2 of 43

ALAPFOGALMAK- TÉRELEMEK

Nem definiáljuk:

- pont
- egyenes
- sík
- tér
- illeszkedés

3 of 43

TÉRELEMEK KÖLCSÖNÖS HELYZETE

Felület: sík vagy görbe

Vonalak: egyenes vagy görbe

Vonalak, síkok pontokból állnak

Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk
Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban, nincs közös pontjuk
Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van.
Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk
Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja.
Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van
Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk

4 of 43

EGYENESEK ÉS RÉSZEIK

Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja
Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt
A síkot egy egyenese két félsíkra bontja
A teret egy sík két féltérre bontja

EGYENESEK:

-párhuzamosak: nincs közös pontjuk, egy síkban vannak

-metszők: egy közös pontjuk van

-kitérők: nincsenek egy síkban és nincs közös pontjuk

5 of 43

SZÖGEK

Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt szögtartománynak, szögnek nevezzük
Ha a síkban egy félegyenest a kezdőpontja körül valamilyen irányban elforgatunk, akkor a félegyenes kezdő- és véghelyzete mint szárak által meghatározott szöget forgásszögnek nevezzük
A forgásszög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétes irányban forgatunk, negatív, ha az óramutató járásával megegyező irányban forgatunk.

6 of 43

SZÖGTÍPUSOK

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT09TA_I__teljes.pdf

7 of 43

SZÖGPÁROK

Ha két szög szárai páronként párhuzamosak és egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként párhuzamosak és ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket
Ha két szög csúcsa közös, és száraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. A csúcsszögek egyenlők
Ha két szög egy-egy szára közös, a másik kettő pedig egy egyenest alkot, akkor mellékszögeknek nevezzük őket. �A mellékszögek összege 180º .
Ha két szög összege 180º , akkor kiegészítő szögeknek nevezzük őket
Ha két szög összege 90º , akkor pótszögeknek nevezzük őket.
Ha két szög szárai egyenként merőlegesek egymásra, akkor merőleges szárú szögeknek hívjuk őket

8 of 43

SZÖGPÁROK

http://www.taneszkozcentrum.hu/szogparok_1676

Szárak:

Párhuzamosak

-Merőlegesek

9 of 43

EUKLIDESZI SZERKESZTÉSEK

Bármely helyet megjelölhetünk egy ponttal
Két ponton át húzhatunk egyenest
Két pont távolságát körzőnyílásba lehet venni
Egy pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk
Két egyenes metszéspontját megjelölhetjük
Egy kör és egy egyenes mindkét metszéspontját megjelölhetjük
Két egymást metsző kör mindkét metszéspontját megkereshetjük
Ezeket a lépéseket véges sokszor hajthatjuk végre

10 of 43

ALAPSZERKESZTÉSEK

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT09TA_I__teljes.pdf

11 of 43

TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA

Ha két térelemnek van közös pontja, a távolságuk 0.

Két pont távolsága: általuk meghatározott szakasz hossza
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága
Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága.
Két metsző egyenes távolsága 0
Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága
Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolsága
Két metsző sík távolsága 0.

12 of 43

HÁROMSZÖGEK GEOMETRIÁJA

Egy háromszöget egyértelműen

meghatározza:

a) három oldala,

b) két oldala és az általuk közbezárt szög,

c) egy oldala és a rajta fekvő két szög,

d) két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög.

Ezekből az adatokból egyértelműen

szerkeszthetünk háromszöget.

13 of 43

HÁROMSZÖGEK CSOPORTOSÍTÁSA

Szögei szerint:

a) hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög,

b) derékszögű, ha van derékszöge. (befogó, átfogó)

c.) tompaszögű, ha van tompaszöge.

Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszöge lehet.

Oldalai szerint:

a) egyenlő szárú a, a, b

b) egyenlő oldalú a, a, a

c) általános a, b, c

14 of 43

EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖGEK

Egy háromszöget egyenlőszárúnak nevezünk, ha

van két egyenlő oldala. (szárak, alap)

két egyenlő nagyságú szöge van (alapon fekvő szögek);
tengelyesen szimmetrikus; szimmetriatengelye a háromszög egyik oldalának felezőmerőlegese, ez szögfelező is

15 of 43

SZABÁLYOS HÁROMSZÖGEK

Egy háromszöget egyenlő oldalú, vagy szabályos

háromszögnek nevezzük, ha minden oldala

egyenlő.

A szabályos háromszög tulajdonságai:

A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van.
A szabályos háromszög minden szöge 60°-os.
A szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, beírt és köré írt körének középpontja egybeesik, és ez a szimmetriatengelyek metszéspontja.
A szabályos háromszög forgásszimmetrikus.

16 of 43

HÁROMSZÖGEK SZÖGEI:

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180˚.

Bizonyítás:

Jelöljük a háromszög szögeit α, β, γ-val.

Húzzunk a háromszög C csúcsán át párhuzamost az AB oldallal.

Ekkor a PCA = α és QCB = β, (váltószögek), így 180˚ = α + β + γ

17 of 43

ÖSSZEFÜGGÉSEK:

A háromszög külső szöge: belső szögeinek mellékszögei.

Az α, β, γ belső szögek melletti külső szögeket α΄, β΄, γ΄-vel jelöljük.

α + α΄=180￮ β+ β΄= 180￮ γ+ γ΄=180 ￮

Tétel 1: A háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög.

Tétel 2: (külsőszög-tétel) A háromszög valamelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével.

Külső szögek összege 360￮ α΄+ β΄+ γ΄= 360￮

18 of 43

SZÖGEK ÉS OLDALAK KÖZÖTTI ÖSSZEFÜGGÉSEK: �

Tétel 1: Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, és megfordítva: egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak fekszenek.

Tétel 2: Ha egy háromszögnek van két különböző oldala, akkor a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik.

Tétel 3: Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal fekszik.

a > b, akkor és csak akkor, ha α > β.

19 of 43

OLDALAK ÖSSZEFÜGGÉSEI:�

Tétel 1: (A háromszög-egyenlőtlenség) Egy háromszög bármelyik két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál.

Pl. a+b˃c a+c˃b b+c˃a

(bármely két oldalra fel lehet írni az összefüggést)

Tétel 2: Egy háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értéke kisebb, mint a harmadik oldal.

| a – b | < c

| a – c | < b

| b – c | < a

20 of 43

PITAGORASZ-TÉTEL

1. Tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

a² +b²=c²

21 of 43

TÉTEL BIZONYÍTÁSA

derékszögű háromszög befogóinak hossza: a és b, átfogója c.

Tétel: a²+ b² = c² .

Rajzoljunk két a + b oldalú négyzetet .

A két négyzet területe egyenlő.

Felosztás1: A négyzetet felbontottuk egy a és egy b oldalú négyzetre, illetve négy derékszögű háromszögre, amelynek befogói a, illetve b.

Ezek a háromszögek egybevágóak egymással és az eredeti háromszöggel, területük is egyenlő.

A másik a+b oldalú négyzetben 4 derékszögű háromszög egybevágó egymással és az eredeti háromszöggel is, ezért átfogóik hossza is egyenlő.

A középen található négyszög szögei 90°-osak, mivel az egybevágó derékszögű háromszögekben α + β = 90°.így a középen lévő négyszög négyzet. Területe c²

A két a + b oldalú négyzet területéből kivonva a 4 egybevágó háromszöget, a kimaradó területek egyenlők lesznek.

22 of 43

TÉTEL MEGFORDÍTÁSA:

Tétel: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű háromszög, amelynek átfogója ez utóbbi oldal.

Legyen az ABC háromszög három oldala a, b és c. Tudjuk, hogy a háromszög oldalaira igaz: a²+ b² = c²

Bizonyítandó: a c oldallal szemben lévő c szög 90°.

Az a, b szakaszokkal mint befogókkal rajzoljunk egy DEF derékszögű háromszöget, melyre Pitagorasz tétele miatt a²+ b² = d².

Tehát: c² = d² ,vagyis c = d, ahol c és d≥ 0

Tehát ABC és DEF háromszög oldalai megegyeznek, így a szögei is egyformák.

Tehát az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög van,

Összefoglalva: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két rövidebb oldalának négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével.

23 of 43

EGYENLŐ SZÁRÚ DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK

a² + a² =e²

2a² =e² a, e˃0

e= a

24 of 43

SZABÁLYOS HÁROMSZÖG

Pitagorasz –tétel segítségével:

25 of 43

PITAGORASZI SZÁMHÁRMASOK

Három pozitív egész szám közül kettő négyzetének összege egyenlő a harmadiknak a négyzetével a²+ b² = c², a,b,c Є Z+

Végtelen sok pitagoraszi számhármas létezik:

Pl 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17;

3²+ 4² = 5²

26 of 43

NEVEZETES PONTHALMAZOK-MÉRTANI HELYEK

A sík egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza a körvonal. Az adott középpontpont a kör középpontja(O), az adott távolság a kör sugara(r- rádiusz)
A sík két adott pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőleges egyenese.
A sík két párhuzamos egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon a két egyenes középpárhuzamos egyenese. A középpárhuzamos egyenes a két egyenessel párhuzamos és felezi a távolságukat.
A sík két metsző egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon a két egyenes által meghatározott szögek szögfelező egyenesei, melyek merőlegesek egymásra.

27 of 43

A KÖR

Egy adott ponttól(O) adott távolságra –r

lévő pontok halmaza a síkban

Körvonal:

O=Adott pont (középpont),

r= adott távolság (sugár) lévő pontok halmaza a síkban.

P= körvonal pontja

r= sugár= OP távolság, r

Zárt körlap:

Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

Nyílt körlap:

Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak.

28 of 43

KÖR RÉSZEI

Sugár-r
Átmérő-d
Érintő-e
Szelő-s
Húr-h

Körív
Körcikk
Körszelet
körgyűrű

29 of 43

KÖR ÉS EGYENES METSZETE

az egyenes-e és a kör

középpontjának –O

a távolsága

– nagyobb a kör sugaránál, akkor nincs közös pontjuk

– egyenlő a kör sugarával, akkor 1 közös pont van- ez a kör érintője

– kisebb a kör sugaránál, akkor 2 közös pontjuk van-ez a kör szelője

30 of 43

KÖR KÜLSŐ ÉRINTŐI

Körhöz egy külső pontból két érintő húzható.

Az érintő szakaszok egyenlő hosszúak
Az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre

31 of 43

HÁROMSZÖG OLDALFELEZŐ MERŐLEGESEI

Definíció:

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek.
Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.
A háromszögbe eső részt nevezzük oldalfelező merőleges szakaszának.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, és ez a pont egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától.

Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél az átfogó felezési pontján, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül helyezkedik el.

Létezik olyan kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és áthalad a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört a háromszög köré írható körének nevezzük. Egyetlen ilyen kör van

32 of 43

BIZONYÍTÁS

Felhasználjuk a felezőmerőleges tulajdonságait.

Az AB és a BC oldalak felezőmerőlegeseinek metszéspontja legyen O. O rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén, ezért egyenlő távol van A-tól és B-től: AO = BO.

O rajta van a BC oldal felezőmerőlegesén, ezért egyenlő távol van B-től és C-től: BO = CO.

Ebből következik:

O egyenlő távol van A-tól és C-től, ezért O rajta van az AC felezőmerőlegesén is. Tehát AC felezőmerőlegese is átmegy az O ponton.

A három egyenes közös metszéspontja, az O pont, a köréírhatő kör középpontja!

r= AO=BO=CO

Az O pont hegyesszögű háromszögben a körön belül van,

Derékszögű háromszögben az átfogó felezési pontjában van 2R=c

Tompaszögű háromszögben a háromszögön kívül van

33 of 43

KÖRÉÍRHATÓ KÖRÖK

34 of 43

HÁROMSZÖG SZÖGFELEZŐI

Definíció:

A háromszög belső szögeinek felezőit a háromszög szögfelezőinek nevezzük.
A háromszög külső szögeinek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk.
Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője van.

Tétel: A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható kör középpontja. Vagyis minden háromszögbe írható olyan kör, amely érinti a háromszög oldalait.

Ez a pont mindig a háromszögön belül van.

35 of 43

BIZONYÍTÁS:

Egy konvex szögben a szög két szárától egyenlő távol lévő pontok halmaza a szögfelező egyenes.

A CAB szög és az ABC szög szögfelezőinek metszéspontja legyen D. D egyenlő távol van az AB és az AC szögszáraktól. D rajta van az ABC szög szögfelezőjén, ezért egyenlő távol van az AB és a BC szögszáraktól.

Emiatt D egyenlő távol van az AC és a BC szögszáraktól is, ezért D rajta van a harmadik szögfelezőn is. Vagyis BCA szög szögfelezője is átmegy a D ponton.

36 of 43

MAGASSÁGVONAL

Definíció: A háromszög csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges egyenes.

Magasságnak nevezzük a magasságvonalnak a csúcs és az oldalegyenes közé eső szakaszát,

Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.

Jele: M

37 of 43

MAGASSÁGPONT ELHELYEZKEDÉSE:

hegyesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében,
derékszögű háromszög esetében a derékszögű csúcsban,
tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli van

38 of 43

SÚLYVONALAK

Definíció: A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ez a pont mindig a háromszögön belül van.

A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja.

Tétel: A súlypont 2 : 1 arányban osztja el a súlyvonalat a háromszög csúcsától távolabbi osztópontban,

39 of 43

KÖZÉPVONALAK

Definíció: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz a háromszög középvonala.

Minden háromszögben három középvonal van.

Tétel: A háromszögben a középvonal párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és a szemközti oldal hosszának a fele

a || k és a=

40 of 43

NÉGYSZÖGEK KÖZÉPVONALAI

Egy négyszög két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz a négyszög középvonala.

A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő hosszú a megfelelő oldalakkal.

A trapéz szárainak felezési pontjait összekötő szakasz a trapéz középvonala. Hossza a párhuzamos alapok összegének a fele.

41 of 43

THÁLESZ-TÉTEL

Tétel:

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.

(A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.)

Bizonyítás:

az O középpontú kör átmérőjére rajzolt ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levő szögét β-val jelöljük.

Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk.

A belső szögek összege:

α+ β + (α + β) = 180°,

α+ β = 90°.

Tehát az ABC háromszög derékszögű.

42 of 43

A THALESZ-TÉTEL MEGFORDÍTÁSA: �

Ha egy szakasz valamely C pontból derékszögben

látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja

a C pont.

Összefoglalva:

A síkon azon pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját. ( vagyis A és B pontot).

43 of 43

HÁROMSZÖGEK TERÜLETKÉPLETEI

1. Általános háromszög

2. Derékszögű háromszög

3. Egyenlőszárú derékszögű háromszög

4. Szabályos háromszög