1 of 13

Apakah kalian pernah jatuh dan terluka pada saat berolahraga? Salah satu disinfektan yang dapat membersihkan luka adalah hidrogen peroksida. Cairan ini merupakan suatu cairan bening yang lebih kental daripada air. Namun, tidak semua hidrogen peroksida yang dijual mempunyai konsentrasi yang sama. Ahli kimia dapat mengkombinasikan hidrogen peroksida berkonsentrasi tinggi dan rendah untuk memperoleh konsentrasi tertentu sesuai kebutuhan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel.

JUDUL

ISI MATERI

2 of 13

Isi Materi

JUDUL

ISI MATERI

3 of 13

Apa yang Kalian Ketahui?

Dua buah garis tidak sejajar dan terletak pada bidang datar akan saling berpotongan di satu titik.

Apa yang Akan Kalian Pelajari?

Kalian dapat menggambar SPLDV dengan menggambarkan kedua persa-maan pada gambar yang sama. Jika gambar dari SPLDV menunjukkan adanya perpotongan garis maka sis-tem mempunyai penyelesaian tunggal.

Kalian mengetahui cara mencari titik potong dua garis yang tidak sejajar.

JUDUL

ISI MATERI

4 of 13

Persamaan linear dengan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, b ≠ 0.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x + 3y = 6 untuk x, y ∈ C (himpunan bilangan cacah) dan gambarlah grafiknya!

Penyelesaian:

Diketahui x + 3y = 6 dengan x, y ∈ C (bilangan cacah).

Untuk x = 0 ⇔ 0 + 3y = 6

⇔ y = 2

Untuk nilai x dan y yang lain dapat dilihat pada tabel berikut.

Untuk dapat menyelesaikan persamaan ax + by = c maka kita harus mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut.

JUDUL

ISI MATERI

5 of 13

Untuk x = 1 dan x = 2, nilai y berupa nilai-nilai pecahan (bukan bilangan cacah), yaitu dan sehingga tidak memenuhi penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 2), (3, 1), (6, 0), ...}. Grafik untuk persamaan x + 3y = 6 seperti tampak pada gambar berikut.

JUDUL

ISI MATERI

Jika ada dua persamaan linear dua variabel dalam satu kesatuan (sistem), yaitu a₁x + b₁y = c₁ dan a₂x + b₂y = c₂ maka dua persamaan itu disebut sistem persamaan linear dua variabel.
Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut merupakan akar (penyelesaian) sistem persamaan linear dua variabel.
Nilai x dan y yang tidak memenuhi kedua persamaan itu bukan merupakan akar (penyelesaian) sistem persamaan linear dua variabel.

a. Grafik

Langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV.

a. Gambarlah grafik masing-masing persamaan dalam satu diagram Kartesius.

b. Tentukan titik potong kedua grafik itu.

c. Titik potong tersebut merupakan penyelesaian SPLDV.

JUDUL

ISI MATERI

7 of 13

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan titik potong garis-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat terlebih dahulu seperti pada tabel berikut.

Himpunan penyelesaiannya {(3, 2)}.

JUDUL

ISI MATERI

8 of 13

b. Metode Substitusi (Penggantian)

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi adalah dengan cara menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel lain pada suatu persamaan.

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y = 24 untuk x, y ∈ R!

Penyelesaian:

5x + 5y = 25 ........ (1)

3x + 6y = 24 ........ (2)

Perhatikan persamaan (1)

5x + 5y = 25 ⇔ 5y = 25 – 5x

⇔ y = 5 – x

Kemudian, nilai y ini disubstitusikan pada persamaan (2) sehingga diperoleh nilai berikut.

3x + 6y = 24 ⇔ 3x + 6(5 – x) = 24

⇔ 3x + 30 – 6x = 24

⇔ –3x = –6

⇔ x = 2

JUDUL

ISI MATERI

9 of 13

Nilai y yang diperoleh dengan menyubstitusikan nilai x = 2 pada persamaan (1) atau persamaan (2) sehingga diperoleh

5x + 5y = 25 ⇔ 5 × 2 + 5y = 25

⇔ 10 + 5y = 25

⇔ 5y = 15

⇔ y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y

= 24 adalah {(2, 3)}.

c. Metode Eliminasi (Pelenyapan)

Metode eliminasi dilakukan dengan cara mengeliminasi (melenyapkan) salah satu variabel dan variabel yang akan dieliminasi harus mempunyai koefisien yang sama.
Jika koefisien variabel tidak sama maka kalian harus mengalikan salah satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga ada variabel yang mempunyai koefisien sama.

JUDUL

ISI MATERI

10 of 13

Ada dua persamaan, yaitu 2x + y = 8 dan x – y = 10 dengan x, y ∈ R. Tentukan

himpunan penyelesaiannya dengan metode eliminasi!

Penyelesaian:

Dari kedua persamaan tersebut, koefisien yang sama adalah variabel y maka variabel y yang akan dieliminasi dengan cara dijumlahkan. Dengan demikian, diperoleh nilai x sebagai berikut.

2x + y = 8

x – y = 10

––––––– +

3x = 18

x = 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(6, –4)}.

2x + y = 8 | × 1 | 2x + y = 8

x – y = 10 | × 2 | 2x – 2y = 20

–––––––––––– –

3y = –12

y = –4

Selain menggunakan metode grafik, metode substitusi, dan metode eliminasi, sistem persamaan linear juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode gabungan dari substitusi dan eliminasi. Metode yang demikian disebut metode campuran.

JUDUL

ISI MATERI

11 of 13

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 5 dan

3x – 2y = 11, x, y ∈ R dengan metode campuran!

Penyelesaian:

2x + y = 5 ............. (1)

3x – 2y = 11 ......... (2)

Kita samakan koefisien variabel x sehingga persamaan pertama dikalikan 3

dan persamaan kedua dikalikan 2.

2x + y = 5 | × 3 | ⇔ 6x + 3y = 15

3x – 2y = 11 | × 2 | ⇔ 6x – 4y = 22

–––––––––––– –

7y = –7

y = –1

Substitusikan nilai y = –1 ke salah satu persamaan, misal persamaan (1)

2x + y = 5 ⇔ 2x – 1 = 5

⇔ 2x = 5 + 1

⇔ 2x = 6

⇔ x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, –1)}.

JUDUL

ISI MATERI

12 of 13

Harga lima buah meja dan delapan buah kursi adalah Rp1.150.000,00, sedangkan tiga buah meja dan lima buah kursi berharga Rp700.000,00. Tentukan harga masing-masing meja dan kursi!

Penyelesaian:

Misalkan harga meja = x dan harga kursi = y sehingga diperoleh persamaan

5x + 8y = 1.150.000 ............................ (1)

3x + 5y = 700.000 ............................... (2)

Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah sebagai berikut.

5x + 8y = 1.150.000 | × 3 | ⇔ 15x + 24y = 3.450.000

3x + 5y = 700.000 |× 5 | ⇔ 15x + 25y = 3.500.000

–––––––––––––––––––– –

–y = –50.000 ⇔ y = 50.000

Dengan cara substitusi y = 50.000 akan diperoleh x = 150.000

Jadi, harga meja adalah Rp150.000,00 dan harga kursi adalah Rp50.000,00.

JUDUL

ISI MATERI

13 of 13

Perhatikan sistem persamaan di bawah ini.

Apakah nama sistem persamaan di atas?

Sistem persamaan di atas dinamakan sistem persamaan nonlinear dua variabel.
Untuk dapat menyelesaikannya sistem persamaan tersebut harus diubah ke dalam bentuk persamaan linear.
Setelah terbentuk, sistem persamaan linear baru dapat diselesaikan dengan cara atau metode yang sudah dipelajari sebelumnya.

JUDUL

ISI MATERI

1 of 13

2 of 13

3 of 13

4 of 13

5 of 13

6 of 13

7 of 13

8 of 13

9 of 13

10 of 13

11 of 13

12 of 13

13 of 13