Вокруг равнобедренного треугольника
САБУРОВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА, УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МАОУ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ ГИМНАЗИЯ Г. НИЖНИЙ ТАГИЛ СВЕРДЛОВСКАЯ ОБЛ.
Задача 1 ��(Рязановский А.Р., Фролова О.В. дидактические материалы к учебнику И.Ф. Шарыгина «Геометрия 7-9») �� Дан остроугольный треугольник АВС. Через середину стороны АВ проведены прямые перпендикулярно биссектрисам углов А и В, пересекающие стороны АС и ВС в точках К и М соответственно. � Докажите, что АК = ВМ. �
Задача 2 ��(С. Берлов, олимпиада Санкт-Петербурга, 1997г.) � �KLMN – выпуклый четырехугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL. � Докажите, что в данном четырехугольнике равны диагонали.���
Задача 3 �� На стороне CD прямоугольника ABCD взяли точку E. Когда точку C отразили симметрично относительно отрезка BE, она попала на среднюю линию прямоугольника, параллельную стороне AB. � � Найдите угол BED.�
Задача 4�� На биссектрисе CD треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что AC + AK = CB. � Докажите, что ∠CAK = 2∠CBK.��
Задача 5 �� (Уральский турнир юных математиков, 2011г.) � �В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠B = ∠C = 120°, а BC + CD = AB. �Докажите, что AC = AD. ��
Задача 6 ��(Устная городская олимпиада. Москва 2017г.)�� Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделенной на три равные части. �� Докажите, что закрашенный треугольник — равносторонний.��� �
Задача 7� �(П. Кожевников, финал 3 олимпиады Эйлера) �� Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что AB || CD, BC || AD, AC || DE, CE ⊥ BC. Докажите, что EC — биссектриса угла BED. � �
Задача 8 �� (Уральский турнир юных математиков. 2022г.)� � В четырёхугольнике ABCD стороны BC и AD параллельны, а диагонали пересекаются в точке O. Известно, что CD = AO, BC = OD и CA – биссектриса угла BCD. � Найдите величину угла ABC.��
Задача 9 �� (Уральский турнир юных математиков, 2011г.)�� Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, такой, что AE = BC, AC = DE, AB+AC = CD и ∠ABC+∠CAE = 180°. � Докажите, что ∠BAC = ∠CDE. �
Задача 10 �� (Устная олимпиада. М. Волчкевич, 2021г.) �� На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и F соответственно так, что AEF – равносторонний треугольник. Точка M – середина отрезка AE. � Докажите, что CM = AB. �
Задача 11�� (Уральский турнир юных математиков. 2022г.) � � В треугольнике ABC сторона BC больше стороны AB. Отрезки BH и BL – высота и биссектриса соответственно. Оказалось, что 2HL + LC = BC. � Во сколько раз угол A треугольника ABC больше угла C? �
Задача 12 �� (Л. Емельянов, финал 4 олимпиады Эйлера) �� На стороне BC треугольника ABC взята точка D таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку AD проходит через центр вписанной в треугольник ABC окружности. �� Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника ABC.
Задача 13 �� (Архимед, задача 1000 из задачника журнала «Квант») �� В дугу АВ вписана ломаная АМВ из двух отрезков (АМ>МВ). �� Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги АМВ на отрезок АМ, делит ломаную пополам.
Задача 14 �� (М. Кунгожин + жюри) �� На стороне AB треугольника ABC с углом в 100° при вершине C взяты точки P и Q такие, что AP = BC и BQ = AC. Пусть M, N, K — середины отрезков AB, CP, CQ соответственно. �� Найдите угол NMK.
Задача 15 �� Точка M — середина стороны BC выпуклого четырехугольника ABCD, в котором AC = BD = AD. Оказалось, что угол AMD — прямой. �� Чему может быть равен угол между диагоналями четырехугольника ABCD? �