SIMULAÇÃO E MODELAGEM
Semana 03 - Aula 09
Modelo M/M/s, Notação de Kendall-Lee, Fórmula de Little
Prof. Anibal Tavares de Azevedo
P(w₃ ∣ w₂, w₁)
Uma pequena história sobre um posto�de gasolina
Era uma vez uma pessoa que voltou do Japão com muito dinheiro. Essa pessoa estava procurando algo em que investir. Foi lhe oferecido para comprar um posto de gasolina. Aparentemente um excelente negócio, pois o posto era sempre bastante movimentado. Porém, ao invés de aceitar diretamente a proposta, o comprador disse que precisava aprender e entender a lógica do negócio antes de comprar. Para tanto, gostaria de trabalhar um tempo como frentista para o dono do posto. O dono do posto achou estranho, mas aceitou a proposta tendo em vista que fazia algum sentido. Depois de algum tempo trabalhando a pessoa chegou a seguinte conclusão...
Modelo com múltiplos servidores
| Sistema | Fila | Serviço |
Tempo Médio | W | Wq | Ws |
# Médio Clientes | L | Lq | Ls |
CLIENTES
FIFO
Chegada
Fila
μ
Abastecimento
2 Carros/minuto
λ
Carros/minuto
μ
μ
Variável
ρ < 1
Verificando se (a intensidade de tráfego �é tal que) a fila não explode!
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Verificando se (a intensidade de tráfego �é tal que) a fila não explode!
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
λ = 2 carros/minuto
1 cliente – 2 minutos
μ Clientes – 1 minuto
CLIENTES
FIFO
Chegada
Fila
μ
Abastecimento
2 Carros/minuto
λ
μ
μ
Carros/minuto
Verificando se (a intensidade de tráfego �é tal que) a fila não explode!
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
1 cliente – 2 minutos
μ Clientes – 1 minuto
μ = 0,5 carros/minuto
CLIENTES
FIFO
Chegada
Fila
μ
Abastecimento
2 Carros/minuto
λ
μ
μ
λ = 2 carros/minuto
Carros/minuto
Verificando se (a intensidade de tráfego �é tal que) a fila não explode!
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
1 cliente – 2 minutos
μ Clientes – 1 minuto
μ = 0,5 carros/minuto
2 carros/minuto
0,5 carros/minuto
ρ
=
=
λ
μ
4
=
s ≥ 5
CLIENTES
FIFO
Chegada
Fila
μ
Abastecimento
2 Carros/minuto
λ
μ
μ
s
λ = 2 carros/minuto
Carros/minuto
Métricas para múltiplos servidores
| Sistema | Fila | Serviço |
Tempo Médio | W | Wq | Ws |
# Médio Clientes | L | Lq | Ls |
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Métricas para múltiplos servidores
| Sistema | Fila | Serviço |
Tempo Médio | W | Wq | Ws |
# Médio Clientes | L | Lq | Ls |
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Métricas para múltiplos servidores
| Sistema | Fila | Serviço |
Tempo Médio | W | Wq | Ws |
# Médio Clientes | L | Lq | Ls |
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Cálculos para s = 5 (s mínimo)
s ≥ 5
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Cálculos para s = 5 (s mínimo)
s ≥ 5
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Os equacionamentos não produzem valores válidos para s menor que 5, pois não há garantia de estado estacionário!
Exercício 1: Programa Python para �múltiplos servidores
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Custo total esperado por minuto�Custo de serviço + custo espera
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Cada minuto que um cliente permanece na fila, o gerente acredita que custa R$ 0,05. O custo de um atendente por hora é de R$ 9.
Custo esperado
minuto
=
Custo serviço
minuto
+
Custo espera
minuto
Custo esperado
minuto
=
s*9/60
0,05Wqλ
+
Vale a pena contratar mais um atendente?
Exercício 2: Programa Python para cálculo do Custo Total Esperado (CTE)
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Cada minuto que um cliente permanece na fila, o gerente acredita que custa R$ 0,05. O custo de um atendente por hora é de R$ 9.
Vale a pena contratar mais um atendente?
Exercício 2: Cálculo alternativo
Considere que em média
chegam 2 clientes por
minuto e que em média
leva 2 minutos para o
atendente terminar o
serviço. Determinar o
valor de s para o qual a
fila não explode.
Cada minuto que um cliente permanece na fila, o gerente acredita que custa R$ 0,05. O custo de um atendente por hora é de R$ 9.
Vale a pena contratar mais um atendente?
Atendente = R$0,15/hora
Teoria de filas: Notação de Kendall-Lee
Outros modelos da Teoria de Filas
M/M/1 Capacitado
Reparo de máquinas
Sistemas maiores e mais complexos: combinando modelos M/M/1 e M/M/s
A partir de deduções matemáticas é possível aplicar as equações de um ou múltiplos servidores em configurações mais complexas: em série ou em rede:
Sistemas de filas em série
Redes de filas abertas
Prova matemática que o retrabalho não compensa
Utilizando o equacionamento de redes de filas abertas é possível provar que o retrabalho de 33% irá levar o sistema a um incremento na taxa de chegada de 50%!
Uma história sobre o retrabalho
Existe uma história maravilhosa sobre um grupo de executivos da indústria automobilística americana que foi ao Japão para ver uma linha de montagem japonesa. No fim da linha, as portas eram fixadas em suas dobradiças, como se faz também nos Estados Unidos. Mas faltava algo. Nos Estados Unidos, um operário dessa linha pegava um martelo de borracha e batia nas beiradas da porta para garantir que encaixava perfeitamente. No Japão essa tarefa não existia.
Martelando o resultado
Confusos, os executivos americanos perguntaram em que momento eles garantiam que a porta encaixava perfeitamente. O guia japonês olhou para eles e sorriu encabulado: “Nós nos asseguramos de que encaixa quando o projetamos.” Na fábrica de automóveis japonesa eles não examinavam o problema e a partir daí acumulavam dados para encontrar a melhor solução; eles engendravam o resultado que queriam desde o início. Se não obtinham o resultado desejado, entendiam que a causa era uma decisão que haviam tomado no início do processo.
Martelando o resultado
No fim das contas, tanto as portas dos carros fabricados nos Estados Unidos quanto as do Japão pareciam estar encaixadas quando cada carro saía da linha de montagem. Só que os japoneses não precisavam empregar alguém para martelar as portas nem comprar martelos de borracha. E o mais importante: as portas japonesas parecem durar mais e talvez até sejam estruturalmente mais sólidas no caso de um acidente. Tudo isso por nenhum outro motivo a não ser terem se assegurado desde o início de que as peças encaixavam. O que os fabricantes de carro americanos faziam com seus martelos de borracha é uma metáfora para o modo como tantas pessoas e organizações conduzem as coisas.
Mapas Mentais da Semana 04
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