KOPPÁNYI ANIKÓ�KOVÁCS PÁL BAPTISTA GIMNÁZIUM

9. osztály- I. témakör: Kombinatorika, gráfok, halmazok

I. KOMBINATORIKA

• Kombinatorika= Hányféleképpen?
• A matematika azon elméleti területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával vagy sorrendbe rakásával foglalkozik.
• Lehet ismétléses és ismétlés nélküli is

​

1) PERMUTÁCIÓ�

a) Ismétlés nélküli permutáció:

-n darab különböző elem egy lehetséges sorrendjét az n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.

- n faktoriális alatt értjük a pozitív egész számok 1-től n-ig terjedő szorzatát.

A 0 és az 1 faktoriálist 1-nek értelmezzük. 0! = 1, 1! = 1 Jele: n!

Tétel: n darab elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma:

P= n *(n -1)* (n - 2) ... 3*2 *1 = n!

​

PERMUTÁCIÓ

b) Ismétléses permutáció: n elem egy lehetséges sorrendje, ahol az elemek között lehetnek egyformák is, k1, k2, …egyforma van

​

​

​

PERMUTÁCIÓ

c) Ciklikus permutáció

n különböző elemet kell az összes lehetséges módon körberendezni egy kör mentén

​

2. VARIÁCIÓ

a) Ismétlés nélküli variáció:

n különböző elemből kiválasztunk k-darabot (n≥k) és azokat az elemeket sorba rendezzük. n, k Є Z

​

​

​

​

b) Ismétléses variáció:

n darab elemből kiválasztunk k darabot, (n≥k) egy elemet többször is választhatunk. A kiválasztás sorrendje számít!

3. KOMBINÁCIÓ

1. Ismétlés nélküli kombináció

n különböző elemből kiválasztunk k db-ot, a sorrend nem számít, n≥k

�

II. GRÁFOK

• Gráfelmélet:

A gráf pontokból (csúcsokból) és élekből álló halmaz, ahol az élek csúcsokat kötnek össze.

​

• Gráfok megadása:
• síkbeli ábrával
• szomszédsági mátrixszal
• felsorolással

​

GRÁF- DEFINÍCIÓK

​

• hurokél: olyan él, melynek kezdő és végpontja azonos
• többszörös él: ha két csúcs közt egynél több él vezet
• izolált csúcs: olyan csúcs, melyből nem indul él
•  egyszerű gráf: olyan gráf, mely nem tartalmaz hurokélt es többszörös élt sem.
• irányított gráf: olyan gráf, melyben különbséget teszünk az élek kezdő- illetve végpontjai közt, nyíllal jelöljük az irányt
• csúcs fokszáma: a belőle kiinduló élek száma

Tétel: 1. Bármely (véges) gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának kétszerese

2. Minden (véges) gráfban a páratlan fokú csúcsok száma mindig páros.

​

III. HALMAZOK

• Halmazok: egyértelműen eldönthető
• Jelölés: U, H, A, B halmaz
• Eleme: aЄA nem eleme: áthúzva a¢A
• Megadása: felsorolás, közös tulajdonság, képlet
• Ábrázolás: Venn-diagramm, számegyenes, koordináta-rendszer

FOGALMAK:

• Üres halmaz: -nincs eleme
• Részhalmaz: H halmaznak részhalmaza az A halmaz, ha H tartalmazza A minden elemét

A ⊆ B.

• Valódi részhalmaz: részhalmaz, de nem egyenlő vele A ⊂ B
• Halmaz elemszáma: |A| -halmaz elemeinek a száma

HALMAZ-MŰVELETEK

​

​

​

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT09TA_I__teljes.pdf

SZÁMHALMAZOK

• Valós számok: R
• Racionális számok: Q
• Egész számok: Z
• Természetes számok: N

​

​

​

forrása:https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT09TA_I__teljes.pdf

SZITA-FORMULA

• Két halmazra:

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣

• Három halmazra: �∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣�

INTERVALLUMOK:

• Nyílt: ]0; 4[ 0 ˂ x ˂ 4

​

• Zárt: [–3; 3] -3 ≤ x ≤ 3

​

• Félig nyílt-félig zárt: ]-5; 2] -5 ˂ x ≤ 2

​