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簡諧運動

組別：A8

涂佩涵、林雋妍

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目 錄

    • 目的
    • 原理
    • 儀器
    • 實驗步驟

1

    • 實驗數據

​

    • 結果討論
    • 結論

(一) 測量彈簧常數 k

(二) 週期 T 與滑車質量 m 的關係

(三) 驗證動能位能是否守恆

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觀察滑車-彈簧系統的簡諧振盪運動,

驗證各物理量（包括拉力、位移與彈性係數；質量與週期）間的關聯及能量守恆。

目的

2

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m

d x

2

dt

2

=−kx (1)

F=ma=

原理

在一個系統中,當物體離開平衡位置時物體會受到恢復力（本實驗為彈簧）作用而來回振盪，此週期性運動稱為簡諧運動。

3

    • 當彈簧伸長範圍不超過彈性極限時彈簧拉力可由虎克定律

F=−kx

描述

    • 運動方程式為：

X=0

X=a

X=-a

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ｘ(t)=A sin(ωt+Ø) (2)

m

d x

2

dt

2

=−kx (1)

F=ma=

    • (1)式的解可表示成：
    • (2)代入(1)中可得

ω=

m

k

√

T= 　=2π

2π

ω

m

k

√

，則週期

4

(3)

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5

T=2π

m+ m

k

√

3

1

    • 考慮彈簧質量m 不為零

s

s

T =

k

2

m+ 　 m

2

4π

2

4π

3k

s

    • 能量守恆定律

kx +　mv = kA = mv =常數

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

x

xo

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6

儀器

滑車(智慧型滑車)、軌道、ㄇ型保護架、彈簧2條、彈簧掛鉤組、砝碼、 數據擷取軟體(SPARKvue)。

滑車

拉力計鐵鉤

ㄇ形保護架

彈簧

彈簧掛勾

彈簧掛勾

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1.測量滑車及兩彈簧質量

2.調整使軌道水平並固定好掛勾

3.打開滑車電源連接藍芽，並於數據擷取程式中設定顯示滑車

位移及拉力變化圖，設數據取樣率為200Hz

4.選擇一彈簧勾住滑車的拉力計，另一端勾住軌道上的彈簧掛勾

，緩慢拉動滑車，以程式紀錄滑車位移及彈簧拉力之變化

5.由F-X關係圖斜率得到彈力常數k 、k

1

2

7

實驗步驟

(一)測量彈簧常數 k

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T =

k

2

m+ 　 m

2

4π

2

4π

3k

s

8

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

1.滑車兩端連上彈簧，兩彈簧的另一端連上彈簧掛勾

2.在滑車上加上砝碼並推動滑車，以程式紀錄滑車震盪時的位移

與拉力變化，由多個週期的總時長求得平均週期

3.增加系統質量，量測不同質量時的震盪週期

4.將T 與m作圖，由下式求得其斜率及截距，推算出k值與m 值

2

s

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T =

k

2

m+ 　 m

2

4π

2

4π

3k

s

8

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

1.滑車兩端連上彈簧，兩彈簧的另一端連上彈簧掛勾

2.在滑車上加上砝碼並推動滑車，以程式紀錄滑車震盪時的位移

與拉力變化，由多個週期的總時長求得平均週期

3.增加系統質量，量測不同質量時的震盪週期

4.將T 與m作圖，由下式求得其斜率及截距，推算出k值與m 值

2

s

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9

(三)能量守恆

1.取前面一組數據，觀察位移隨時間的震盪變化x(t)及速率

隨時間的震盪變化v(t)

2.選取同一段時間的位置變化x及速率變化v計算各時間點的

動能、位能與兩能量的合

3.觀察動能與位能的總合是否隨時間改變

4.驗證系統的能量是否守恆

kx +　mv = kA = mv =常數

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

x

xo

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10

實驗數據

(一)測量彈簧常數 k

F=−kx

滑車質量：258.29

斜率=-18.0

k=18.0

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    • 由 SPARKvue 得到的滑車施力(F)與滑車位移(x)圖可看出其圖型呈明顯的線性關係，且從F-x 圖斜率可直接得到彈力常數(k)。
    • 在選取 F-x 圖之線段時，選取的斜線線段不同，所求得的斜率也會不同，斜率在線段的前、後段會與中段有些微的差異。

11

結果討論

(一)測量彈簧常數 k

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結果討論

12

斜率=-18.0

k=18.0

斜率=-17.8

k=17.8

(一)測量彈簧常數 k

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    • 為什麼中間的斜率與兩端有些許差異?
      • 當速度趨近於零時，摩擦力不再「抵消慣性力」，而是對運動造成額外的阻礙。
      • 滑車前端的掛鉤質量對拉力計的施力沒有被考慮(我們無法測量其質量)
      • 來回移動滑車的速度太快(若穩定的緩慢來回移動，斜率應該不會有太大的差異)

結果討論

(一)測量彈簧常數 k

13

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T=

10

t -t

2

1

14

實驗數據

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

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k =

a

2

4π

theo

m =

3kb

2

4π

theo

s

a

b

T =

k

2

m+ 　 m

2

4π

2

4π

3k

s

15

實驗數據

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

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16

實驗數據

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

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17

    • 由數據可知週期平方T 與滑車質量m約成正比，利用數據算出的彈力常數k之理論值為37.6(N/m)，與測量值35.7(N/m)之誤差為5.16%。
    • 利用數據算出的彈簧質量m 之理論值為0.01573(kg)，與測量值0.01564(kg)誤差為0.59%。

結果討論

s

2

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

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18

    • 第一次實驗所得的k、m 之誤差值與增加一組30g砝碼質量後所得的k、m 之誤差值變小，討論其原因：
      • 30g砝碼質量相對於10g砝碼質量，摩擦力對質量較小的砝碼在運動狀態中的影響較為顯著。
      • 增加的數據在原先擬和線下方，因此將數據拉回來使誤差減小

​

​

結果討論

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

s

s

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19

結果討論

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

增加的數據點在擬和線偏下

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20

    • 第二次實驗數據中k的誤差比m 的誤差大
      • 由公式 ，因此可能受到b(截距)的影響，使k值之誤差傳遞的影響減小。

​

結果討論

(二)週期 T 與滑車質量 m 的關係

s

m =

3kb

2

4π

theo

s

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21

K= mv

2

2

1

x

E=K+U

2

1

2

U= kx

實驗數據

(三)能量守恆

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22

由數據中的時間t、位移x、速度v，經過計算可得動能與位能相加的總能量E，並作E-t圖，總能量隨時間下降，能量不守恆，並且有小幅度的波動。

結果討論

    • 能量不守恆
      • 摩擦力影響
      • 能量轉換成熱能、聲音或其他形式的能量釋放

(三)能量守恆

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    • 小幅度的波動
      • 受阻尼的影響
        • 因外界作用(空氣阻力、摩擦力)導致的振動幅度逐漸下降
        • 動能和位能之間的交換會受阻尼影響，導致能量遞減過程出現振盪。
      • 若彈簧非理想或接觸表面的摩擦力具不穩定性，可能會引起能量損失的波動。

結果討論

23

(三)能量守恆

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結果討論

24

(三)能量守恆

將圖放大，可以看出能量下降後會有小幅度的上升再接著下降，正常情況下，能量下降應該呈階梯狀。

可能是因為平衡位置偏移

    • 小幅度的波動

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結論

25

(一)測量靜彈簧常數k

從F-x圖之斜率求得彈力常數k，符合虎克定律 。

滑車位於兩端時，可能受靜摩擦的阻力使斜率較大(k較小)。

(二)週期T與滑車質量m

從T -m圖中可知兩者約呈正比，與公式 相符。

(三)驗證能量守恆

總能量受阻尼影響隨時間逐漸下降，能量並未守恆。

能量遞減的波動可能是接觸表面的摩擦力具不穩定性。

2

T =

k

2

m+ 　 m

2

4π

2

4π

3k

s

F=−kx

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ＴＨＡＮＫ

ＦＯＲ

ＬＩＳＴＥＮＩＮＧ

Group：Ａ８