng
Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp
- Phương pháp 1 có n cách làm
- Phương pháp 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n+m
Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái áo thì An có mấy cách?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009…
2.1. Các nguyên lý
A. TÍNH TOÁN
2. Nguyên lý nhân
Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước
- Bước 1 có n cách làm
- Bước 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n.m
Ví dụ.
A
B
C
Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C
Phép đếm
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Ví dụ. Một em bé có thể mang họ cha là Nguyễn, hoặc họ mẹ là Lê; tên đệm có thể là Văn, Hữu hoặc Đình; tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Giải. Việc đặt tên cho bé phải trải qua ba bước:
Theo quy tắc nhân, có tất cả 2.3.4 = 24 cách đặt tên cho bé.
Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2
Giải. Gọi số có 3 chữ số là
TH1 . c=0. Khi đó
c có 1 cách chọn
a có 5 cách chọn ( a∈X\{0} )
b có 4 cách chọn ( b∈X\{a, 0} )
TH1 có 1.4.5 =20
TH2 . c≠0. Khi đó
c có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn ( a∈X\{c, 0} )
b có 4 cách chọn ( b∈X\{a, c} )
TH2 có 2.4.4 =32
Vậy có 20+32 =52
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
3- Nguyên lý Dirichlet
Nếu có n vật đặt trong k hộp
vật
là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện
hay
[x] gọi là hàm sàn trên của x
🡪 tồn tại ít nhất 1 hộp chứa
,
,
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên
3. Nguyên lý chuồng bồ câu, hộp, ngăn kéo (Derichlet)
Gọi [x] là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.
Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật?
🡪 tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật
Giải.
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái?
🡪 ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái
Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu tự 🡪 n=28, k=26
Theo Nguyên lý Dirichlet
Giải:
a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Ví dụ. Cho tập X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có ít nhất hai phần tử có tổng bằng 10?
Giải.
Ta lập được 5 chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5}.
Do A có 6 phần tử 🡪 n=6, k=5
Theo Nguyên lý Dirichlet:
Như trên, A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra đpcm
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Tính lượng SV tối thiểu cần có ghi tên vào danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6 SV có cùng một điểm trong thang điểm 5?
Theo Nguyên lý Dirichlet
⇨
Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp
Giải.
Ví dụ.
Cách 1:
Cách 2:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Tính lượng SV tối thiểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10?
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.1:
Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7. CMR nếu trường có 7 lớp thì ít nhất có 2 lớp học cùng ngày?
Bài 3.2:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.3:
Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất:
a/ 2 SV có quê cùng tỉnh
b/ 10 SV có quê cùng tỉnh
c/ 50 SV có quê cùng tỉnh
Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái?
Bài 3.4:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có tổng bằng 9?
CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa ít nhất 1 cặp số có tổng bằng 10?
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.5:
Bài 3.6:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
4. Nguyên lý bù trừ
- Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc.
- Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này, ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp.
- Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó:
|A ∪ B|= |A| + |B| - |A ∩ B|
A ∩ B
B
A
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
A ∩ B
A ∩ C
B∩C
A ∩ B ∩ C
A
B
C
|A ∪ B ∪ C|=?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người?
Giải.
Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp
B là những học sinh học Tiếng Anh
Khi đó. Số học sinh của lớp là |A ∪ B |. Theo nguyên lý bù trừ ta có |A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B|=24+26-15=35
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Ví dụ.
Cho các tập hợp như sau:
Hãy chứng minh:
1
2
3
4
5
8
6
7
9
10
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
THỰC HÀNH.
?
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.1. Các nguyên lý
Áp dụng. Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?
Giải.
Ký hiệu A = {1, 2, ..., 1000},
A2 = {a ∈ A | a chia hết cho 2},
A3 = {a ∈ A | a chia hết cho 3},
A7 = {a ∈ A | a chia hết cho 7}.
Theo nguyên lý bù trừ, số các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7 là: |A \ (A2 ∪ A3 ∪ A7)|
Với |A2 ∪ A3 ∪ A7| là các số nguyên dương thuộc tập A vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 và chia hết cho 7.
2.1. Các nguyên lý
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Ta có:
|A2 ∪ A3 ∪ A7| = |A2| + |A3| + |A7| - |A2 ∩ A3| - |A2 ∩ A7| - |A3 ∩ A7| +|A2 ∩ A3 ∩ A7|
Trong đó:
|A2 | = [1000/2] = 500,
|A3 | = [1000/3] = 333,
|A7 | = [1000/7] = 142,�|A2 ∩ A3 | = [1000/6] = 166,
|A2 ∩ A7 | = [1000/14] = 71,
|A3 ∩ A7 | = [1000/21] = 47,
|A2 ∩ A3 ∩ A7 | = [1000/42] = 23,
với [x] là phần nguyên của x được định nghĩa ở nguyên lý Dirichlet.
2.1. Các nguyên lý
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Thay vào công thức:
|A2 ∪ A3 ∪ A7| = 500 + 333 + 142 -166 - 71 - 47 + 23 = 714
Vậy:
|A \ (A2 ∪ A3 ∪ A7)| = |A| − |A2 ∪ A3 ∪ A7|
= 1000 – 714
= 286
Có 286 số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7.
2.1. Các nguyên lý
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG 2.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Kết thúc 2.1:
CÁC NGUYÊN LÝ
BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
1. Hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn
Pn = n! = n.(n-1).(n-2)…1
Quy ước 0! =1
Ví dụ. Cho A = {a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau:
abc, acb,
bac, bca,
cab, cba
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
A. TÍNH TOÁN
Ví dụ.
Cho X = {1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X
🡺 5! = 1.2.3.4.5 = 120
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
2. Chỉnh hợp.
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 ≤ k ≤ n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là
- Công thức
Ví dụ. Cho X = {a,b,c}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Ví dụ. Có bao nhiêu cách xếp 3 khách Minh, Thông, Thái vào hai chỗ ngồi cho trước?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6.
Kết quả:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
3.Tổ hợp.
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử phân biệt của A (1 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay
Tính chất:
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
* Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp.
Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}
Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn
- Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30.
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Ví dụ. Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009…
THỰC HÀNH:
1. Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Tổ có 5 nam và 3 nữ.
c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ.
d) Tổ có ít nhất một nữ.
d) Tổ trưởng là nữ.
e) Tổ có cả nam lẫn nữ.
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2. Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Chứa đúng 3 bit 1.
c) Chứa ít nhất 3 bit 1.
d) Không có hai bít 1 nào gần nhau.
e) Không có ba bít 1 nào gần nhau.
2.2. Giải tích tổ hợp
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG B. XÁC SUẤT
Kết thúc 2.2:
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
B. XÁC SUẤT
* Xác suất là một nhánh của toán học liên quan đến các mô tả bằng số về khả năng xảy ra một sự kiện, hoặc khả năng một mệnh đề là đúng.
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
PHÉP THỬ
SỰ KIỆN
KHÔNG GIAN MẪU
NGẪU NHIÊN
Không gian mẫu hữu hạn
Không gian mẫu vô hạn đếm được
Không gian mẫu vô hạn không đếm được
Sự kiện cơ bản
Sự kiện chắc chắn
Sự kiện không thể
Sự kiện A hoặc B
Sự kiện đồng thời A và B
Sự kiện A mà không B
Sự kiện xung khắc
Sự kiện đối lập
Rời rạc
Liên tục
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
B. XÁC SUẤT
PHÉP THỬ
= Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng)
SỰ KIỆN
KHÔNG GIAN MẪU
SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN
= Kết quả của Phép Thử 🡪 Ký hiệu: A, B,C
= kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
= Σ Sự kiện ngẫu nhiên (khả năng có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên
Card A = Số phần tử của A
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên
Không gian mẫu
⇨
Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu
Card R = 2 (0 và 1)
Ví dụ.
Card R = cặp (0,1)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
Tung đồng tiền 3 lần
Không gian mẫu?
⇨
Tung đồng tiền 2 lần
Không gian mẫu
⇨
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
ĐỒ THỊ
Card R = 4
Card R = ?
Ví dụ.
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
Gieo một con xúc xắc
Không gian mẫu
⇨
Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc
Không gian mẫu ?
⇨
Card R = 6
Card R = ?
Ví dụ.
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
KHÔNG GIAN MẪU Ω
= Σ Sự kiện ngẫu nhiên (đồng khả năng có thể xảy ra) của Phép thử ngẫu nhiên
Ω hữu hạn
Ω vô hạn đếm được
Ω vô hạn không đếm được
Card Ω = hữu hạn
Card Ω = N (Số tự nhiên)
Card Ω = Không đếm được
Rời rạc
Liên tục
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
SỰ KIỆN
SK ngẫu nhiên
= Kết quả của Phép Thử 🡪 Ký hiệu: A, B,C
= kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
Card A = 1
SK cơ bản
⬄
Card A = Ω
SK chắc chắn
⬄
Card A = Ø
SK không thể
⬄
ĐẠI SỐ SK
(các Quan hệ-Phép toán SK)
SK hoặc A hoặc B ⬄ HỢP
SK đồng thời A và B ⬄
SK A mà không B ⬄
SK xung khắc
SK đối lập và
SK tất yếu
Nhóm đầy đủ các SK (phân hoạch)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S)
B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2
C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)
Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử:
B và C là 2 SK xung khắc
SK tất yếu
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.3. Sự kiện ngẫu nhiên
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG 2.4. ĐỊNH NGHĨA – KHÁI NIỆM XÁC SUẤT
Kết thúc 2.3:
SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN
BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
1/ Định nghĩa cổ điển
Xác suất của biến cố A là tỉ số của số kết quả thuận lợi xảy ra cho A (m) trên tổng số kết quả đồng khả năng xảy ra (n) của phép thử.
số trường hợp xảy ra A
số trường hợp của không gian mẫu
Xác suất của A:
SK không thể
SK tất yếu
SK bất kỳ
HỆ QUẢ
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.4. Định nghĩa-Khái niệm xác suất
B. XÁC SUẤT
Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút được .......... là bao nhiêu?
a/ quả trắng?
b/ quả xanh?
c/ quả đỏ?
d/ quả đen?
e/ quả trắng hoặc xanh?
f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ?
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.4. Định nghĩa-Khái niệm xác suất
Giải
a/ P(T) = 10/20 = 0,5
b/ P(X) = 6/20 = 0,3
c/ P(Đ) = 4/20 = 0,2
d/ P(Đn) = 0/20 = 0
e/ P(TX) = 16/20 = 0,8
f/ P(TXĐ) = 20/20 = 1
Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12. Mặt 1, 4, 7, 10, 12 tô màu đỏ; mặt 2, 5, 8, 11 tô màu xanh; các mặt còn lại tô màu đen. Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện:
a/ Mặt màu cam?
b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh?
c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen?
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.4. Định nghĩa-Khái niệm xác suất
Giải
a/ P(C) = 0/12 = 0
b/ P(ĐX) = 9/12 = 0,75
c/ P(ĐXĐn) = 12/12 = 1
Bài tập 4.1:
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau, trong đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam. Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút được 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu?
a/ cùng xanh? b/ xanh và cam?
c/ cam và đỏ? d/ khác màu?
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 4.2:
a/ 2 mặt màu trắng?
b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng?
c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng?
d/ 2 mặt có tổng bằng 10?
e/ 2 mặt có hiệu bằng 8?
f/ 2 mặt có màu khác nhau?
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 4.3:
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trường hợp có thể xảy ra khi xuất hiện:
a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau
c/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen
e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG 2.5. HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ
Kết thúc 2.4:
ĐỊNH NGHĨA – KHÁI NIỆM XÁC SUẤT
BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Nhóm các biến cố A1, A2, A3,…, An của một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố:
A1 = “xuất hiện mặt sấp”
A2 = “xuất hiện mặt ngửa”
P(A1) = P(A2) = 0,5
khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
B. XÁC SUẤT
Ví dụ.
Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú.
Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, I = 1, 2, 3.
Hãy biểu diễn Ai qua các biến cố sau:
Giải: = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
c) C= A1∩A2∩A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp.
a. Xác suất lấy được 1 bi trắng:
b. Xác suất lấy được 1 bi xanh:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Một lô sản phẩm có 10 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:
a/ Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b/ Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Một lô sản phẩm có 10 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:
a/ Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b/ Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy được:
Giải
a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng”
b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Giả sử A là một biến cố. Khi đó
1) và
2) Nếu thì
3) Tính cộng tính:
P(A ∪ B)= P(A) + P(B)
P(A∪B)= P(A) + P(B) – P(A ∩B)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3
bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
Giải. Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”.
Khi đó = “lấy được 3 bi xanh”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Ví dụ.
Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi
Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn.
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh
viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Giải. Đặt T = “sinh viên được chọn giỏi Toán”
V = “sinh viên được chọn giỏi Văn”
Khi đó:
T∪V=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn”
T∩V=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn”
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Ví dụ.
Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng
kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác
suất để:
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
Giải:
At= “3 cầu rút được màu trắng”
Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ”
Ax= “3 cầu rút được màu xanh”
Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên
A= At∪ Ađ ∪ Ax
Do At, Ađ, Ax xung khắc nên
P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng
Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen
Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh
P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
c) P(C)= P(B) + P(A)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.5. Hệ đầy đủ các biến cố
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG 2.6. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Kết thúc 2.5:
HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ
BÀI GIẢNG�TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ThS. Phạm Vũ Nhật Uyên
Chương 2
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
�* Xác suất có điều kiện�* Công thức đầy đủ�* Công thức Bayes
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
B. XÁC SUẤT
Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A, B. Xác suất của A với điều kiện B,
ký hiệu là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Tính xác suất người thứ hai bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu tiên đã bốc được một vé trúng thưởng. (mỗi người chỉ được bốc 1 vé).
Đặt A = “người thứ nhất bốc được vé trúng thưởng”
B = “người thứ hai bốc được vé trúng thưởng”
Xác suất của B sau khi A đã xảy ra:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Một hộp điều tra về sở thích mua sắm quần áo của dân cư trong một vùng. Trong số 500 người được điều tra (gồm 240 nam và 260 nữ), có 136 nam và 224 nữ trả lời “thích”.
a) Chọn một người nữ của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm.
b) Chọn một người nam của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm.
Đặt: A = “người được chọn thích mua sắm”
B = “người được chọn là nữ”
C = “người được chọn là nam”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Công thức nhân xác suất
P(A∩B)= P(A). P(B)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Ví dụ. Một xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc, xác suất để hai máy này bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc xưởng có:
a) máy hỏng
b) một máy hỏng
Giải
Đặt Ai=“máy i hỏng trong một ngày làm việc”
a) A=“có máy hỏng”
khi đó = “không có máy nào hỏng”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
b) B=“có một máy hỏng”
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Giải. Đặt A= “lô hàng được mua”.
Ai=“lấy được sản phẩm tốt lần thứ i”
a) trường hợp lấy có hoàn lại
P(A)=P(A1∩A2 ∩ A3 ∩ A4)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) (xác suất các lần lấy độc lập)
b) trường hợp lấy không hoàn lại
P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1 ∩ A2).P(A4/A1 ∩ A2 ∩ A3)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Ví dụ. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua trong 2 trường hợp: hoàn lại và không hoàn lại.
2.6. Xác suất có điều kiện
Công thức xác suất đầy đủ
P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2)+… + P(An).P(A/An)
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản phẩm do máy I sản xuất là 65% và do máy II sản xuất là 35%. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 0,02 và của máy II là 0,03. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để lấy được phế phẩm.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Giải. Đặt Ai = “sản phẩm chọn được do máy i sản xuất”
B = “sản phẩm chọn được là phế phẩm”
P(A1) =0,65 ; P(A2) =0,35
Hệ A1, A2 là một hệ đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ:
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)
= 0,65.0,02 + 0,35.0,03 = 0,0235
2.6. Xác suất có điều kiện
Công thức Bayes
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Một loại nón bảo hiểm sản xuất trên thị trường xuất phát từ ba nguồn I, II, III với tỷ lệ thị phần tương ứng là 35%, 40% và 25%. Tỷ lệ được kiểm định chất lượng tương ứng là 70%, 80% và 90%. Mua ngẫu nhiên một nón loại này.
a) Tính xác suất để mua được nón đã được kiểm định chất lượng.
b) Giả sử đã mua được nón đã được kiểm định. Tính xác suất để nón này xuất xứ từ nguồn II.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
a) Giải. Đặt
A1 = “mua được nón từ nguồn I”
A2 = “mua được nón từ nguồn II”
A3 = “mua được nón từ nguồn III”
A = “mua được nón đã được kiểm định chất lượng”
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
P(A1) = 0,35
P(A2) = 0,4
P(A3) = 0,25
A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố.
P(A) = P(A1).P(A/A1) +P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3)
= 0,35.0,7 + 0,4.0,8 + 0,25.0,9
= 0,79
2.6. Xác suất có điều kiện
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài tập 1.
Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh
khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác
suất để trong 3 học sinh đó có:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Bài tập 2.
Có hai hộp đựng bút chì. Hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh, hộp II có 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất sao cho trong hai bút lấy ra có:
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Bài tập 3.
Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp. Xác suất để hai xe chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0,7 và 0,6. Tính xác suất sao cho:
a) Chỉ có một xe chở hàng về đến xí nghiệp
b) Xí nghiệp nhận được hàng.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 4.
Một hộp gồm có 24 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại), đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại. Tìm xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá 3 lần lấy.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 5.
Một người say mê xổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ cho đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng, biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 6.
Học kỳ này sinh viên được thi môn Toán ứng dụng 3 lần. Xác suất để sinh viên thi đậu ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt ở lần thi thứ nhất thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ hai là 0,7. Còn nếu thi trượt ở cả hai lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất để sinh viên nói trên thi đậu học kỳ này.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 7.
Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và 2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường. Tìm xác suất:
a) Tìm xác suất sinh viên là nữ, biết rằng sinh viên đó học Toán.
b) Tìm xác suất sinh viên học Toán, biết rằng sinh viên đó là nữ.
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
2.6. Xác suất có điều kiện
Bài tập 8.
Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ làm ra chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,8. Từ một kho chứa 1/3 số sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai), lấy ra một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 9.
Có 2 hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm; hộp thứ hai có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được phế phẩm.
c)* Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ qua hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ hai. Tính xác suất lấy được phế phẩm từ hộp thứ hai.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Bài tập 10.
Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm được sản xuất ca chiều, 20% sản phẩm được sản xuất ca tối. Tỷ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là 5%, 10% và 20%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm.
b) Giả sử đã lấy được sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm đó do ca sáng sản xuất.
2.6. Xác suất có điều kiện
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN
Kết thúc Chương 2:
TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT