Dipartimento di Matematica e Informatica��GIMat 2022�Giornate dell'Insegnante di Matematica
Le mani, la parola, la testa:
capire, argomentare, dimostrare
in matematica�
Catania, 18 -19 novembre 2022
GIMat2022
Esplorazioni geometriche.
Avvio alla dimostrazione nella scuola secondaria di primo grado.
dati di partenza (data)
un’affermazione (claim)
una giustificazione/garanzia di validità (warrant)
Esempio
�Se un numero è pari e maggiore di 2, non può̀ essere primo, perché́ è divisibile per 2
Data
numero pari e maggiore di 2
Claim
non può̀ essere primo
Warrant
perché́ è divisibile per 2
Proposta di dimostrazioni, con riflessione sugli aspetti importanti di una dimostrazione:
riferimento a teoremi,
scelte strategiche (introduzione di elementi figurali ausiliari),
in funzione della possibilità di applicare teoremi
costruzione argomentativa a più passi
Prima attività proposta
Su una circonferenza di centro O è fissato un punto A.
Disegna un triangolo BAC inscritto nella circonferenza.
Disegna altri triangoli inscritti, variando la posizione dei punti B e C sulla circonferenza.
Osserva e studia come variano i triangoli disegnati.
Rispondi a queste domande:
a) quali tipi di triangolo si possono ottenere?
b) in quali situazioni, legate alla posizione dei punti B e C, si formano i diversi tipi di triangolo?
Filippo: Si ottengono infiniti triangoli perché basta un minimo spostamento e sarebbe inutile elencarli perché si formerebbero triangoli quanti i punti della circonferenza. Lo si può notare in C2 partiamo da un triangolo rettangolo isoscele, se io sposto anche di un mm cambia completamente la figura, se ne creano infiniti o quanti i punti della circonferenza.
Francesco: Puoi ottenere un triangolo rettangolo, isoscele o scaleno.
I triangoli rettangoli passano sempre l’ipotenusa dal diametro, quando sono isosceli l’altezza taglia a metà AB, invece quelli scaleni taglia AB non nella metà.
Modi diversi di esplorare
Prime osservazioni
Beatrice: Se metto un lato che passa per il centro, il triangolo è sicuramente rettangolo. Ho provato a fare prima l’angolo retto, poi a congiungere i due vertici e l’ultimo lato passa sempre per il centro, quindi secondo me il triangolo rettangolo si può fare solo se un lato passa per il centro. Ho notato che se il triangolo contiene il centro è acutangolo mentre se non lo contiene è ottusangolo.
Un’esplorazione accurata
Beatrice formula altre congetture, nate dall’osservazione dei disegni e da dinamiche mentali che mettono in movimento le figure, collegandole a conoscenze acquisite. La grande capacità di vedere e muovere le immagini a livello mentale è evidente quando parla del triangolo equilatero
Bea: Ho disegnato un tri equilatero e ho trovato i suoi assi medi, ho visto che il loro punto d’incontro era il centro del cerchio e secondo me in un cerchio c’è solo un triangolo equilatero perché il centro del cerchio è uno solo, Anche se sposto il vertice A ottengo sempre un triangolo equilatero con il lato uguale.
Claudio
…mi sono accorto che quando il lato CB è sotto al punto O il triangolo è acutangolo e quando CB coincide con il diametro è rettangolo e quando CB è sopra O è ottusangolo.
Giulio: l'angolo ottuso può non essere in A
Davide: dipende da dove ho messo A, se l'ho disegnato in basso viene il contrario.
I compagni interpretano e obiettano
Mattia
…se i punti B e C uniti formano il diametro si formeranno dei triangoli rettangoli; se i punti sono “dentro” la stessa mezza circonferenza di A, si formeranno dei triangoli ottusangoli; se i punti sono fuori della solita mezza circonferenza si formeranno dei triangoli acutangoli.
Dalla congettura sui triangoli rettangoli inscritti alla dimostrazione guidata
L’insegnante propone una dimostrazione, costruendola insieme alla classe, sottolineando i diversi passi dimostrativi, anche con uso di colore diverso.
Richiesta di «racconti» scritti del percorso e della dimostrazione
Analisi e confronto collettivo dei racconti prodotti.
Enunciato del teorema
Il triangolo inscritto in una semicirconferenza, con un lato come diametro, è rettangolo
Davide
All’inizio pensavamo tutti che se un triangolo ha un lato congruente al diametro è rettangolo, il che è vero, ma non sapevamo come dimostrarlo. Poi lo abbiamo dimostrato.
Abbiamo disegnato un triangolo inscritto con un lato congruente al diametro e partendo dal vertice opposto alla base abbiamo tracciato una linea che finiva nel punto medio della base; in questo modo abbiamo diviso il triangolo in due tri isosceli perché avevano due lati congruenti al raggio.
Poi abbiamo chiamato i due angoli uguali per ogni triangolo α e β e quelli disuguali (che ce ne solo uno per ogni tri) γ e δ. Dato che in un tri la somma degli angoli è di 180° possiamo dire che γ= 180° - 2α ma anche che δ= 180° -2 β e infine (dato che γ e δ sono alla base) anche che 180°= γ + δ.
Quindi possiamo dire che 2 β= γ e che 2 α = δ dunque i due angoli al vertice α e β formano 90°.
Nel racconto, la consapevolezza del percorso condiviso con la classe
Arianna: Nel rettangolo inscritto nella circonferenza BO=OD=AO=OC=raggio BD=AC= diametro=diagonale rettangolo inscritto. Proprietà rettangoli= diagonali uguali. I diametri delle circonferenze sono sempre della stessa misura, cioè il doppio del raggio. Siccome so che i diametri delle circ e le diagonali dei rettangoli sono uguali, per disegnare un rettangolo inscritto in una circ basta che traccio due diagonali a caso e congiungo.
Una diversa dimostrazione proposta da un’alunna
Mattia: il lato base CB è una corda, posizioniamo la sua altezza in modo tale da essere asse medio della corda,
quando l’h incontra la circonferenza lo chiamiamo A, terzo vertice del triangolo.
Naomi, Marina: il diametro divide a metà il triangolo, è un asse di simmetria
Filippo: l’ipotenusa è il diametro e l’altezza è perpendicolare al centro
Jeremy: un vertice casuale del triangolo è distante gli stessi cm dagli altri due vertici.
Cristian: l’altezza relativa alla base è perpendicolare al diametro.
Giulio: l’altezza del lato maggiore, se il tri non contiene il centro, o minore, se il triangolo contiene il centro, fa parte del
diametro.
I triangoli inscritti sono isosceli quando …
Un tuo compagno ha scritto:
Se un triangolo inscritto in una circonferenza è acutangolo, l'altezza relativa al lato minore passa per il centro.
Come giudichi questa congettura, vera o falsa? Motiva la tua risposta.
Elia
E’ acutangolo quando contiene il centro. L’affermazione è falsa, la dimostrazione
è qui sotto, perché basta un esempio che non funzioni e io l’ho trovato.
Ci può stare che ne capiti qualcuno con l’altezza nel lato minore che passa per
il centro, può succedere se il triangolo è isoscele.
Mattia
Solo i triangoli isosceli inscritti hanno l’altezza che passa per il centro,
anche quello equilatero. gli scaleni non hanno l’altezza che passa per il centro.
Asserzione non corretta, caccia al controesempio
Considera i triangoli isosceli acutangoli inscritti in una circonferenza
�a) in quali triangoli isosceli acutangoli iscritti in una circonferenza, i due lati congruenti sono più lunghi del terzo lato?
b) in quali triangoli isosceli acutangoli iscritti in una circonferenza i due lati congruenti sono più corti del terzo lato?
Valuta ora questa congettura:
i triangoli isosceli con i lati congruenti minori del terzo lato, sono acutangoli.
La congettura è vera o falsa? Perché?
Altre osservazioni in discussione
Claudio
Tra tutti i tri. isosceli acutangoli inscritti c’è anche un equilatero. Se a quel triangolo allungo anche un pochino due lati facendoli rimanere sempre congruenti, il terzo lato diminuirà. Dal tri. equilatero basterebbe allungare anche di 1 mm o di 0,1mm o anche di 0,0102, ecc. Oppure basterebbe diminuire i gradi di un angolo, da 60° a 59°; a 30°; a 8°, a 8,01°; a 8,101°… oppure puoi aumentare l’angolo di 60° quanto vuoi ma non devi raggiungere 90°perché diventerebbe un tri isoscele rettangolo, quindi tra dopo 60° e prima di 90°( 61°,70°, 89°, 89,01°).A sua volta gli altri due angoli uguali diminuirebbero contenendosi tra 60° e 45°.
Osservazioni dei ragazzi
Spunti per nuove esplorazioni e discussioni
Gli alunni assumono il ruolo di correttori/obiettori di asserzioni non corrette o poco precise
Per rendere efficace la propria comunicazione nel confronto con i compagni, si affina l’uso del linguaggio specifico
Seconda attività esplorativa
Una semiretta interseca nei punti A e B due circonferenze di centro O. Traccia la tangente alla circonferenza interna, passante per il punto A. Chiama P e Q i punti in cui la tangente interseca la circonferenza esterna.
Che tipo di quadrilatero si forma congiungendo i punti OPBQ ?
In base a quali proprietà hai riconosciuto il tipo di quadrilatero che si è formato?
Prova poi a variare il raggio delle due circonferenze concentriche e a ripetere la costruzione precedente. Esplora come varia il quadrilatero OPBQ. Scrivi le tue osservazioni.
Dopo la prima esplorazione, nuove consegne
Anche questa dimostrazione è presentata, costruendola insieme ai ragazzi.
Si può formare un quadrato?
Esplora questa possibilità e scrivi le tue osservazioni.
Si sollecita l’esplorazione dei casi limite con interventi del tipo:
se il raggio interno diventasse ancora più grande/più piccolo, ma piccolo, piccolo …
Viene introdotto il termine “al limite”.
Gradualmente I ragazzi scoprono…
i casi limite sono tre: il segmento, quando i raggi delle due circonferenze coincidono; il triangolo rettangolo isoscele quando la circonferenza interna è ridotta a un punto. E un punto, quando tutte e due le circonferenze sono ridotte a un punto.
Il gruppo con maggiori difficoltà deve essere aiutato con frasi-guida, ripresa delle .
osservazioni e disegni dei compagni; è necessario ripercorrere insieme le diverse fasi:
da che cosa siamo partiti, quale costruzione geometrica abbiamo realizzato, che quadrilatero abbiamo ottenuto, come giustificare di quale quadrilatero si trattava…
La scoperta dei casi al limite
Si afferma il modello argomentativo costituito da
Data-Claim- Warrant
La comunicazione diventa ampia, il linguaggio più preciso risulta strumento necessario per affermare la propria razionalità.
La conoscenza di proprietà, teoremi si concretizza in un bagaglio personale che rende sicuri del proprio sapere, messo in campo in un contesto motivante.
Si percepisce il piacere di riuscire a render conto delle proprie osservazioni, delle proprie scelte, esplicitando criteri di validità e rispettando vincoli comunicativi che diventano comprensibili al gruppo sociale di riferimento.
Altre attività esplorative
a) Disegna due semirette con origine in comune.
Consegna: Utilizza il compasso per disegnare cerchi tangenti ad entrambe le semirette.
Racconta cosa hai fatto per cercare di disegnare un cerchio tangente, le difficoltà incontrate e i problemi che hai dovuto risolvere. Quanti cerchi, tangenti ad entrambe le due semirette, immagini ci siano? Dove pensi siano situati i loro centri?
b) In figura è disegnato un cerchio tangente ad una semiretta.
Immagina che il cerchio rotoli lungo la semiretta, mantenendosi tangente ad essa e successivamente all’altra semiretta. Disegna il cerchio in alcune delle posizioni in cui verrà a trovarsi. Spiega come sei riuscito a disegnarli ed eventuali osservazioni. Potrà questo cerchio trovarsi in posizione tangente ad entrambe le semirette? Motiva la tua risposta. Se si, disegnalo.
c)
Scrivi quali istruzioni daresti ad un compagno per realizzare questo disegno.
Al disegno precedente è stata aggiunta una retta t, tangente alla circonferenza. Si è così formato un quadrilatero ABCD, circoscritto alla circonferenza.
Immagina di muovere la retta t mantenendola tangente alla circonferenza. Si riesce sempre a ottenere un quadrilatero circoscritto alla circonferenza?
Le esperienze nelle scuole dell’Infanzia, primaria e secondaria di 1° grado dimostrano che si può imparare ad argomentare
L’apprendimento dell’argomentazione riguarda la matematica, ma va ben al di là della materia. Educa ad una razionalità che ha come fondamento la comprensione e la validazione delle affermazioni e dei ragionamenti in vari ambiti, da quello scientifico a quello storico-antropologico.
Educare ad argomentare contribuisce alla formazione di un cittadino consapevole e attivo nel sostenere le proprie idee.
Grazie per l’attenzione
Egidia Fusani
egifus@yahoo.it