1

16.07.2026

ZOR MODELİ

[Bu yeni yaklaşım Composite Structrures (Elsevier) dergisinde bir makale olarak yayınlanmıştır.]

( DOI: 10.1016/j.compstruct.2025.120025 )

Tabakalı Yapılar İçin Yeni Bir Eşdeğer Hacim Yaklaşımı

9.4

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2

16.07.2026

1. Tabakalı yapılar için yeni bir homojenizasyon yaklaşımı olan Zor Modeli (veya Zor Yaklaşımı) , Voigt ve CLT yaklaşımlarında olduğu gibi tabakalar arasında tam yapışma olduğunu kabul eder.
2. Tabakalar herhangi bir yükleme altında hiçbir yönde birbirlerinden bağımsız olarak şekil değiştiremezler.
3. Model, tüm yapının makro seviyedeki eşdeğer ve bütüncül davranışını temsil etmeyi hedefler.
4. Bir tabaka x-y global eksenlerine göre genel durumda monoklinik karakterde olabilir.
5. Karşılıklılık koşulu, bir başlangıç denklemi olarak alınmaz; statik denge ve Hooke kanunlarıyla elde edilen eşdeğer özelliklerin doğal sonucu olarak sağlanır.
6. Sonuç denklemleri ise simetrik, asimetrik tüm dizilimler için geçerlidir.

9.4.1 Zor Modelinin Temel Özellikleri:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

3

16.07.2026

Bu 1. durum ve 9.4.1 denklemi Voigt yaklaşımında doğrudan kabul edilmektedir. Reuss yaklaşımında eş gerilme (iso-strress) kabulü yapıldığından gerinimler genel olarak farklıdır. CLT yaklaşımında ise simetrik dizilimlerde geçerli olmasına rağmen, asimetrik dizilimlerde farklı sonuçlar elde edilebilmektedir.

(9.4.1)

9.4.2 Zor Modelinde Tam Yapışmanın Sonuçları: Tam yapışma, tabakalar arasındaki ortak noktaların yükleme sonrasında da birlikte hareket etmesi ve ara yüzeylerde herhangi bir ayrılma oluşmaması sonuçlarını da birlikte getirir. Tam yapışma sebebiyle aşağıdaki 3 durum ortaya çıkar ve bunlar Zor modelinin çıkış denklemlerini oluşturur.

Şekil 9.9

Tam yapışmanın yorumlanması açısından yaklaşımların karşılaştırılması 9.4.9.4 konusunda ayrıca yapılmıştır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

4

16.07.2026

Tabakalar arasındaki yanal etkileşimleri ifade eden bu 2. durum Zor modelin özgün bir kabulü olup , Voigt, Reuss ve CLT yaklaşımlarının hiçbirisinde bulunmamaktadır.

(9.4.2)

Şekil 9.10

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

5

16.07.2026

9.4.2.3) 3. Durum: Tabaka düzleminin dikdörtgen kalması

x yönünde çeki yüklemesi yapıldığını düşünüyoruz. Yüklemeden önce dikdörtgen olan tabaka düzlemi yüklemeden sonra da dikdörtgen kalmaya devam eder. Bir başka ifadeyle, birbirine dik çizgiler çeki yüklemesi sonrası dik kalmaya devam eder. Bu durumda tabakalarda ve tüm yapıda bir şekil değiştirme açısı oluşmaz.

• Bu 3. durum Voigt ve Reuss yaklaşımlarında bulunmaz; CLT yaklaşımında sadece simetrik dizilimlerde geçerlidir; Zor yaklaşımında (modelinde) ise simetrik ve asimetrik tüm dizilimleri için kullanılmaktadır.

Not: Zor modelinin temelini oluşturan bu üç durum, x-y düzleminde tek veya her iki yönde, çeki veya bası durumları için aynen geçerlidir.

CLT yaklaşımında asimetrik dizilimler farklı sonuçlar verebildiğinden, bu sonucun ilk bakışta beklenmedik olduğu düşünülebilir. Ancak Zor modelinin, eşdeğer hacmin makro davranışını esas aldığı ve CLT den farklı bir yaklaşım olduğu unutulmamalıdır.

(9.4.3)

Şekil 9.11

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

6

16.07.2026

9.4.3 Zor Modelinde Statik Kuvvet Dengesi: Tabakalı yapıya F_x çeki kuvveti uyguluyoruz ve ortaya çıkan kuvvetleri inceliyoruz.

• Tüm yapıya y yönünde herhangi bir dış kuvvet uygulanmadığı için : F_y= 0

Statik dengeden

(9.4.4)

(9.4.5)

9.4.4 denklemi Voigt ve CLT yaklaşımlarında da mevcuttur. 9.4.5 denklemi ise Zor Modelinin özgün bir denklemdir.

Şekil 9.12.a

Şekil 9.12.b

Şekil 9.12.c

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

7

16.07.2026

9.4.4 Zor Modelinde Gerilme Dağılımı: Tabakalı yapıya F_x çeki kuvveti uygulandığında oluşan normal gerilmeleri inceleyeceğiz.

9.4.4 ve 9.4.5 kuvvet denklemlerini gerilmeler cinsinden ifade edersek

(9.4.4)

(9.4.6)

(9.4.5)

(9.4.7)

9.4.6 denklemi Voigt ve CLT yaklaşımlarında da mevcuttur. 9.4.7 denklemi ise Zor Modelinde ortaya çıkan özgün bir sonuçtur.

Şekil 9.13.a

Şekil 9.13.b

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8

16.07.2026

9.4.5 Zor Modelinde Hooke Bağıntılarının Uygulanması

(9.4.8)

(9.4.9)

9.4.5.2) Eşdeğer Hacim İçin: Monoklinik tabakalardan oluşan bir yapının eşdeğer hacmi de monoklinik karekter gösterir. Bu durumda eşdeğer hacim için Hooke bağıntıları benzer formda alttaki gibi yazılır:

(9.4.10)

(9.4.11)

Sürekli fiber takviyeli tabakalar, 1-2 lokal eksenlerine göre ortotropik; x-y eksenlerine göre monoklinik karekter gösterir.

Şekil 9.14

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

9

16.07.2026

9.4.6) Zor Eşdeğer Özelliklerinin Hesaplanması

Zor modelinde şimdiye kadar elde edilen denklemlerden yararlanılarak, en genelde global x-y eksenlerine göre monoklinik karakter gösteren tabakalardan oluşan simetrik veya asimetrik dizilimli yapıların mekanik davranışını temsil eden eşdeğer hacmin elastik özellikleri sırasıyla hesaplanacaktır. Zor modelinde hesaplama sırası önemlidir ve aşağıdaki sırayla yapılmalıdır.

(9.4.8) ve (9.4.10) denklemlerini (9.4.1) denkleminde yerine koyarsak:

(9.4.12)

(9.4.9) ve (9.4.11) denklemlerini (9.4.2) denkleminde yerine koyarsak:

(9.4.13)

(9.4.12) ve (9.4.13) denklemlerinden, i tabakasındaki normal gerilmeleri hesaplarsak:

(9.4.14)

(9.4.15)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10

16.07.2026

(9.4.15) denklemini (9.4.7) denkleminde yerine koyarsak:

(9.4.16)

(9.4.17)

(9.4.17) denkleminden:

9.4.18 denklemini katsayılar cinsinden yazalım:

(9.4.19)

(9.4.18)

(9.4.22)

(9.4.20)

(9.4.18) denkleminde poisson etkisini daha net görebilmek için her tabakaya özel katsayılar tanımlayacağız:

(9.4.21)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

11

16.07.2026

(9.4.14) denklemini (9.4.6) denkleminde yerine koyarsak:

(9.4.23)

(9.4.24)

(9.4.25)

(9.4.26)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

12

16.07.2026

..>>

Şekil 9.15

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

13

16.07.2026

(9.4.26)

(9.4.27)

(9.4.28)

(9.4.29)

(9.4.30)

(9.4.31)

(9.4.32)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

14

16.07.2026

(9.4.33)

Sonuç olarak;

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

15

16.07.2026

9.4.7) Zor Modelinde Karşılılık Koşulunun Doğal Olarak Sağlanması

Öncelikle a,b,c ve d olmak üzere 4 farklı değişken tanımlıyoruz:

(9.4.34.a)

(9.4.34.b)

(9.4.34.c)

(9.4.34.d)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

16

16.07.2026

Zor modelinin sonuç denklemlerini bu değişkenler cinsinden ifade edelim:

Denk.(9.4.18):

Denk.(9.4.26):

Denk.(9.4.24)’ün açılımı :

Denk.(9.4.30)’ün açılımı :

(9.4.35)

(9.4.36)

(9.4.37.a)

(9.4.37.b)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

17

16.07.2026

Her bir i tabakası için karşılılık sağlandığını biliyoruz:

Bu durumda a terimini tekrar yazarsak, c terimine eşit olduğunu görürüz:

Tüm yapı (eşdeğer hacim) için karşılılık terimlerini değişkenler cinsinden ifade edelim:

veya

(9.4.38)

(9.4.39)

(9.4.40)

(9.4.41)

(9.4.42)

9.4.42 denklemi Zor modelinde eşdeğer hacim için karşılılık koşulunun sağlandığını gösterir.

9.4.40 ve 9.4.41 denklemleri eşit çıkmıştır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

18

16.07.2026

Genel anizotropik karekter gösteren elastik bir malzeme için, gerilme – gerinim ilişkilerini veren Hooke bağıntıları, [S] gevşeklik (complience) matrisi cinsinden aşağıdaki şekilde yazılır:

Zor modelinde gerilme-gerinim ilişkilerini veren genel rijitlik matrisini bu bölümde elde edeceğiz.

(9.4.44)

• Bu durumda (9.4.43) nolu matris denkleminin üçüncü satırı:

(9.4.43)

• eşdeğer hacimde (makro düzeyde) gerilme durumu:

• Denklem (9.4.3)’den kayma şekil değiştirme açısı :

• 9.4.44 denkleminin zorunlu sonucu olarak:

(9.4.45)

(9.4.3)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

19

16.07.2026

Benzer Şekilde

(9.4.46)

• Bu durumda (9.4.43) nolu matris denkleminin üçüncü satırı:

• eşdeğer hacimde makro düzeyde gerilme durumu:

• Denklem (9.4.3)’ bu yükleme durumunda da geçerlidir:

• 9.4.46 denkleminin zorunlu sonucu olarak:

(9.4.47)

(9.4.3)

Böylece Zor modeli için eşdeğer gevşeklik (compliance) matrisi ortotropik formda ortaya çıkmaktadır:

(9.4.48)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

20

16.07.2026

Eşdeğer rijitlik matrisi, gevşeklik (compliance) matrisinin tersinin alınmasıyla elde edilir ve yine ortotropik formu alır:

(9.4.49)

Ortotropik bir malzeme için düzlem gerilme durumundaki rijitlik matrisinin terimlerinin mühendislik sabitleri cinsinden nasıl yazılabileceği literatürde belirtilmiştir. Buradan hareketle Zor modelinin eşdeğer rijitlik matrisi, şu şekilde ifade edilebilir:

(9.4.50)

Görüldüğü gibi, Zor Modeli global eksenlerde en genelde monoklinik tabakalardan oluşan bir yapının, ortotropik bir eşdeğer hacimle temsil edilmesine olanak sağlamaktadır. Bu durum diğer mekanik hesaplamaları çok daha kolay seviyeye taşımaktadır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

21

16.07.2026

Örnek 9.1

Her birisi 8mm kalınlıkta olan sürekli fiber takviyeli üç tabaka, tam (kusursuz) bir şekilde üst üste yapıştırılmıştır. Bu tabakalı yapının eşdeğer hacminin elastik özelliklerini, 0^o /60^o / 0^o dizilimi için;

a-) Voigt

yaklaşımlarına göre hesaplayınız.

Tabakalar sürekli fiber takviyeli büyük bir tabakadan çıkarılmış olup. bu büyük tabakanın 1-2 lokal eksenlere göre özellikleri şöyledir:

b-) Reuss

c-) CLT

d-) Zor Modeli

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

22

16.07.2026

Çözüm:

• Tüm homojenizasyon yaklaşımlarda denklemler x-y global eksenlerine göre çıkarılmıştır. Bu sebeple herbir tabakanın global x-y eksenlerindeki malzeme özellikleri bulunması gerekir. 1. ve 3. tabakalarda fiber yönlendirme açıları θ₁=θ₃=0⁰ olduğundan lokal ve global eksenler çakışır. Dolayısıyla,

• 2.Adım ) x-y global eksenlerine göre tabakaların malzeme özelliklerinin tespiti:

Çapraz poisson oranları ise Denklem (9.1)’den hesaplanır:

• Tabakalar aynı malzemeden olduğu için, 1-2 lokal eksenlerine göre özellikleri ( imal edildikleri büyük tabakanın özellikleri ile) aynıdır.

2nci tabakanın özellikleri..>>

• 1.Adım ) Hacimsel Oranların Tespiti:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

23

16.07.2026

2nci tabakanın fiber yönlendirme açısı θ₂=60⁰ olduğundan, aşağıdaki dönüşüm denklemleri ile global özellikler hesaplanır. (Bu denklemler literatürde farklı kaynaklarda mevcuttur. Bu ders notlarında ise ilk defa burada doğrudan yazılmıştır):

(9.4.51.a)

(9.4.51.b)

(9.4.51.c)

(9.4.51.d)

Malzeme Özellikleri Dönüşüm Denklemleri

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

24

16.07.2026

Çapraz poisson oranı Denklem (9.1)’den hesaplanır:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

25

16.07.2026

a-) Voigt Yaklaşımına göre

3. Adım ) Eşdeğer hacim özelliklerinin hesaplanması:

Denklem (9.1.6)’dan :

Denklem (9.1.7)’den:

Denklem (9.1.13)’den:

Denklem (9.1.14)’den:

Denklem (9.1.20)’den:

Denklem (9.1)’den; karşılıklık kontrolü

sağlanmıyor

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

26

16.07.2026

b-) Reuss Yaklaşımına göre

Denklem (9.2.5)’dan :

Denklem (9.2.6)’den:

Denklem (9.2.11)’den:

Denklem (9.2.12)’den:

Denklem (9.2.18)’den:

Denklem (9.1)’den; karşılıklık kontrolü

sağlanıyor

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

27

16.07.2026

c-) CLT Yaklaşımına göre

Öncelikle tüm yapıya ait olan [A] matrisini aşağıdaki adımları takip ederek hesaplamamız gerekir.

c₁) Herbir tabakanın [Q] matrisleri hesaplanır.

[Q] matrisleri sadece malzeme özelliklerine bağlıdır. (Fiber yönlendirme açısına (θ’ya) bağlı değildir.) Bu örnekte tüm tabakalar aynı malzemeden yapıldığı için [Q] matrisleri aynıdır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

28

16.07.2026

6.14 denklemlerinden;

olmak üzere

2.Tabaka için: θ =60^o değeri soldaki denklemlerde yerine koyularak indirgenmiş matrisin terimleri hesaplanır.

Sonuç olarak:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

29

16.07.2026

c₃) Tabakalı yapı kodlanır:

c₄) [A] matrisi hesaplanır:

Denklem (8.23):

c₅) [A]^-1 matrisi hesaplanır:

(burada doğrudan sonuç verilmiştir.)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

30

16.07.2026

Denklem (9.3.1)’den :

Denklem (9.3.2)’den:

Denklem (9.3.3)’den:

Denklem (9.3.4)’den:

Denklem (9.3.5)’den:

Denklem (9.1)’den; karşılıklık kontrolü:

sağlanıyor

c₆) Eşdeğer Özelliklerin Hesaplanması

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

31

16.07.2026

d ) Zor Modeline Göre

Zor modelinde de işlem sırası önemlidir ve aşağıdaki sırayla yapılmalıdır:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

32

16.07.2026

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

33

16.07.2026

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

34

16.07.2026

Zor Modeli, Kayma Modülü hesabında Voigt yaklaşımını kabul eder.

Denklem (9.4.33)’den:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

35

16.07.2026

0^o/ 60^o / 0^o (Simetrik)

15^o/ 60^o / 0^o dizilimi için benzer hesaplamalar yapılır. Hesaplanan sonuçlar Tablo 9.1.b de gösterilmiştir.

15^o/ 60^o / 0^o (Asimetrik)

(a-d şıklarında hesaplandı)

(Sadece sonuçları verilmiştir.)

Sonuç tabloları ve karşılaştırmalar

Üstteki tablolardan, yönteme bağlı olarak eşdeğer özelliklerin sonuçlarında farklılıklar oluştuğunu ve bu farklılıkların asimetrik dizilimlerde biraz daha belirginleştiğini görüyoruz. Ayrıca tabakaların farklı malzemelerden üretilmesi, tabaka sayısı vb. gibi özellikler de yöntemler arasındaki sonuç farklarına etki edebilecek önemli parametrelerdir.

Tablo 9.1.a

Tablo 9.1.b

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

36

16.07.2026

Örnek 9.2:

Örnek 9.1 deki üç tabakalı yapının 200mm x 200 mm x 8 mm lik tabakalardan ve 15^o/ 60^o / 0^o diziliminde olduğunu düşünelim.

Hesaplamalar sonucu elde edilen bu yapıya ait eşdeğer özellikler önceki sayfada Tablo 9.1.b verilmiştir.

Tabakaların orta düzlemlerinde ortaya çıkan gerilme ve gerinim değerlerini, Zor Modeli ile hesaplayınız ve CLT sonuçlarıyla karşılaştırınız. (CLT sonuçları çözümün sonundaki tablolarda doğrudan verilmiştir.)

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

37

16.07.2026

Çözüm:

• Tablo 9.1.b’den Zor Modeli için hesaplanmış olan eşdeğer hacmin özellikleri:

• Eşdeğer hacimde ortaya çıkan gerilmeler

• Eşdeğer hacimde ortaya çıkan gerinimler

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

38

16.07.2026

• Her bir tabakadaki global gerinimler

Zor Modeline göre düzlemsel çeki/bası durumlarında tüm yapıda ve herbir tabakada gerinimler eşit; kayma şekil değiştirme açısı sıfırdır.

Denklem (9.4.1)’den

Denklem (9.4.2)’den

Denklem (9.4.3)’den

• Her bir tabakanın global özellikleri:

Hooke bağıntılarından elde edilecektir. Bunun için her bir tabakanın global eksenlere göre özellikleri belli olmalıdır. 3. tabaka için fiber açısı θ = 0^o olduğundan, global özellikler lokal özelliklerle aynıdır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

39

16.07.2026

2. tabakanın (θ = 60^o ) global özellikleri Örnek 9.1 de şu şekilde hesaplanmıştı:

1. tabaka fiber açısı θ = 15^o olduğu için global özellikler 9.4.51 denklemlerinden hesaplanır:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

40

16.07.2026

• 1. tabakanın global gerilmeleri:

9.4.8 ve 9.4.9 denklemlerinden gerilmeleri çekersek:

Denklem(9.4.8)

Denklem(9.4.9)

(9.4.52.a)

(9.4.52.b)

• Her bir tabakadaki global gerilmeler:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

41

16.07.2026

2. tabakanın global gerilmeleri:

3. tabakanın global gerilmeleri:

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

42

16.07.2026

• CLT değerleri her tabakanın orta düzlemi için 8. konuda anlatılan adımlardan elde edilmiş ve tablolara doğrudan yazılmıştır.

• Zor Modelinde düzlemsel çeki/bası yüklemelerinde γ_xy ve τ_xy sıfır kabul edilmektedir. CLT de ise özellikle asimetrik dizilimler sebebiyle tabaka orta düzlemlerinde kayma bileşenleri oluşabilmektedir.

• Zor ve CLT sonuçları arasındaki farklılıklar, dizilim tipi, tabaka malzeme özellikleri ve uygulanan yüklere bağlı olarak değişebilir.

• Sonuç Tabloları ve Karşılaştırmalar (15^o/ 60^o / 0^o dizilimi için)

• Zor Modelinde tüm tabakalar aynı global gerinimleri paylaşırken, CLT de gerinimler tabakadan tabakaya değişebilmektedir.

• CLT de hasar değerlendirmesi tabaka bazlı yapılmasına rağmen, Zor modelinde hasar değerlendirmesi eşdeğer hacim üzerinden yapılır. 10. bölümde bu konu daha ayrıntılı işlenecektir. Örnek 10.1 de simetrik bir yapı için CT ve Zor modeli ayrıca karşılaştırılmıştır.

9. Tabakalı Kompozitlerde Homojenizasyon / Voigt, Reuss, CLT , Zor Modeli Yaklaşımları

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

43

July 16, 2026

Bölüm 10

pdf

pptx

Mukavemet ve Hasar Analizi

Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor