Урок 6

17 ноября 2021 г.

Двоичное представление�чисел в компьютере

Классная работа

Домашнее задание

Изучить §1.2 (стр. 17–21) и презентацию.

Данные (и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном коде, т. е. в виде цепочек единиц и нулей.

​

Ячейки памяти

Память компьютера состоит из ячеек, в свою очередь состоящих из некоторого числа однородных элементов.

Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов - разрядов двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом.

Целые числа

МАТЕМАТИКА:

множество целых чисел дискретно, бесконечно,

не ограничено

ИНФОРМАТИКА:

множество целых чисел дискретно, конечно, ограничено

Целые числа в памяти компьютера — это дискретное, ограниченное и конечное множество.

Целые числа без знака

Для хранения целых неотрицательных чисел без знака отводится 8, 16, 32 или 64 бит.

​

7 6 5 4 3 2 1 0

Номера разрядов

Биты, составляющие

число

Минимальное число 0

Максимальное число 255₁₀

11111111₂ = 100000000₂ -1 = 2⁸ – 1 = 255₁₀

Для n-разрядного представления максимальное целое неотрицательное число равно 2ⁿ – 1.

Целые числа без знака

Пример. Представить число 53₁₀ в двоичном виде в восьмибитовом представлении в формате целого без знака.

​

Решение.

​

53₁₀ = 110101₂

Целые числа без знака

Пример. Представить число 53₁₀ в двоичном виде в шестнадцатиразрядном представлении в формате целого без знака.

​

Решение.

​

53₁₀ = 110101₂

Диапазоны целых чисел�без знака

В 8-разрядном представлении (от 0 до 2⁸-1):

от 0 до +255

​

В 16-разрядном представлении (от 0 до 2¹⁶-1):

от 0 до +65535

​

В 32-разрядном представлении (от 0 до 2³²-1):

от 0 до +4294967295

​

В 64-разрядном представлении (от 0 до 2⁶⁴-1):

от 0 до +18446744073709551615

Целые числа со знаком�(прямой код)

Для кодирования целых чисел со знаком отводят 8, 16, 32 или 64 бита.

Старший разряд числа определяет его знак.

Если он равен 0, число положительное,

если 1, то отрицательное.

53₁₀ = 110101₂

-53₁₀ = -110101₂

Такое представление чисел в компьютере называется

прямым кодом.

Целые числа со знаком�(дополнительный код)

Для кодирования целых чисел со знаком чаще используют дополнительный код.

Для кодирования целых чисел со знаком в дополнительном коде отводят 8, 16, 32 или 64 бита.

​

Старший разряд числа также как и в прямом коде определяет его знак.�Если он равен 0, число положительное,

если 1, то отрицательное.

Коды положительных чисел и числа 0 одинаковы при использовании прямого или дополнительного кода для кодирования чисел со знаком.

Целые числа со знаком

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа:

• Записать двоичный код положительного числа в n двоичных разрядах.
• Значения всех битов инвертировать.
• К полученному коду прибавить единицу.

Пример:

Представить число -2015₁₀ в двоичном виде в шестнадцатибитном представлении в формате целого числа со знаком в дополнительном коде.

Ответ: -2015₁₀ = 1111100000100001₂

Диапазон целых чисел со знаком в дополнительном коде

Для n-разрядного представления со знаком в дополнительном коде:

• минимальное число равно – 2^n-1
• максимальное число равно 2^n-1 – 1

Диапазоны целых чисел со знаком в дополнительном коде

В 8-разрядном представлении (от –2⁷ до 2⁷-1):

от -128 до +127

​

В 16-разрядном представлении (от –2¹⁵ до 2¹⁵-1):

от -32768 до +32767

​

В 32-разрядном представлении (от –2³¹ до 2³¹-1):

от -2147483648 до +2147483647

​

В 64-разрядном представлении (от –2⁶³ до 2⁶³-1):�от -9223372036854775808� до +9223372036854775807

Вещественные числа

Вещественные числа в памяти компьютера — это как и целые числа дискретное, ограниченное и конечное множество.

МАТЕМАТИКА:

множество вещественных чисел непрерывно,�не ограничено,

бесконечно

КОМПЬЮТЕР:

множество вещественных чисел� дискретно, ограничено,

конечно

Вещественные числа

Вещественные (действительные) числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой, т. е. в виде мантиссы и показателя степени (порядка).

​

A = M 🞪 qⁿ

M – мантисса числа (правильная отличная от нуля дробь),

q – основание системы счисления,

n – порядок числа.

Нормализация числа

Число нормализуют так, чтобы целая часть мантиссы состояла из одной цифры, причём не нуля.

Например число 137,5 можно нормализовать так:

137,5 = 1,375 · 10²

Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться десятичная запятая в мантиссе.

В компьютере поступают аналогично, только со степенью 2!

137,5₁₀ = 10001001,1₂ = 1,00010011 · 2⁷

Различные типы вещественных чисел

Для чисел в формате с плавающей запятой используют различные типы: �4 байта (одинарная точность) ,�6 байт (достаточная точность),�8 байт (двойная точность),�10 байт (очень высокая точность).

При записи числа выделяются разряды для хранения мантиссы, порядка и знака.

A = M 🞪 qⁿ

Размер мантиссы M определяет точность чисел.

Размер порядка n определяет диапазон чисел.

​

Число одинарной точности — компьютерный формат представления чисел, занимающий 32 бита (или 4 байта). Используется для работы с вещественными числами, когда не нужна очень высокая точность.

Порядок со знаком�записан в смещённом коде (смещение +127).

128 11111111�127 11111110

…

2 10000001

1 10000000

0 01111111

-1 01111110

-2 01111101

…

-126 00000001

-127 00000000

Формат числа одинарной точности

Максимальное число

2¹²⁸ = 3,4028234×10³⁸

Из мантиссы записываются только 23 цифры дробной части двоичного кода числа (целая часть числа всегда равна 1, её хранить незачем!)

Знак числа: 0 – плюс, 1 – минус

Пример 1

Преобразовать число 0,5 в двоичный код в формате четырёхбайтового вещественного числа.

Ответ: 00111111 00000000 00000000 00000000

В память записываются байты, начиная с младших, то есть

00000000

00000000

00000000

00111111

00

00

00

3F

А для людей содержимое памяти лучше представить�в шестнадцатеричной системе

Пример 2

Преобразовать число 11 в двоичный код в формате четырёхбайтового вещественного числа.

Ответ: 01000001 00110000 00000000 00000000

В память записываются байты, начиная с младших, то есть

00000000

00000000

00110000

01000001

00

00

30

41

А для людей содержимое памяти лучше представить�в шестнадцатеричной системе