TORSIÓN
IV |
4.1
4.2
4.3 |
TORSION
-Generalidades. Torsión en barras circulares llenas y huecas. Determinación de las tensiones tangenciales - Deformaciones torsionales. Torsión en tubos de pared delgada Esfuerzos y deformaciones unitarias en corte puro - Transmisión de potencia por ejes circulares. Energía de deformación en torsión y corte puro
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Una sección está solicitada a torsión pura, cuando al reducir el sistema de fuerzas actuante sobre el solido a su baricentro nos queda un par que pertenece al plano de la sección, Como se muestra en las siguientes figuras
Libros: FLIESS (Hipótesis) – HIBBELER – BEER - GERE
Las hipótesis que vamos a establecer y verificadas experimentalmente son para secciones circulares llenas y huecas, y establece que:
1- Las secciones perpendiculares o normales al eje, permanecen planas y paralelas a si mismas después de la deformación.
2- Después de la deformación, las secciones mantienen sus formas.
3- Las secciones experimentan rotaciones relativas unas respecto a las otras.
4- Las tensiones tangenciales que pueden existir son perpendicular al radio solamente.
De acuerdo a las hipótesis plateadas vemos que se deben cumplir las ecuaciones de equilibrio, que son las sumatorias de fuerzas y momentos y que deben ser igual a cero; que se detallan a continuación:
En la figura se puede ver que al aplicar un Mt en el extremo, el plano se distorsiona un ángulo ϕ, denominado ángulo de giro. Una línea radial que está a una distancia “x” desde el extremo, girara un ángulo ϕ(x)., este ángulo varia con la posición “x”, por lo tanto varia a lo largo del eje “x”. El ángulo ϕ es función de Mt y L.
Si analizamos una pequeña porción del eje, aislando el elemento a una distancia ρ de la línea central. Debido a la deformación, tendremos una rotación ϕ(x) en la cara posterior, y una deformación ϕ(x)+∆ϕ en la cara anterior; esto hace que el elemento este sometido a una deformación cortante.
El ángulo ɤ, que se indica en el elemento, puede relacionarse con la longitud ∆x y con el ángulo ∆ϕ y el arco “BD”
Si ∆x dx; y ∆ϕ dϕ; podemos poner
Y como dx y dϕ son iguales para todos los elementos ubicados en los puntos transversales en “x”, entonces podemos decir que dϕ/dx es constante en toda la sección transversal, y la ecuación establece que la magnitud de la deformación cortante varía solo con ρ desde la línea central del eje. Es decir que la deformación cortante dentro del eje varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial desde cero hasta ɤmax en su limite exterior.
Como , entonces
HIBBELER
FORMULA DE TORSIÓN
Siendo
El momento de Inercia Polar “I”0
También podemos escribirla como:
HIBBELER
TRANSMISIÓN DE POTENCIA
Los ejes y tubos de secciones circulares se utilizan para transmitir potencia. Ahora vamos a relacionar el diámetro del árbol con el momento torsor aplicado al mismo y la potencia a transmitir. Conociendo las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo valor del momento torsor en función de la potencia y el número de vueltas podremos obtener el diámetro del eje.
Reemplazando Mt obtenemos el diámetro del eje:
ÁNGULO DE GIRO
Lo visto anteriormente es el cálculo por resistencia de un eje; pero también es importante ver el giro, cuando le aplicamos un par o momento torsor al eje, en este caso verificamos la deformación. Conocida la deformación la comparamos con valores admisible, y si no verifica calculamos el diámetro a partir de la deformación admisible.
De la figura, analizamos el arco en el elemento aislado, y así se puede encontrar la siguiente relación:
Y recordando la ley de Hooke y la fórmula de torsión
HIBBELER
HIBBELER
ENERGÏA DE DEFORMACIÓN (GERE)
Mt
Mt
RIGIDEZ TORSIONAL (GERE)
La rigidez torsional (Kt) de la barra, es el par necesario para producir una rotación de un ángulo unitario. Podemos escribir
ELEMENTOS DE TORSIÓN ESTATICAMENTE INDETERMINADO (GERE)
Vamos a analizar un caso que estáticamente indeterminado. En este caso tenemos una barra y un tubo que en un extremo están empotrado y en el otro extremo están solidario; en este extremo le aplicamos el par o momento torsor.
En la figura se ve como desde el conjunto podemos obtener un corte transversal y longitudinal; además dibujamos el diagrama del cuerpo libre del tubo y la barra.
El el par Mt aplicado, es la suma del par Mt1 y Mt2 , que lo soportan la barra y el tubo respectivamente, son distintos por tener diferente momentos de inercia y distintos materiales,
Pero el ángulo de giro es el mismo para los dos. Entonces podemos escribir las siguientes ecuaciones:
En la primera ecuación conocemos el momento aplicado, pero no conocemos cuanto toma la barra y el tubo.
Los ángulos de giro están relacionado con los momentos torsores o par de torsión en las ecuaciones
Como los ángulos de giro son iguales podemos escribir
Ahora si podemos plantear dos ecuaciones para resolver el problema
TORSIÓN EN SECCIONES NO CIRCULARES (HIBBELER y BEER)
En secciones circulares, podemos apreciar que las secciones circulares, son planas antes y después de la deformación. En las secciones no circulares esto no ocurre, como se puede apreciar en las figuras.