Розв’язування задач і вправ.

Двадцять четверте жовтня. Класна робота.

Означення піраміди

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника (основи піраміди), точки, що не лежить у площині цього многокутника (вершини піраміди) та усіх відрізків, що сполучають цю точку з точками многокутника.

Пірамідою називається многогранник, одна грань якого – довільний многокутник (основа), а всі інші – трикутники із спільною вершиною (бічні грані). Спільна вершина бічних граней – це і вершина піраміди.

Елементи піраміди

A

B

C

D

P

В основі – довільний многокутник

Висота піраміди – перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Бічне ребро

Вершина піраміди

Висота бічної грані – апофема

Кожна бічна грань – трикутник

Піраміди

Правильні

Неправильні

Правильною називається піраміда,

в основі якої лежить правильний многокутник, а її вершина проектується в центр цього многокутника ( центр вписаного і описаного кола).

Апофемою правильної піраміди називають висоту бічної грані, проведену з вершини піраміди.

Усі апофеми правильної піраміди рівні.

Усі бічні ребра правильної піраміди рівні, усі бічні грані правильної піраміди — рівні рівнобедрені трикутники.

Правильну трикутну піраміду, у якої всі грані рівні, називають правильним тетраедром.

М

Т

1. Якщо бічні ребра піраміди рівні або бічні ребра утворюють рівні кути з площиною основи, то проекцією вершини піраміди на площину основи є центр описаного кола многокутника, який є основою піраміди.
2. Якщо всі двогранні кути опуклої піраміди при ребрах основи рівні, то проекцією вершини піраміди на площину основи є центр вписаного кола многокутника, який є основою піраміди.
3. Якщо кожний із двогранних кутів опуклої піраміди при ребрах основи дорівнює a, то площу бічної поверхні піраміди Sб можна обчислити за формулою

Основні формули для піраміди

Площа бічної поверхні:

Площа повної поверхні:

Об’єм:

Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать в паралельних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників.

А

В

С

D

D₁

C₁

B₁

A₁

О

□ABCD і □A₁B₁C₁D₁ – основи призми;

AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ – бічні ребра;

АС, BD – діагоналі основи;

DC₁ – діагональ бічної грані;

B₁ D – діагональ призми;

AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ – висоти;

□D₁DCC₁, □A₁ADD₁ – бічні грані;

Елементи призми

AB, BC, CD, AD – ребра основи;

Трикутна призма

Шестикутна призма

Чотирикутна призма

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. Бічні грані – прямокутники.

Висота прямої призми дорівнює її бічному ребру.

Якщо призма правильна, то:

● Всі її бічні грані є однаковими прямокутниками.

● Її основами є правильні многокутники;

● Вона пряма;

Правильною називається пряма призма, в основах якої лежать правильні многокутники.

Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом.

Похилий паралелепіпед

Прямий паралелепіпед

Протилежні грані паралелепіпеда

паралельні і рівні.

Теорема:

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник називається прямокутним паралелепіпедом.

Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірами).

довжина

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі грані – однакові квадрати, називається кубом.

Куб – це один із видів правильної призми і правильного многогранника.

А

В

С

D

A₁

B₁

C₁

D₁

Основні формули для призми

Площа бічної поверхні:

Площа повної поверхні:

Об’єм:

Основні формули для куба

Площа бічної поверхні:

Площа повної поверхні:

Об’єм:

Прямокутний трикутник

1. Починаємо з властивості кута = 30°

2. Теорема Піфагора

Сума квадратів катетів = квадрату гіпотенузи

3. Тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс , котангенс

4.

5.

Різносторонній або довільний трикутник

1. Починаємо з теореми косинусів

2. Теорема синусів

3. Метод площ

4 Властивість бісектриси

5. Властивість медіан.

Якщо в задачі дано радіус вписаного кола

2. Формула площ

S=pr

�Готуємося до контрольної роботи з теми