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Caracterización del muestreador ideal.
Se define el muestreador ideal como un sistema que efectúa la siguiente operación con la señal continua:
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A lo que se refiere la ecuación anterior es que el muestreo ideal origina una señal que sólo esta definida en los instantes de muestreo (multiplos del periodo de muestreo) y cuya amplitud es el producto de la amplitud de la señal contiua en el instante de muestreo por la función impulso( amplitud infinita y área total unitaria).
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Retenedor de Orden cero.
El dispositivo más simple de reconstrucción de datos, y también el más común, es el mantenedor de orden cero (ZOH). El retenedor de orden cero proporciona fundamentalmente, como valor de la señal de salida, el valor de la última muestra recibida a su entrada.
La función de transferencia del retendeor de orden cero es la siguiente:
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Ecuaciones en diferencias.
En un sistema de procesamiento de señales en tiempo discreto existe la entrada de una secuencia de pulsos y una salida de pulsos. En cierto instante la salida la calcula el sistema como resultado de procesar el pulso presente y los pulsos previos en la entrada y quizas los pulsos previos en la salida.
Por ejemplo; en un instante particular se podría tener una entrada de pulsos x[k] de una secuencia. El programa que se usa como un microprocesador podría leer este valor y adicionarlo al valor de la salida previo x[k-1] para dar la salida requerida y[k]. Esta operación se puede representar mediante la ecuación:
y[k] =y [k-1] + x [k]
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La ecuación anterior se denomina ecuación en diferencias y proporciona la relación entre la salida y la entrada para un sistema en tiempo discreto; es comparable a la ecuación diferencial que se usa en tiempo continuo para relacionar la entrada y la salida.
Entonces un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo puede ser caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias:
x [k]+ a1 x[k-1] + ...+ an x[k-n]= b0 u [k]+ b1 u[k-1] + ...+ bn u[k-n]
Donde u[k] y x[k] son las entradas y salidas del sistema, respectivamente en la k-esima iteración.
Al describir la ecuación en diferencias en el plano z, se toma la transformada z de cada uno de los términos en la ecuación.
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Si se define
Z[x(k)]=X(z)
Entonces x(k+1), x(k+2), x(k+3)... y x(k-1), x(k-2), x(k-3) se pueden expresar en términos de X(z) y de las condiciones iniciales. A continuación se describen algunas transformadas de funciones discretas.
Funcion Discreta | Transformada Z |
x(k+4) | z4X(z)-z4x(0)-z3x(1)-z2x(2)-zx(3) |
x(k+3) | z3X(z)-z3x(0)-z2x(1)-zx(2) |
x(k+2) | z2X(z)-z2x(0)-zx(1) |
x(k+1) | zX(z)-zx(0) |
x(k) | X(z) |
x(k-1) | z-1X(z) |
x(k-2) | z-2X(z) |
x(k-3) | z-3X(z) |
x(k-4) | z-4X(z) |
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Transformada Z.
Es una herramienta clásica para el análisis y síntesis de sistemas discretos. Se obtiene aplicando la transformada de Laplace en señales discretas, y su principal ventaja reside en la propiedad de transformar expresiones de tipo exponencial en expresiones polinómicas. Sea la señal muestreada:
Aplicando la transformada de Laplace se obtiene la definición de la transformada Z:
Donde T es el periodo de muestreo.
Ejemplo: Transformada Z del escalon
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Función de transferencia Pulso.
La función de transferencia para un sistema continuo relaciona la transformada de Laplace de la salida en tiempo continuo con la entrada. La función de transferencia pulso relaciona la transformada z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada.
X(z)
Y(z)
G(z)
Y(z)= salida pulso del sistema.
X(z)= Entrada pulso del sistema.
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Al analizar los sistemas de control en tiempo discreto, a menudo se encuentra que algunas señales en el sistema son asterisco (lo que significa que las señales estan muestreadas mediante impulsos) y otras no lo son. Para obtener la función de transferencia pulso y analizar el sistema de control en tiempo discreto, por lo tanto, se debe ser capaz de obtener la transformada de las señales de salida de los sistemas que contienen muestreos en varios lugares en los lazos.
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Función de transferencia Pulso de elementos en cascada.
Primer Caso
x(t)
X*(t)
x(s)
X*(s)
G(s)
H(s)
u(t)
u*(t)
y(t)
y*(t)
Del diagrama
Sustituyendo 1 en 2
Si tomamos la transformada de Laplace asterisco de las dos ecuaciones anteriores.
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Lo cuál es equivalente a expresar:
De la ecuacion anterior despejamos.
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Segundo Caso
X*(t)
x(s)
X*(s)
G(s)
H(s)
y(t)
y*(t)
Al muestrear la ecuación anterior.
Expresándolo en z.
Finalmente
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Función de transferencia Pulso en Lazo cerrado.
De igual manera en un sistema en lazo cerrado, la existencia o no de un muestreador hace que el sistema a función de transferencia para un sistema continuo relaciona la transformada de Laplace de la salida en tiempo continuo con la entrada. La función de transferencia pulso relaciona la transformada z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada. Considere el sistema en lazo cerrado del siguiente sistema:
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G(s)
E(s)
C(s)
H(s)
+
_
R(s)
E*(s)
Si se sustituye 2 en 1
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Al tomar la transformada de Laplace asterisco.
Por otro lado si se toma la Ec. 2 y se muestrea:
Si se sustituye 3 en 4
Por ultimo se escribe:
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Otra Configuración de la Función de transferencia Pulso en Lazo cerrado.
Obtener la función de transferencia pulso del siguiente sistema en Lazo Cerrado.
G(s)
E(s)
C(s)
H(s)
+
_
R(s)
E*(s)
C(z)
Tomando la transformada de Laplace asterisco de 2
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Si se sustituye 3 en 1
Muestreamos 4
Si se sustituye 5 en 3
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Transformada z de funciones que involucran el término :
Si se considera que en la función X(s) se incluye
Entonces la transformada z de X(s) estará dada por :
Ejemplo: Encuentre la transformada z de:
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Ejemplo: Encuentre la transformada z de: