1 of 36

MATLAB

Dr Stevica Cvetković

KATEDRA ZA ELEKTRONIKU, Elektronski fakultet, Univerzitet u Nišu

2 of 36

Matlab

MATrix LABoratory (Stanford University, 1970.)
Svi podaci se tretiraju se kao matrice �(skalari predstavljeni kao matrice dimenzija 1×1)
Izrada proptotipa, testiranje algoritama, itd.
Relativno visoka cena, plaćaju se i studentske licence?

2

3 of 36

GNU Octave

GNU OCTAVE - besplatna alternativa Matlabu
Kompatibilan sa većinom Matlab koda (nije 100%)
https://www.gnu.org/software/octave/
Preporucena instalacija verizije octave-5.2.0_1-w64-installer.exe,
Za ovaj kurs, nakon instalacije treba pokrenuti Octave i u njegovom Command Window dodatno 'pkg load image’.

3

4 of 36

Definisanje matrice

Definisanje matrice A:

>> A = [1, 1, 3; 4, 0, 6; 2, 5,-1]

A =

1 1 3

4 0 6

2 5 -1

Listu elemenata definešemo uglastim zagradama [ ]
Elementi unutar vrste (reda) matrice razdvajaju se zapetama ili blanko znacima
Kraj vrste označava se tačkom zarezom;

4

5 of 36

MATLAB razlikuje velika i mala slova kod pisanja naredbi!
Tačka-zarez na kraju naredbe označava da se rezultat ne ispisuje na ekranu! (važno pri radu sa velikim matricama.)
Komentar se označava znakom %

>> a = [7, 2, 3; 4, 5, 6]; % Ovo je matrica.

5

6 of 36

Vektor kolona

Vektor-kolona se u MATLABU predstavljaju kao matrica sa jednom kolonom:

>> x = [1; 2; 4; 8] % ovo je vektor-kolona

x =

1

2

4

8

6

7 of 36

Dvotačka operator

Definisanje niza u određenom opsegu i sa zadatim inkrementom.
Opšti oblik y = [start : korak : stop];

>> x = [3:10] % Podrazumeva se korak 1.

x =

3 4 5 6 7 8 9 10

>> x = [3:2:10]

x =

3 5 7 9

>> x = 3:2:10 % Dozvoljeno je izostaviti zagrade! (uobičajeno)

x =

3 5 7 9

7

8 of 36

Pristup elementima po indeksu

Indeksiranje elemenata matrice počinje od a(1,1), a ne od a(0,0)! (za razliku od većine programskih jezika)

>> a = [7 2 3; 4 5 6];

>> c = a(2,3)

c =

6

8

9 of 36

Ako pokušate pristup elementu koga nema u matrici dobićete poruku o grešci.

>> a(3,4)

??? Index exceeds matrix dimensions.

Međutim, ako pokušate da unesete vrednost u element koji ne postoji u matrici, dimenzije matrice se proširuju tako da prihvate novu vrednost:

>> a(3,4)= 15

a =

7 2 3 0

4 5 6 0

0 0 0 15

9

10 of 36

Niz indeksa

Indeks može biti čitav niz, a ne samo jedan broj!

>> x = [4 5 6 7 8];

>> podniz = x([2,3,4])

podniz =

5 6 7

Veoma korisna mogućnost da jednom naredbom pristupimo (izdvojimo) čitav podniz ili podmatricu.

10

11 of 36

>> x = [7 8 9 1; 4 5 6 3];

>> podmatrica = x(1, [2, 4]) % indeks može biti niz!

podmatrica =

8 1

11

12 of 36

Operator dvotačka

Omogućava kreiranje niza u zadatom opsegu i sa odgovarajućim inkrementom.

>> x = [3:2:11]

x =

3 5 7 9 11

Moguće izostaviti uglaste zagrade tj. x = 3:2:11

12

13 of 36

Dvotačka kao indeks

Kombinovanje sa dvotačka operatorom (uobičajeno):

>> x = [9 5 3 1 8 2];

>> y = x(2:5)

y =

5 3 1 8

>> y = x(2:end)

y =

5 3 1 8 2

>> y = x(:)

y =

9 5 3 1 8 2

13

14 of 36

>> a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

a =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

14

Podmatrica koju izdvajamo	MATLAB naredba
Podmatrica koja obuhvata drugu i treću vrstu i od prve do treće kolone.	>> a(2:3, 1:3) ans = 4 5 6 7 8 9
Svi elementi druge kolone. (tj. elementi svih vrsta(:) i druge kolone(2))	>> a(:, 2) ans = 2 5 8
Svi elemenati prve vrste. (tj. elementi prve vrste (1) i svih kolona(:))	>> a(1, :) ans = 1 2 3

15 of 36

Snimanje i učitavanje matrice

>> save(‘matrica.dat’, A); % Snima matricu A u fajl.

>> A1 = load (‘matrica.dat’) % Iz fajla učitava matricu u A1.

15

16 of 36

Matematičke operacije nad matricama

16

17 of 36

Aritmetičke operacije

>> a = [1 2 3; 4 5 6];

>> b = [7 8 9; 3 2 1];

>> c = a + b

c =

8 10 12

7 7 7

>> d = a - b

d =

-6 -6 -6

1 3 5

>> c = a + 2

c =

3 4 5

6 7 8

>> c = a * 2

c =

2 4 6

8 10 12

>> c = a * b

Error using *

Inner matrix dimensions must agree.

17

18 of 36

Množenje matrica

Broj kolona prve matrice mora biti jednak broju vrsta druge matrice!

>> A = [1 2 3; 4 5 6];

>> B = [1 3; 5 7; 8 9];

>> C = A * B

C =

35 44

77 101

Stepenovanje moguće samo za kvadratnu matricu! >> C = A^2

18

19 of 36

Operacije element-po-element

>> a = [1 2 3; 4 5 6];

>> b = [7 8 9; 2 5 7];

>> c = a .* b

c =

7 16 27

8 25 42

>> c = a .^ 2

19

20 of 36

Relacije (<, >, ==, ~=, <=,…)

Rezultat relacijskog operatora je:

0 - ako uslov nije zadovoljen
1 - ako je uslov zadovoljen

>> 12 >= 9

ans =

1

>> 11 ~= 11

ans =

0

20

21 of 36

Relacije (matrice)

Poređenje matrice i skalara:

>> a = [1 2 3; 4 5 6];

>> a <= 4

ans =

1 1 1

1 0 0

Poređenje dve matrice:

>> b = [3 2 1; 7 9 0]

b =

3 2 1

7 9 0

>> a >= b

ans =

0 1 1

0 0 1

21

22 of 36

Logički operatori

Nad skalarima (&&, ||):

x = 4;

y = 6;

z = (x ~= 4) || (x == 6)

z =

1

Nad matricama (&, |, ~):

>> a = [1 0; 1 1]

>> b = [0 1; 1 0]

>> a & b

ans =

0 0

1 0

22

23 of 36

Matlab Skripte

Uređen niz Matlab komandi sačuvanih u tekstualnom fajlu koje se izvršavaju kao celina.

Npr: sabiranjeMatrica.m

clear all;�matA = [1 2 3; 4 5 6];�matB = [7 8 9; 3 2 1];�suma = matA + matB

23

24 of 36

Kontrola toka programa

24

25 of 36

if

if uslov� % naredbe koje se izvršavaju � % ako je uslov ispunjen � % ...

else

% naredbe koje se izvršavaju� % ako uslov nije ispunjen� % ...

end

Primer:

x = -15�if (x >= 0)

abs_x = x

else

abs_x = -x

end

25

26 of 36

if uslov1

% naredbe koje se izvršavaju ako je uslov1 ispunjen

elseif uslov2

% naredbe koje se izvršavaju ako:

% uslov1 nije ispunjen i uslov2 je ispunjen ...

elseif uslov3

% naredbe koje se izvršavaju ako:

% uslov1 nije ispunjen i uslov2 nije ispunjen i uslov3 je ispunjen

else

% naredbe koje se izvršavaju ako nijedan od uslova nije ispunjen

end

26

27 of 36

Programske petlje

for i = pocetniind : korak : krajnji_ind

%naredbe koje se izvršavaju unutar petlje (telo petlje)

end

Primer:

test = 0;

for i = 0 : 1 : 11

test = test + 2

end

27

28 of 36

Primer

Primer 1: Izračunati euklidsko (L2) rastojanje dva zadata niza.

clear all;

x = [7, 3, 4, 1, 8];

y = [6, 8, 9, 5, 7];

d = 0;

for i = 1 : 5

t = (x(i) - y(i)) ^ 2;

d = d + t;

end

d = sqrt(d);

% d = sqrt(sum(((x - y) .^ 2)));

28

29 of 36

Programske petlje - primer

Primer 2: Odrediti maksimalni element zadatog niza x koji sadrži deset elemenata.

clear all;

x = [3, 4, 2, 1, 4, 7, 3, 4, 1, 8];

maxEl = x(1);

for i = 2 : 10

if ( x(i) > maxEl )

maxEl = x(i);

end

end�

29

30 of 36

Matlab funkcijski potprogrami

30

31 of 36

Funkcije

function [izlazni_argumenti] = imefunkcije(ulazni_argumenti)

%Komentar koji se ispisuje u helpu

...

%telo funkcije

...

izlazni_argumenti = ...

31

32 of 36

Funkcije - primer

Primer definisanja f-je u fajlu ZbirProizvod.m:

�function [z, p] = ZbirProizvod(A, B)

%Primer jednostavne funkcije

z = A + B;

p = A * B;

Primer korišćenja (poziva) funkcije u Matlabu:�

>> a = [3 4; 5 6];

>> b = [2 5; 7 9];

>> [zbir1, proizvod1] = ZbirProizvod(a, b)�

zbir1 =

5 9

12 15��proizvod1 =

34 51

32

33 of 36

Ugrađene Matlab f-je

Funkcije za kreiranje matrica
Matematičke operacije
Statističke operacije
...

33

34 of 36

Funkcije za kreiranje matrica

34

Funkcija	Opis	Primer
zeros(m) zeros(m, n)	Matrica čiji su svi elementi jednaki nuli.	>> a = zeros(2,3) a = 0 0 0 0 0 0
ones(m) ones(m, n)	Matrica čiji su svi elementi jednaki jedinici.	>> a = ones(2,3) a = 1 1 1 1 1 1
eye(m) eye(m, n)	Jedinična matrica (elementi glavne dijagonale su 1, a ostali elementi jednaki 0).	>> a = eye(2) a = 1 0 0 1
rand(m) rand(m, n)	Matrica slučajnih elemenata na segmentu [0, 1] po uniformnoj raspodeli.	>> a = rand(2,3) a = 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975
randn(m) randn(m, n)	Matrica slučajnih elemenata prema norm. raspodeli .	>> a = randn(2,3) a = -0.4326 0.1253 -1.1465 -1.6656 0.2877 1.1909

35 of 36

Matematičke operacije

35

Funkcija	Opis	Primer nad a=[1 2; -1 -2]
abs(a)	Apsolutna vrednost	>> abs(a) ans = 1 2 1 2
sqrt(a)	Kvadratni koren	>> sqrt(a) ans = 1.0000 1.4142 0 + 1.0000i 0 + 1.4142i
exp(a)	Eksponencijalna funkcija, tj. e^a	>> exp(a) ans = 2.7183 7.3891 0.3679 0.1353
log(a)	Prirodni logaritam tj. ln(a)	>> log(a) ans = 0 0.6931 0 + 3.1416i 0.6931 + 3.1416i
log10(a)	Logaritam sa osnovom 10.	>> log10(a) ans = 0 0.3010 0 + 1.3644i 0.3010 + 1.3644i
sin(a) cos(a)	Trigonometrijske funkcije, pri čemu je ugao zadat u radijanima.	>> sin(a) ans = 0.8415 0.9093 -0.8415 -0.9093

36 of 36

Statističke operacije

36

Funkcija	Opis	Primer nad matricom a = [3 4; 1 7; 5 2]	Primer nad nizom b = [4 9 5]
max(m) min(m)	Pronalazi maksimalni (minimalni) element.	>> max(a) ans = 7	>> max(b) ans = 9
sum(m)	Suma elemenata	>> sum(a) ans = 13	>> sum(b) ans = 18
mean(m)	Srednja vrednost	>> mean(a) ans = 4.3333	>> mean(b) ans = 6
sort(m)	Uređuje elemente u rastući poredak.	>> sort(a) ans = 1 2 3 4 5 7

Pozivom ovih funkcija nad matricom, vrši se operacija nad svakom kolonom matrice!