Градусна міра всього кола 360°
ЦЕНТРАЛЬННИМ кутом називають кут з вершиною в центрі кола
Центральний кут
Будь-яка хорда стягує дві дуги, сума градусних мір яких дорівнює 360°
Вписаний кут
ВПИСАНИМ кутом кола називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинают коло
Теорема про вписаний кут: Міра вписаного кута дорівнює половині міри дуги (центрального кута), на яку він спирається
Наслідок 1: Вписані кути, які спираються на одну й ту ж дугу, рівні
Наслідок 2: Вписаний кут, який спирається на діаметр, - прямий
Відомо: К(О; ОА), ◡ADB=◡AB+80°
Знайти: ◡ADB; ◡AB
Розвʼязання
Як відомо, градусна міра всього кола 360°. Тоді ◡ADB + ◡AB = 360°.
Нехай ◡AB=х°, тоді ◡ADB=◡AB+80°=(х+80)°. Маємо рівняння:
х+ х+80=360;
2х=280;
х=140
Отже, ◡AB=х°=140°, тоді ◡ADB=(х+80)°=140°+80°=220°
Градусна міра всього кола 360°
ВІДПОВІДЬ: 220°
Наслідок 2.
Кут, який спирається на діаметр - прямий
Будь-яка хорда стягує 2 дуги, суми градусних мір яких, дорівнюють 360°
Наслідок 1.
Вписані кути, які спираються на одну й ту ж дугу, рівні
Теорема про вписаний кут.
Міра вписаного кута дорівнює половині міри дуги (центрального кута), на яку він спирається
Розвʼязання
∠CBA i ∠ADC- на діаметр АС. За наслідком 2 з теореми про вписаний кут, ∠BAD і ∠ BCD , ∠CBA i ∠ADC - прямі Отже, ABCD - прямокутник.
2) ∠ABD=∠CDB як внутрішні різносторонні при AB‖CD і січній BD →∠ABD=∠CDB =80°
∠ABD і ∠CDB -вписані → ∠ABD=½ ◡AD i ∠BDC=½ ◡BC, ◡AD =◡BC=2∠ABD =2⋅80°=160°
На ◡BD спирається вписаний ∠BAD= 90° , тоді за теоремою про вписаний кут ∠BAD=1/2◡BD. Звідси, ◡BD=2∠BAD=2⋅90°=180°.
◡BD=◡BC +◡CD - за побудовою. Маємо, ◡CD =◡BD-◡BC =180°-160°=20°.
Аналогічно, ◡BA=20°
ВІДПОВІДЬ: 20° ; 160°; 20°; 160°
Розвʼязання
У чотирикутнику ABCD AC та BD діагоналі за умовою. AC та BD - діаметри К(О; ОА) за умовою, тоді АО=ОС, BO=OD, як радіуси і AC = BD. Отже, за ознакою ABCD - паралелограм і прямокутник
∠ABD=∠CDB як внутрішні різносторонні при AB‖CD і січній BD →∠ABD=∠CDB =80°
∠ABD і ∠CDB -вписані → ∠ABD=½ ◡AD i ∠BDC=½ ◡BC, ◡AD =◡BC=2∠ABD =2⋅80°=160°
∠ABO=∠CDO як вертикальні, ∠ABO, ∠CDO центральні кути, що спираються на ◡AB та ◡CD → ◡AB = ◡CD .
◡AB +◡CD +◡AD +◡DC= 360°, оскільки утворюють повне коло →
◡AB = ◡CD =(360° - (◡AD +◡DC)):2= (360° - ( 160°+160°)):2=20°
ВІДПОВІДЬ: 20° ; 160°; 20°; 160°
Доведення
∠AMB i ∠AKB вписані кути К (О; ОА), які спираються на діаметр кола АВ. Як відомо, вписані кути які спираються на діаметр є прямі, тож ∠AMB = ∠AKB = 90°.
Маємо, AC 丄BM, AK 丄CB AK i BM- висоти трикутника ABC