Сотникова А.В.,

учитель математики

МАОУ «МЛ №1»

Методы

решения неравенств

формата №15 ЕГЭ 2026

ЕГЭ 2026 МАТЕМАТИКА, профильный уровень

Элементы содержания темы «Неравенства» проверяются в заданиях №№ 15, 16, 18.

• числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные;
• обыкновенные дроби (правильные, неправильные, смешанные числа), десятичные дроби;
• правила действий с числами и дробями;
• определение и основные свойства степени;
• правила действий с корнями;
• определение и основные свойства логарифма;
• правила решения линейного неравенства и систем линейных неравенств;
• правила решения квадратного неравенства;
• правила решения рационального неравенства;
• правила решения показательного неравенства;
• правила решения логарифмического неравенства;
• правила решения системы неравенств с одной переменной;
• правила использования графиков при решении неравенств;
• метод интервалов.

Нужно знать:

ЕГЭ 2026 МАТЕМАТИКА, профильный уровень

• выполнять действия с числами, с дробями;
• применяя определения и основные свойства;
• проводить преобразования числовых выражений;
• проводить преобразования степенных выражений;
• проводить преобразования иррациональных выражений;
• проводить преобразования тригонометрических выражений;
• проводить преобразования логарифмических выражений;
• решать линейные неравенства и их системы;
• решать квадратные неравенства;
• решать рациональные неравенства;
• решать показательные неравенства;
• решать логарифмические неравенства;
• применять метод интервалов при решении неравенств;
• решать системы неравенств.

Элементы содержания темы «Неравенства» проверяются в заданиях №№ 15, 16, 18.

Нужно уметь:

В задании №15могут встретиться неравенства следующих видов:

• рациональные неравенства
• иррациональные неравенства
• показательные неравенства
• логарифмические неравенства
• смешанные неравенства

• Метод равносильных переходов
• Метод расщепления неравенства
• Метод введения новой переменной
• Обобщенный метод интервалов
• Метод рационализации

Методы решения неравенств

(формат №15 профильного ЕГЭ):

• Метод равносильных переходов

Суть: сведение неравенства к равносильной системе или совокупности неравенств.

Для того, чтобы освободиться в неравенстве от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма, используют схемы равносильных переходов.

• Метод расщепления неравенства

Расщепление неравенств тоже относится к методу равносильных переходов. Применяется, когда левая часть неравенства представляет собой произведение (частное) двух выражений, а правая часть равна нулю. Тогда схема равносильного перехода опирается на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.

• Метод введения новой переменной

Если неравенство F(x) V 0

приводится к виду f(g(x)) V 0, то:

• можно ввести новую переменную g(x) = t,
• решить неравенство f(t) V 0 относительно переменной t,
• затем решить полученные неравенства с переменной х.

Пример:

• Обобщенный метод интервалов

Свойство непрерывных функций: если функция непрерывна на интервале и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной – метод интервалов. Дальнейшие обобщения метода интервалов связаны с расширением класса функций, входящих в неравенство.

Вопрос о решении неравенства f(x) V 0 можно свести к вопросу о решении уравнений и установлении знака функции f(x) в промежутках, на которые разбивают область определения функции нули числителя и изолированные точки, в которых функция не определена (нули знаменателя).

1) Привести неравенство к виду f(x) V 0 с помощью равносильных преобразований;

2) Ввести функцию y = f(x);

3) Найти D(f) - область определения функции y = f(x);

4) Найти нули функции, решив уравнение f(x) = 0;

5) На числовой оси отметить область определения и нули функции, которые разбивают область определения на интервалы;

6) Определить знак функции на каждом интервале строго внутри области определения функции с помощью контрольной точки;

7) Записать в ответ значения х, удовлетворяющие неравенству f(x) V 0.

Алгоритм обобщенного метода интервалов :

– это метод, который позволяет заменить произвольные неравенства на равносильные рациональные неравенства (имеющие те же множества решений) с учётом области определения. Для этого необходимо исходное выражение заменить на выражение, совпадающее с ним по знаку

Идея метода рационализации состоит в использовании свойств монотонной функции.

• Метод рационализации (замены множителей) -

– в правой части неравенства должен стоять 0;

– в левой части неравенства должно стоять произведение или частное;

– выражение, которое мы заменяем на другое, совпадающее с ним по знаку, должно являться отдельным множителем.

Когда можно использовать рационализацию:

Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполнено, то метод рационализации применять нельзя

Основные пары знакотождественных выражений для рационализации неравенств :

Логарифмические выражения

Основные пары знакотождественных выражений для рационализации неравенств:

Показательные, степенные, иррациональные выражения

Выражения с модулем

Примеры решения неравенств ЕГЭ разными методами

Пример 1 (ЕГЭ 2025) Решить неравенство

​

​

​

​

• Метод расщепления неравенства + метод введения новой переменной.

​

Пример 1 (ЕГЭ 2025) Решить неравенство (продолжение)

​

• Обобщенный метод интервалов

Пример 1 (ЕГЭ 2025) Решить неравенство

Пример 1 (ЕГЭ 2025) Решить неравенство

​

• Метод рационализации (метод замены множителей – МЗМ).

Пример 2 (ЕГЭ 2025) Решите неравенство

.

• Метод равносильных переходов

Пример 2 (ЕГЭ 2025) Решите неравенство

• Метод рационализации (МЗМ)

• Решение из демоварианта 2026 (метод равносильных переходов)

​

Пример 3 (ЕГЭ 2023, Демовариант 2026) Решить неравенство

Пример 3 (ЕГЭ 2023, Демовариант 2026) Решить неравенство

• Метод рационализации (МЗМ)

Пример 3 (ЕГЭ 2023, Демовариант 2026) Решить неравенство

• Обобщенный метод интервалов

Пример 4 (ЕГЭ 2020) Решить неравенство

• Метод рационализации (МЗМ)

Пример 4 (ЕГЭ 2020) Решить неравенство

​

• Метод расщепления неравенства

​

• Обобщенный метод интервалов

1. Внимательно прочитать условие и определить, что требуется решить: неравенство или систему неравенств.
2. Выписать все выражения в явном виде и привести их к удобной для преобразований форме.
3. Определить область допустимых значений переменных, если она возникает из условия.
4. Выбрать подходящий приём решения в зависимости от вида выражений (разложение на множители, замена переменной, метод интервалов и др.).
5. Последовательно выполнить алгебраические преобразования и получить промежуточные неравенства или системы.
6. Найти все возможные решения полученного неравенства или системы.
7. Проверить каждое решение на соответствие области допустимых значений и исходному условию.
8. Исключить посторонние решения, если они появились в процессе преобразований.
9. Записать итоговый ответ в виде, соответствующем типу задания.

Алгоритм решения задания формата №15 ЕГЭ :

Задания 15 ЕГЭ 2025 - образцы вариантов с решениями

https://alexlarin.net/ege/2025/15_2025.html

Каталог заданий по типам по темам 

https://math-ege.sdamgia.ru/prob-catalog

Сотникова А.В.,

учитель математики

МАОУ «МЛ №1»

Методы

решения неравенств

формата №15 ЕГЭ 2026