Bab 2 Barisan dan Deret

Tujuan Pembelajaran

1. Menentukan beda dan suku ke-n barisan aritmetika.
2. Menentukan rasio dan suku ke-n barisan geometri.
3. Menentukan jumlah suku ke-n deret aritmetika.
4. Menentukan jumlah suku ke-n deret geometri.
5. Menentukan jumlah suku deret geometri tak hingga.
6. Menyelesaikan permasalahan terkait barisan dan deret bilangan.�

A. Barisan Bilangan

1. Barisan Aritmetika

2. Barisan Geometri

Materi Pokok

.

A. Barisan Bilangan

B. Deret Bilangan

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika selalu sama. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda barisan. Beda barisan aritmetika dirumuskan sebagai berikut.

​

​

Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan sebagai berikut.

​

​

b = U_n – U_{n – 1}

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan:

b = beda barisan aritmetika

U_n = suku ke-n

U_{n – 1} = suku ke-(n – 1)

a = suku pertama

Contoh Soal

Diketahui suku pertama dan suku keenam dari barisan aritmetika berturut-turut 7 dan 22. Tentukan beda dan suku ke-20 barisan aritmetika tersebut.

Jawaban:

Diketahui U₁ = a = 7 dan U₆ = 22

U₆ = a + (6 – 1)b

⇔ 22 = 7 + (6 – 1)b

⇔ 22 = 7 + 5b

⇔ 5b = 15

⇔ b = 3

Suku ke-20:

U₂₀ = a + (n – 1) b

= 7 + (20 – 1) × 3 � = 7 + 19 × 3

= 7 + 57

= 64

Jadi, beda barisan tersebut 3 dan suku ke-20 barisan tersebut 64.

1. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 11 dan suku ke-10 adalah 67. Tentukan beda dan suku ke-25 barisan tersebut.
2. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui keliling segitiga 84 cm dan panjang sisi terpanjangnya 35 cm, tentukan panjang kedua sisi yang lainnya.
3. Setiap bulan sekali Nadia rutin menabung di bank. Pada bulan pertama ia menabung sebesar Rp200.000,00. Bulan-bulan berikutnya, uang yang ia tabung tetap, yaitu sebesar Rp100.000,00. Berapa rupiah jumlah tabungan Nadia pada bulan ke-9?
4. Pada sebuah gedung pertunjukan, baris pertama terdiri atas 24 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 4 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Jika gedung tersebut memiliki 18 baris, maka jumlah kursi pada baris terakhir adalah ....
5. Seorang pegawai menerima gaji pertama sebesar Rp3.000.000,00 per bulan. Setiap tahun gajinya naik tetap sebesar Rp250.000,00. Besar gaji yang diterima pada bulan ke-8 adalah ....

​

Latihan

2. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu sama. Rasio barisan geometri dirumuskan sebagai berikut.

​

​

​

Suku ke-n barisan geometri dirumuskan sebagai berikut.

​

U_n = ar^{n – 1}

Keterangan:

r = rasio barisan geometri

U_n = suku ke-n

U_{n – 1} = suku ke-(n – 1 )

a = suku pertama

Contoh Soal

Latihan

1. Tentukan rasio dan suku ke-7 barisan bilangan berikut.

​

​

2. Selembar karton dipotong menjadi tiga bagian, lalu setiap bagian dipotong lagi menjadi tiga bagian, begitu seterusnya. Tentukan banyak potongan karton pada potongan ketujuh.
3. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 dan suku ke-6 berturut-turut 24 dan 6.144. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut.
4. Seorang pedagang menabung keuntungan usahanya. Pada bulan pertama ia menabung Rp500.000,00. Setiap bulan jumlah tabungannya menjadi 3 kali tabungan bulan sebelumnya. Besar tabungan yang disetorkan pada bulan ke-6 adalah ....

B. Deret Bilangan

1. Deret Aritmetika

2. Deret Geometri

3. Deret Geometri Tak Hingga

1. Deret Aritmetika

Jika suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan maka diperoleh deret aritmetika. Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dirumuskan sebagai berikut.

atau

​

Keterangan:

S_n = jumlah n suku pertama

U₁ = a = suku pertama

U_n = suku ke-n

b = beda deret aritmetika

S_n = (2a + (n – 1)b)

S_n = (U₁ + U_n)

Latihan

1. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan dengan S_n = n² + 3n. Tentukan suku ke-20 deret tersebut.
2. Tempat duduk suatu gedung pertunjukan diatur sedemikian hingga baris paling depan terdapat 20 kursi. Baris di belakangnya terdapat 2 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam gedung tersebut terdapat 12 baris kursi, tentukan banyak kursi di gedung tersebut.
3. Pada bulan pertama, sebuat perusaan memproduksi 100 unit barang. Setiap bulan berikutnya, produksi selalu bertambah 20 unit. Berapa total produksi barang selama 12 bulan?

Sebuah perusahaan menghasilkan 240 unit barang pada bulan pertama. Setiap bulan produksi meningkat 15 unit. Produksi berlangsung selama 12 bulan.

Sebuah perusahaan memberikan bonus kepada karyawannya setiap bulan. Pada bulan pertama bonus yang diberikan sebesar Rp250.000. Setiap bulan bonus bertambah dengan jumlah yang sama. Jika bonus pada bulan ke-10 adalah Rp700.000,

Tentukan jumlah seluruh bonus yang diterima seorang karyawan selama 10 bulan pertama.

2. Deret Geometri

Deret geometri disebut juga deret ukur. Jika suku-suku suatu barisan geometri dijumlahkan maka diperoleh deret geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan sebagai berikut.

dan

Keterangan:

S_n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio deret geometri

S_n = , untuk r < 1

S_n = , untuk r > 1

Contoh Soal

Diketahui deret geometri dengan suku ketiga 9 dan rasio 3. Tentukan jumlah 9 suku pertama deret tersebut.

Jawaban:

Diketahui deret geometri dengan U₃ = 9 dan r = 3.�U₃ = ar^{3 – 1}

⇔ 9 = ar²�⇔ 9 = a × 3²�⇔ 9 = 9a

⇔ a = 1

Jumlah 9 suku pertama deret geometri:

​

S₉ = = = = 9.841

​

Jadi, jumlah 9 suku pertama deret geometri tersebut 9.841.

Latihan

1. Diketahui deret geometri 1 – 3 + 9 – 27 + . . . + 6.561. Tentukan:
1. banyak suku deret tersebut;
2. jumlah semua suku deret tersebut.

2.

​

3.

3. Deret Geometri Tak Hingga

Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan sedemikian hingga ditulis:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + · · ·

maka akan terbentuk deret geometri tak hingga.

Jika rasio (r) deret geometri tak hingga adalah r < –1 atau r > 1, maka deret geometri tak hingga dikatakan divergen (jumlahnya tidak terbatas).

Jika –1 < r < 1, maka deret geometri tak hingga dikatakan konvergen (mempunyai jumlah terbatas). Jumlah deret geometri tak hingga konvergen dirumuskan seperti berikut.

​

​

S_∞ =

S_genap =

S_ganjil =

r =

Rumus jumlah suku-suku genap dan suku-suku ganjil deret geometri tak hingga:

Latihan

1. Suatu deret geometri tak hingga memiliki suku pertama 5 dan rasio . Hitunglah jumlah deret tersebut.

2. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 16. Jika rasio deret tersebut , tentukan suku pertama deret tersebut.

3. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 8 m. Bola tersebut memantul kembali dengan tinggi dari ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola berhenti.

TERIMA KASIH