Resistencia de materiales. Parte I
Autor: Ing. Pedro Jesús Villanueva Ramírez
Mayo 2020
Antecedentes
Se estudio en el curso anterior, la estática que se encarga de estudiar los cuerpos sólidos en reposo o equilibrio –externo- evitando el movimiento trasnacional, ya sea vertical u horizontal y el movimiento de giro conocido como momento, de éstos. Para que esto se logré, mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio (ƩFx=0, ƩFy=0 y ƩFm=0) se debe cumplir la tercera ley de Newton “a toda acción corresponde una reacción de igual intensidad pero sentido contrario”. Sin embargo, hasta el momento, la obtención del equilibrio estático externo de un cuerpo rígido ideal que esta constituido por "un material, también ideal“ que no sufre deformaciones, cualquiera sea el sistema de cargas actuante; es solo el primer paso en el proceso de análisis y diseño estructural. Ahora es necesario dar un siguiente paso; considerar a los cuerpos, en este caso, los elementos estructurales, como realmente son, tomando en cuenta su forma, material y dimensiones predeterminadas de la sección, comprobando sí estas son o no seguras y funcionales estructuralmente.
Así, la seguridad y función son 2 condicionantes que un sistema estructural debe cumplir. La seguridad hace referencia a que la estructura no se colapse o fracturé, en otras palabras, la estructura debe tener la suficiente resistencia para mantenerse en un equilibrio estable. Pero el hecho que la estructura no colapse o fracturé no es suficiente ya que si no es lo suficientemente rígida, sufrirá deformaciones excesivas provocando que ésta no pueda utilizarse afectando la función para la que fue diseñada.
Estas dos condicionantes, la seguridad y función, mismas que se relacionan a la RESISTENCIA y RIGIDEZ, respectivamente, deberán cumplirse satisfactoriamente para que las estructuras cumplan su fin.
Edificio Nuevo León - Simulación de colapso en el sismo de 1985.
Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=0K3QuIuyen4
Simulación de deformación excesiva debido a cargas gravitacionales y accidentales
Fuente: propia
El concepto de Rigidez tiene varias acepciones lo que provoca su real definición, desde el punto de vista estructural. Se dice que es: "aquello que se opone a la deformación" o la capacidad que tiene una pieza para oponerse a la deformación". La idea de que rigidez y deformación son magnitudes inversamente proporcionales, es correcta, pero resulta una definición parcial, además de no ser, aún, cuantificable.
El concepto más general que se puede dar de Rigidez es: la relación entre una cierta acción aplicada a una estructura y una determinada deformación producida por dicha acción.
Desde un punto de vista filosófico, Daniel Moisset en su libro “Intuición y razonamiento en el diseño estructural” menciona que la rigidez “es la relación entre la causa que actúa sobre la estructura y su efecto.
Rigidez= acción/deformación = Causa/Efecto
También menciona:
“Para mantener la forma original de la obra de arquitectura, la funcionalidad de la misma y una cierta sensación de seguridad del usuario, es necesario que aún las mayores causas previsibles no produzcan efectos superiores a los considerados admisibles para lograr los objetivos enunciados. Las estructuras arquitectónicas se hacen, en general, para durar y permanecer sin cambios geométricos apreciables durante toda su vida útil. De allí la importancia que tiene la clarificación del concepto de rigidez para orientar decisiones de diseño que logren las metas previstas.”
Conviene destacar aquí, que no debe confundirse rigidez con resistencia. En la primera, lo que interesa es la deformación (recuperable o no) que produce la acción sobre un cuerpo. En la segunda se hace referencia a la fractura, o sea a cambios, o discontinuidades, tan grandes que hacen superar las posibilidades del equilibrio y se llega así al colapso, total o parcial del cuerpo, en este caso, la estructura arquitectónica.
Por otro lado, El estado final de una estructura se produce cuando el efecto de las fuerzas exteriores alcanza un valor último (de fractura) que se le denomina resistencia de la estructura.
Luego entonces, los elementos estructurales deben resistir la deformación y el desplazamiento para poder transmitir las cargas sin colapsarse. El concepto que trata la relación entre las fuerzas externas (cargas) aplicadas a un cuerpo (sólido) y las fuerzas internas que actúan dentro de éste provocando deformaciones inducidas, como la deformación de una viga debido a la acción de cargas gravitacionales, el alargamiento de una varilla de acero, el acortamiento de una barra en una armadura, entre otros, se conoce como mecánica o resistencia de materiales. Luego entonces, la mecánica o resistencia de materiales se ocupa de las propiedades del material, tales como su resistencia, rigidez, ductilidad, entre otros.
Fuerzas externas e Internas.
Tipos de fuerza
Fuerza: acción de un cuerpo sobre otro con la finalidad de alterar su estado de reposo, o toda causa o acción que sea capaz de producir el movimiento de un cuerpo.. En las estructuras arquitectónicas se pueden tener 2 tipos de fuerza, la externas e internas
Fuerzas externas: También conocidas como cargas, son aquellas fuerzas que realizan otros cuerpos o sistemas sobre el cuerpo o sistema analizado. Representan la interacción de éste con el exterior.
Clasificación según su naturaleza
Fuerzas internas: Son aquellas que actúan y afectan al elemento, en este caso, estructural, en forma interna, manteniendo unidas entre sí las partículas. Representan la interacción mutua de las partículas del elemento.
Clasificación
Fuerzas de tracción
Cuando una carga externa tira de un cuerpo, en este caso un elemento estructural, las partículas que componen el material se separan presentándose tracción. Las fuerzas de tracción estiran y alargan el material. La cantidad de alargamiento depende de la rigidez del material, el área de la sección transversal y la magnitud de la carga. Ejemplo de sistemas en los que se presentan este tipo de fuerza interna son los sistemas de forma activa como los cables, redes de cable y velarías.
Fuerzas de compresión
Una fuerza de compresión produce el efecto opuesto de una fuerza de tracción. Cuando una carga externa empuja un miembro estructural, las partículas del material se compactan juntándose. Las fuerzas de compresión resultan en el acortamiento del material. Los sistemas de forma activa como los arcos, bóvedas y domos son ejemplo en el que se presenta este tipo de fuerza en sus estados naturales.
Fuerzas axiales -de tracción-compresión-
Existen componentes estructurales que al aplicárseles cargas funcionan ya sea a tracción o compresión. El termino genérico de este tipo de fuerzas internas tracción-compresión, al actuar a lo largo de una misma línea de acción se le conoce como Fuerzas axiles o axiales. Las armaduras planas o espaciales son ejemplos estructurales en las que se presenta este tipo de fuerzas internas.
Fuente: Interactive Structures
Fuente propia
Fuerzas de corte (cortante)
Una fuerza de corte es un efecto que se desarrolla a partir de la acción de fuerzas opuestas. Las fuerzas de corte producen desplazamientos simultáneos de planos paralelos horizontales y verticales de un material, causando deformación.
Fuerza de flexión
La flexión es el doblez de cuerpo bajo la aplicación de cargas. Cuando se produce flexión o curvatura, la compresión, tracción y cortante están presentes en el cuerpo y material.
Fuerzas de torsión
La fuerza de torsión, como su nombre lo dice es la torsión y distorsión de las fibras de un material en respuesta a una carga aplicada. En la mayoría de los casos, la torsión en un miembro estructural es el resultado de una carga excéntrica. En estructuras de edificios, la torsión es una condición que debe evitarse.
Vídeo: Fuerzas en la conexión atornillada que producen una fuerza de corte que eventualmente puede resultar en la falla del perno. Fuente: Interactive Structures
Vídeo: Fuerza axial a compresión que genera una fuerza cortante haciendo que se fracture longitudinalmente la madera. Fuente: Interactive Structures
Vídeo: Flexión en la sección media de la viga debido a carga uniforme. El color rojo representa tracción y color azul, representa compresión. Fuente: Propia
Vídeo: Torsión a lo largo de la viga debido a cargas uniformes iguales pero de sentido contrario. El color rojo representa tracción y color azul, representa compresión. Fuente: Propia
Como en el mismo caso de la estática, en la resistencia de materiales se deben considerar ciertos principios básicos que permiten simplificar el análisis que, de otra manera, se haría demasiado excesivo. De acuerdo a Jorge E. Salazar en su libro “Resistencia de materiales básica para estudiantes de ingeniería”, estos principios básicos son:
Principios básicos de la Resistencia de materiales
Representación de un medio con isotropía transversal con eje de simetría vertical, esquema de medios estratificados. Modificado de Rex Brian et al., (2003).
Fuente: http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0120-02832010000100004
Principios básicos de la Resistencia de materiales
Principio de Saint Venant (científico francés): Cuando a un elemento estructural se le aplica una fuerza los esfuerzos que esta causa en puntos suficientemente alejados de ella no dependen de la forma concreta en que la carga es aplicada”.
Principio de superposición:
Fuente: https://www.beunicoos.com/fisica/elasticidad-y-resistencia-de-materiales/vigas-ejercicios-resueltos/viga hiperestatica-con-principio-de-superposicion
Los esfuerzos internos en la sección A-A son iguales en los 3 casos independientemente de la forma como se cuelgue la carga. Fuente. Jorge E. Salazar. pp. 16
Concepto de Esfuerzo y Deformación
Como ya se ha dicho, en el análisis estático, las propiedades mecánicas (relacionado a los materiales) y geométricas (relacionadas a la forma y dimensiones de las secciones) de un cuerpo sólido no son relevantes en cuanto conocer su deformación o rigidez, resistencia o ductilidad.
Pare explicar esto, como ejemplo se tiene un objeto suspendido por un cable. En el análisis estático no hay necesidad de considerar el alargamiento del cable para calcular su esfuerzo. El diagrama de cuerpo libre del cable estará sometido a las mismas fuerzas, ya sea que se considere o no el alargamiento.
Las fuerzas son las mismas (R y W), independientemente que se considere o no el alargamiento δ
No obstante, para avanzar en el proceso de análisis y diseño estructural es necesario considerar las deformaciones que tendrán los elementos y la resistencia de los diferentes tipos de materiales. En este sentido, se hace indispensable entonces proceder a considerar las características de:
RESISTENCIA (oposición a la rotura) y RIGIDEZ (oposición a las deformaciones), que tendrán los diferentes elementos estructurales.
δ
W
R
R
W
En otros palabras, antes de construir una estructura es necesario saber la resistencia que tendrá ésta para satisfacer las exigencias mínimas de seguridad y conocer que las deformaciones que sufrirá no sean excesivas para que cumpla con las condicionantes de funcionalidad y estética .
En resumen, se hace necesario analizar el comportamiento interior de cada uno de los componentes estructurales, así como de la estructura en su conjunto, para conocer si estos son capaces de resistir la acción de los esfuerzos que sobre él actúan, o si dicho esfuerzos provocarán la falla de la pieza o una deformación excesiva.
CONCEPTO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN – continuación -
Tipos de esfuerzo
Para entender el concepto de esfuerzo se va a partir de siguiente caso:
Supongamos una viga en equilibrio estático, sometido a la acción de una fuerza externa P de tracción. Si la viga se corta en 2 secciones, de forma tal que éste quede dividido en dos partes, A y B. Si se aísla la parte A, para mantener el equilibrio de ésta parte, sobre la cara de la sección de corte, aparecerá, la resultante F, igual a la fuerza P, correspondiente a la parte B.
Internamente, esta fuerza resultante que aparece en la cara de la sección de corte, debe ser equilibrada por pequeñas fuerzas (dp) que se desarrollan perpendiculares a superficies parciales (dA) que representan la Fuerza P perpendicular a la superficie S de la cara de la sección de corte de la parte B.
Sobre la cara derecha de la parte B se aplica el mismo criterio si se realiza este análisis para la parte B.
P
P
P
F
Parte A
Parte B
dA
S
dP
Esfuerzo normal o axial
Vídeo: Esfuerzo axial (tracción o compresión). Fuente: Interactive Structures
Ejemplo: Calcular el esfuerzo de un tirante redondo de 24 mm o sometido a una fuerza de tracción de 5ton.
diám= 24 mm
F= 5 ton
1. encontrar el área de la sección
2. Obtener el esfuerzo axial o normal σ
1. Convertir el diámetro de 24 mm a cm; diám= 24 mm(0.10) = 2.4 cm
3. encontrar el área de la sección
2. Convertir la fuerza de 5 ton a kg; F = 5(1000) = 5,000 kg
4. Obtener el esfuerzo axial o normal σ
Tomando el ejemplo anterior, se encontrará el σ en esta unidad
En realidad, el esfuerzo exterior no está concentrado en el punto central de la sección, sino que se reparte por toda la superficie S de la sección. Es por ello que, numéricamente, el esfuerzo axial o normal (representado por σ) en un punto cualquiera del material se define como el cociente entre la fuerza P que actúa en ese punto y la superficie S de la sección sobre la cual actúa. O en otros términos como la carga que actúa por unidad de área del material.
Esfuerzo normal o axial:
b
h
Esfuerzo de Compresión. Cuando en un elemento estructural vertical (columna): Cuando la relación largo / ancho es menor de 10 se dice que la Comprensión es simple, pero si dicha relación excede de 10 se dice que la Compresión es Compuesta, ya que se presentará el fenómeno de Pandeo, produciéndose fatigas superiores a la del Compresión simple.
Si h/b< 10
La compresión es simple
Si h/b > 10
La compresión es compuesta
b
h
Ejemplo:
Una columna de 2mts de altura y de sección cuadrada de 30cm x lado soporta una carga de 25 toneladas, calcular la fatiga máxima (esfuerzo máximo a la compresión) a la que está sometida.
2 m
30 cm
30 cm
25 ton
Solución:
1. Revisar si la columna esta a compresión simple o compuesta:
2. Dado que la compresión es simple se aplica la ecuación de esfuerzo axial, considerando la fuerza a compresión
Ejemplo 3:
Sabiendo que el esfuerzo normal actuante en el tramo AB (cuya sección es de 40x40cm) es de 48 Kpa, calcular el esfuerzo correspondiente en el tramo BC (cuya sección es de 30x30cm)
Diagrama de cuerpo libre: Corte en el bloque B-C y en el bloque A-B
1) Obtención de la fuerza F
2) Aplicando la ecuación de esfuerzo axial y despejando la fuerza F, se tiene:
Se considera que:
σadmisible del muro = 30 Kg/cm2 ; σadmisible del cimiento concreto = 5 Mpa ; σadmisible del suelo = 400 Kpa
20 cm
50 cm
80 cm
10 ton/m
10 ton/m
3 m
a
b
c
d
Esfuerzo axial
2) Determinar el peso máximo W (en Newtons y Kg) que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 150 MPa, y 75 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 300 mm2 para el cable AB y 150 mm2 para el cable AC.
w
B
A
C
Un caso particular de esfuerzo se presenta cuando hay un contacto entre dos superficies que se presionan entre si, como puede ser el caso de una arandela metálica y una superficie de madera.
En este caso puede presentarse un aplastamiento local de una de las superficies debido al esfuerzo de compresión que se denomina "esfuerzo de aplastamiento". Cuando este tipo de situaciones se presenta, será necesario calcular el esfuerzo permisible del material mas susceptible de aplastarse, en este caso la madera para a partir del mismo calcular el área de la arandela que garantice que no se producirá aplastamiento en la madera”. (Salazar , Jorge, pp. 31)
Tipos de esfuerzo
El alargamiento total que sufre la barra se representa con la letra griega δ (Deformación total)
Por tanto, la deformación unitaria será:
Esfuerzo normal vs deformación axial
Sin embargo, para facilitar el estudio de las propiedades de un material, es necesario relacionar cantidades unitarias (esfuerzo y deformación unitaria ) de tal manera que en la ley queden obviadas el área y la longitud de la probeta ensayada y así se puedan depreciar.
Como se ve en os siguientes vídeos de 2 materiales característicos, el concreto y el acero, a medida que aumenta el esfuerzo, la deformación unitaria del material que se está ensayando también se incrementa, al inicio de manera línea (ley de Hooke) y después, de manera variable, pudiendo de esta forma obtenerse las propiedades mecánicas de los materiales a partir de esta Gráfica Esfuerzo-Deformación.
Robert Hooke en su libro “De potentia restitutiva (1679)”, estableció la famosa Ley que relaciona fuerzas y deformaciones. “Con un sencillo dispositivo en el cual aun plato se le van agregando pesos y se van midiendo las deformaciones producidas progresivamente en el resorte encontró una proporcionalidad directa entre los pesos aplicados y las deformaciones”.
A partir de un ensayo en el laboratorio puede graficarse la variación de la Fuerza vs la Deformación total:
Vídeo: Diagrama esfuerzo-deformación del concreto.
Fuente: Interactive Structures
Vídeo: Diagrama esfuerzo-deformación del acero.
Fuente: Interactive Structures
Ley de Hooke – continuación -
Dentro del análisis estructural los materiales interesan analizar son aquellos que después de anular la carga externa sobre el elemento vuelven a su estado original sin sufrir una deformación permanente, estos materiales se dicen que tienen una elasticidad lineal o una deformación lineal elástica con la carga aplicada.
Para estos materiales la deformación unitaria (ε) es directamente proporcional al esfuerzo unitario sin llegar a exceder el límite elástico, de lo contrario el elemento sufriría una deformación permanente y dejarlo de ser un elemento elástico para pasar a ser un elemento plástico.
La Relación de esfuerzo unitario –deformación unitaria sin exceder el límite elástico es lo que se conoce como la ley de Hooke y se obtiene del análisis del diagrama de Esfuerzos – Deformaciones.
Si se analiza el elemento elástico del material acero y se le aplica una determinada carga, ésta se deformará hasta llegar a un punto que se fracture.
Las etapas en las que pasa la deformación del acero es la que se analizará en el Diagrama Esfuerzo - Deformación
Diagrama Esfuerzo Deformación
ε
E
F
UR
R
Ф
σ
o
PP
P
90°
Deformaciones unitarias
P = Límite de Proporcionalidad
E = (Límite Elástico)
F = Límite de Fluencia
UR = Ultima Resistencia
Del Material
R = Fractura / Ruptura
Op = Periodo Elástico
Pp = Periodo Plástico
Interpretación
Cuando se comienza a aplicar la carga al elemento ésta sufre una deformación que es proporcional al esfuerzo aplicado, lo cual da una línea recta en el diagrama.
El límite de Proporcionalidad es precisamente el punto donde acabo dicha recta, o sea donde la ley de Hooke es válido (la deformación es proporcional al esfuerzo). Esto se puede expresar por medio de la Ecuación:
tan(∅)=𝐸
Donde “E” es el Módulo Elástico, propiedad que tiene cada material de ser elástico (de deformarse y regresar a su estado original) dependiendo del esfuerzo y su deformación.
Esfuerzo normal vs deformación axial
Módulo de elasticidad, ductilidad, resistencia
La pendiente inicial de la gráfica nos dice cómo varían las deformaciones unitarias al incrementarse los esfuerzos. Para varios materiales esta primera parte de la gráfica es lineal presentándose por tanto una relación directa entre Esfuerzo y Deformación.
Si escribimos la ecuación de la recta obtendremos la expresión actual de la Ley de Hooke:
Siendo E, la pendiente de la recta. Este valor que es característico de cada material se conoce como el módulo de elasticidad o módulo de Young del material y nos dice que tan rígido es un material.
La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecánicas de los materiales:
- Rigidez: Capacidad de oponerse a las deformaciones
- Resistencia: Capacidad de oponerse a la rotura
- Ductilidad: Capacidad de deformarse antes de romperse.
Cada material tiene un Módulo de Elasticidad diferente el cual difiere cuando el esfuerzo está actuando a tracción o a compresión. Así se tiene, por ejemplo, el Módulo de Elasticidad del Acero (Eac) a tensión (tracción) es de 2’100,000 kg/cm2 (unidades en el sistema métrico decimal * del mod. de elasticidad) y para el concreto a compresión el módulo de elasticidad Ec es de 175,000 kg /cm2.
* Las unidades que se deben utilizar son las internacionales por lo que el E se mide en Pascales. 1 Pa = 1 N/m2 = 1.01972e-5 kg/cm2
En los manuales o libros de estructuras y Resistencia de Materiales existen tablas con los valores de “E” para diferentes materiales.
Rigidez
Resistencia
Zona elástica
Zona inelástica
límite Elástico.- Es el punto máximo donde se puede aplicar el máximo esfuerzo unitario sin que el material sufra una Deformación Permanente o ésta sea muy pequeña.
Límite de Fluencia.- Es el punto en donde el material sufre una considerable Deformación sin que el esfuerzo aumente o incluso disminuya.
Punto de Ultima Resistencia.- Es el punto donde el material presenta su máxima Resistencia al esfuerzo unitario sin sufrir todavía la fractura o colapso total.
Punto de Fractura (F) .- Es cuando el material sufre la ruptura total o colapso total.
Para poder relacionar la ley de Hooke con una deformación total del material, se relaciona las ecuaciones algebraicas del esfuerzo (σ); Deformación unitaria (ε) y por supuesto la ley de Hooke (E).
Como lo que se quiere es conocer la Deformación total (e) ; se despeja de la Fórmula de la Ley de Hooke:
Con esta expresión puede calcularse la deformación conociendo la fuerza F que es igual a la carga que actúa sobre el objeto (nombrada P), la longitud de la barra L, la sección transversal A y el módulo de elasticidad E (en la zona elástica).
Módulos de elasticidad de algunos materiales
Material | GPa | Kg/cm2 | Lb/pulg2 |
Acero | 200 | 2.1 x 106 | 30 x 10* |
Aluminio | 70 | 0.7x106 | 10 x 10* |
Cobre | 110 | 1.2 xlO6 | 17 x 10* |
Concreto | 17-31 | entre 0.18 xlO6 y 0.32 xlO6 | 2.5 x 106-4.5 x 106 |
Madera | nov-14 | 0.11 x 106-0.14x 106 | 1.6 x 106- 2.0 x 106 |
Ejemplo
Encontrar la Posición de la Fuerza de 1 tonelada para que la vida baje horizontalmente y determinar la Deformación de los apoyos de concreto y sus respectivos esfuerzos.
30 cm
30 cm
50 cm
30 cm
5 cm
2 m
F= 1 ton
30 cm
R1
R2
1
2
a
b
1) Para que la vida pueda bajar horizontalmente las deformaciones de los dos apoyos tiene que ser iguales
σ1 = σ2
substituyendo la Ecuación de Deformación total tenemos
analizando cada elemento de las ecuaciones igualadas, se tiene lo siguiente:
50 cm
Despejando b tenemos :
Por medio de las tablas de formulas y diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, se tiene que:
Ahora encontraremos las Deformaciones totales e1, e2
de donde:
Transformando las unidades a kg y cm y substituyendo en la ecuación, se tiene:
Ahora solo resta calcular los esfuerzos de cada apoyo los cuales serán iguales
3. Calcular el alargamiento de cada cable y el desplazamiento vertical del punto C en el cual está aplicada la carga.
Considerar que la barra ACB es rígida (no se flexiona).
TAREA DEL TEMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
No en todas las ocasiones los elementos estructurales son tensionados o comprimidos por las fuerzas externas que actúan sobre ellos. En muchas ocasiones un elemento está tratando de ser cortado.
* Tomado del documento .PDF: RESISTENCIA DE MATERIALES BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA. Autor. JORGE EDUARDO SALAZAR TRUJILLO
Las flechas pequeñas muestran cómo se desarrolla el esfuerzo cortante cuando el bloque de conexión está sujeto a carga
P
P
P
P
Área de deslizamiento
P
P
En las imágenes mostradas abajo, las dos placas sometidas a tracción están intentando ser cortadas a lo largo del área transversal que las une, la cual es paralela a la fuerza P que está siendo aplicada. En este sentido el esfuerzo cortante que se genera, entonces es la fuerza P aplicada a un cuerpo, paralela al área transversal a la fuerza axial aplicada.
Pernos sometidos a corte. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, Campus La Nubia, 2004
ESFUERZOS CORTANTES SIMPLES *
Se define el Esfuerzo cortante o de cizalladura como:
Las unidades son las mismas del esfuerzo normal:
Al producirse una distorsión como la que se ve en la figura, la deformación está dada por la variación angular que sufre el elemento al ser deformado por el esfuerzo cortante.
Deformaciones por cortante
=
ɣ
V
ɣ
τ
τ
τ
τ
Elemento interno ampliado
Vídeos que muestra la deformación horizontal en una viga producida por el esfuerzo cortante. Fuente: Interactive Structures
En el rango elástico lineal del material se encuentra una relación directa entre los esfuerzos cortantes y las deformaciones angulares sufridas por el elemento.
Ley de hooke para el cortante
Siendo G el módulo cortante o de rigidez del material
Ley de hooke para el cortante es muy parecido con respecto al esfuerzo axial con la diferencia, que ya sea comentado, de que el esfuerzo cortante se presenta en la sección transversal del objeto, paralela a la línea de acción de la fuerza. El diagrama de esfuerzo – deformación por cortante la l´línea diagonal muestra que el cuerpo se encuentra en el periodo elástico lineal
Diagrama esfuerzo – deformación a cortante
Diagrama esfuerzo – deformación axial
Módulos de elasticidad de algunos materiales
Esfuerzo cortante doble
En este caso, el corte se resiste a través de 2 áreas.
Por lo tanto:
Cortante presentado en un apoyo articulado interior
Cortante presentado en 3 placas donde se presenta una doble área transversal
A1
A2
Ejemplo
Encontrar el esfuerzo a cortante doble en el apoyo articulado de acero mostrado en la imagen de arriba, suponiendo que la columna soporta una carga de 5 ton. Y la sección y dimensiones de las caras transversal del apoyo es la mostrada en la siguiente figura.
Obteniendo el ‘área trasversal con una herramienta CAD, se tiene que esta es:
Cotas en cm
A=10.603 cm2
Como es un esfuerzo cortante doble, entonces este actúa sobre las 2 caras transversales internas del apoyo. El área transversal, entonces se multiplica por 2
Atotal =2(10.603 cm2) = 21.386 cm2
El esfuerzo de cortante doble es:
ɛt
ɛt
ɛl
σ
σ
Relación de Poisson
Cuando a un elemento se le produce un alargamiento en una dirección dada, automáticamente se genera un acortamiento en la dirección perpendicular o viceversa. Deducida por el francés Simeon Denis Poisson (1781-1840) quien encontró que la relación entre la deformación unitaria transversal y la longitudinal era constante para cada material, denominándose por tanto esta constante, Relación de Poisson.
El signo menos indica que a un alargamiento en un sentido corresponde un acortamiento en el otro y viceversa.
Valores de la relación de Poisson para diferentes materiales
Problema: Calcular la carga admisible que se puede aplicar a un cilindro de concreto de 8cm de diámetro para que no sufra una expansión lateral mayor de 0.002cm.
El módulo de elasticidad del concreto es de 20GPa y su relación de Poisson es igual a 0.15
Deformación
La deformación se puede definir como el cambio de forma que sufre un elemento debido a la acción externa de una Fuerza llamada carga o debido al cambio físico del cuerpo o cambio de temperatura (dilatación del elemento estructural)
et = Deformación Transversal
el = Deformación longitudinal
Sí se analiza la figura anterior, se observa que, además del desplazamiento longitudinal, también se presenta una deformación transversal, en este caso de acortamiento. De esto se obtiene que “todo elemento que sufre una deformación a lo largo de un objeto, tendrá como consecuencia una deformación transversal, en su lado corto, ya sea de alargamiento o de acortamiento” A esto es lo que llamamos Relación de Poisson (u)
u = relación de poisson
εt = Deformación unitaria transversal
εl = Deformación unitaria longitudinal
Por ejemplo, para el acero esta relación es aproximadamente de 0.25
Deformación unitaria (ε).- Esta se define como la deformación total que sufre el material elástico por unidad de longitud:
ε= Deformación unitaria
e= Deformación total, también se aplica la letra δ
l = Longitud
Fc
Fc
el
et
Fc
Fc
et (sentido y)
et
et (sentido x)
Fc
Fc
el
et
et (sentido y)
et (sentido x)
=
Promema 2.
Encontrar la deformación total (e), el esfuerzo axial (σ) y la variación de volumen de la siguiente barra de acero (E=2’100,000 kg/cm2) de 10 m de longitud, considerando una fuerza (F) a tracción de 10 ton, un área (A) de la Barra de 10 cm2 y una relación de poisson (u) de 0.25.
Solución:
Primero se encontrarán las deformaciones unitarias (εl y εt) ya que se está considerando la relación de Poisson
F ˔ A
Substituyendo el valor de εl en la ecuación de Poisson y despejando εt
F=10 ton
F= 10 ton
3.16 cm
3.16 cm
L=10m
Ahora, éste valor de εt se substituye en la ecuación de deformación unitaria transversal (εt), para, así obtener el valor de la deformación total transversal (et), considerando que como se esta analizando la sección transversal, la longitud en este caso es la dimensión de la base (b) que es igual a 4 cm (ver croquis).
Al aplicarse una fuerza de tracción, la barra de acero sufrirá un alargamiento por la tracción ejercida, por lo que la longitud final es:
En la sección transversal, sucede lo contrario ya que el alargamiento de una sección ocasiona el acortamiento en la otra sección y viceversa. En este caso la longitud final transversal b’ es:
La variación de volumen, que en este caso es un aumento de volumen estará dada por la diferencia entre el volumen final y el volumen inicial, después de la deformación de la barra.
a
4 cm
L=10m
L1
et
a’
4 cm
el
a’
b
b’
Bibliografía
Shahin Vassigh, Associate Professor (Author and Producer). Iteractive structures. Department of Architecture, University at Buffalo, The State University of New York.
Daniel Moisset de Espanés. Intuición y razonamiento en el diseño estructural. Escala Editores, Colombia. 1992.
Salazar Trujillo, Jorge Eduardo. Resistencia de materiales básica para estudiantes de ingeniería. Universidad Nacional De Colombia. 2007.
Bernal , Jorge R. Estructuras – Concreto armado -. Introducción. Nobuko. Buenos Aires. 2005.
Cisternas, Alicia Claudia., Pedro, Beatriz Helena. Conceptos básicos de estructuras resistentes. Nobuko. Buenos Aires. 2016.
Diez , Gloria. Diseño Estructural en Arquitectura. Introducción. Nobuko. Buenos Aires. 2005.