商用微積分 �第一章 預備知識

朱文增 博士 著

李柏翰 老師教授

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第一章 預備知識

• 第一節 數
• 第二節 集合
• 第三節 函數
• 第四節 函數在商業上之應用
• 第五節 練習

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第一節 數

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​

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​

• 自然數(N)：1, 2, 3, 4,…
• 整數(Z)：…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…
• 整數(Z)：{自然數, 0, 負整數}
• 分數：
• 有理數(Q)：凡是可表成分數 者（其中m，n是整數

），或循環小數者

• 無理數：凡是不可表成分數者，或無循環關係的小數者
• 實數(R)：{有理數, 無理數}

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實數的一些基本性質

• 對任意 x, y, z, w 而言：
• 1.交換性 ，
• 2.結合性 ，
• 3.分配性
• 4.單位元素的存在性 ，
• 5.反元素的存在性
• 6. 指數律
• 7.除法運算

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複數之型式

• z=a+bi，其中
• a=Re(z)，稱為 z 之實部；
• b=Im(z) ，稱為 z 之虛部

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複數四則運算之定義

• 若有二複數分別為 其四則運算為
• 加法：
• 減法：
• 乘法：
• 除法：

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第二節 集合

• 在日常生活中，常常會遇到集合（set）的觀念，例如某大學大一新生所組成的群體。這種由一些具有某特定性質的抽象或具體的事物（event）所組成的群體，就稱為集合，這些事物統稱為這個集合的元素（element）。上例中，該大學每一位大一新生都是這個集合的元素，其他的大學生則不是。在19世紀末葉，德國數學家 Cantor（1845-1918）創立了集合論，逐步發展為許多數學領域的基礎。

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定義：交集與聯集

• 設 A、B 為二個集合
• 1. ，稱為 A、B 的交集(intersection)

​

• 2. ，稱為 A、B 的聯集(union)

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【例1】

• 以丟一個骰子為例，說明集合的關係？
• 解：
• (1) ：表所有元素所形成的集合。
• (2) ：表偶數元素所形成的集合。
• (3) ：表元素≦3 所形成的集合。
• (4) ：表 A、B 的交集。
• (5) ：表 A、B 的聯集。

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定義：子集合與空集合

• 設 A、B 為二個集合
• 1.若 A 中的每一元素都是 B 中的元素(即 )，則稱 A 為 B 的子集合(subset)，記為 。若 ，而 時，稱集合 A 是集合 B 的真子集合，記為 。
• 2.若 ， A、B 的交集為空集合(empty set)

，稱兩集合 A 與 B 為互斥(disjoint)。

• 3. ，表示

， ， …， 這 n 個集合的交集。

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集合運算性質

• 以下所列的性質，均可藉由圖形的交集與聯集來證明。
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.
• 6.
• 7.

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第三節 函數與圖形

• 定義：區間
• 設 a、b 為二個實數，且 ，則以記號表一閉區間(closed interval)， 。
• 若 ，則以記號表一開區間(open interval)，

。a 與 b 稱為此區間的端點(end points)。

• 幾種不同的區間與圖形表示如下：

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• 1. ：稱為閉區間
• 2. ：稱為開區間
• 3. ：稱為半開區間
• 4. ：稱為半開區間
• 5. ：稱為無限區間
• 6. ：稱為無限區間
• 7. ：即一直線（整個實數軸）

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「函數」的觀念

• 「函數」的英語 function 一詞是由拉丁語 functio 轉變而來，一般我們稱函數 f(x)，其實就已經暗示了一組數的集合 {x} 與另外一組數的集合 { y }，二者之間具有 的運算關係，如下圖所示： �

X

f(x)

y

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定義：函數

• 設 A、B 是二個非空集合，f 表示 A、B 之對應關係，對每一個 x∈A，都有唯一的 y=f(x)∈B 與它對應，則稱 f 為一個從 A 映射（mapping）到 B 之函數，記為 f：A→B。
• 【例4】函數 ，試求
• 解：

​

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映射的種類

• 1.令 f 為 A 映至 B 的函數，對每一個 x1, x2∈A，其中 x1≠x2，使得 ，則稱 f 為嵌射（injection）或一對一（one-to-one）函數。換句話說，若

，則必 x1= x2。也就是說，f 把定義域 A 中的相異元素，都對應至不同的值。

• 2.對每一個 y∈B，恆存在 x∈A，使得 ，則稱 f 為蓋射（surjection）或映成（onto）。也就是說，對於 B 中的每一個元素，必有 A 中的某個元素與之對應。
• 3.如果 f 為一對一且映成，則稱 f 為對射(bijection)

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函數對應法則

• 函數的對應法則為
• （1）可以一對一，
• （2）可以多對一，
• （3）不可以一對多，
• （4）不可以一對無。
• 各種映射的分類如圖示

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垂直線判斷法

• 如果一垂直線與圖形有二個交點以上，則不為函數，如下圖所示，因為已成為一對多關係，違反函數對應法則。

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反函數(inverse function)定義

• 若 f 為從 A 映射到 B 之一對一函數，對每一個 而言，函數 必定只有一個解，即唯一存在一個 使得 。因此也必定有一個函數 g：B→A 使得每一個 ，都會有 的對應關係。我們稱函數 g 為函數 f 的反函數，函數 g 通常記為 ，函數 f 稱為可逆函數。用數學式表示為：若

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反函數之性質

• 1.
• 2.
• 3. ，可利用此關係式求出反函數。

​

• 【例9】設 ，若f為可逆函數，求其反函數。
• 解：

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第一章 預備知識

反函數之性質

• 1.
• 2.
• 3. ，可利用此關係式求出反函數。

​

• 【例9】設 ，若f為可逆函數，求其反函數。
• 解：依反函數的定義，有
• 由
• 本來函數f是由x映至y，反函數 是由y映至 x
• 在此還是將自變數改寫成一般較為習慣的x
• 故

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第一章 預備知識

對稱性證明

• 函數 f 與反函數 在 x-y 平面座標上其圖形對稱於直線 x=y .
• 當 時，有
• 同理，當 時，有
• 則對於函數 f 的圖形上一點 (a,b) ，必有一點 (b,a) 在 的圖形上與之相對稱於直線 x=y

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函數的單調性

• 1.單調遞增（monotony increasing）：對於在函數 f 定義域內的所有 而言，若 則 恆成立，則稱 f(x) 為單調遞增函數。
• 2.單調遞減（monotony decreasing）：對於在函數 f 定義域內的所有 而言，若 則 恆成立，則稱 f(x) 為單調遞減函數。
• 3.嚴格遞增（或遞減）（strictly monotony increasing or decreasing）：上面關係式中去掉等號，則稱 f 為嚴格遞增（或遞減）。

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函數的奇偶性

• 1.奇函數（odd function）：

一函數若滿足 ，則稱 f 為奇函數。

• 2.偶函數（even function）：

一函數若滿足 ，則稱 f 為偶函數。

• 注意：奇函數之圖形對稱於原點，偶函數之圖形對稱於 y軸。奇函數與偶函數並不包含所有的函數，有許多函數既不奇，也不偶。

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【例10】試判斷下列函數的奇偶性。

• (1)
• (2)

​

• (3)
• 解：

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【例10】試判斷下列函數的奇偶性。

• (1)
• (2)

​

• (3)
• 解：
• (1) ，偶函數。
• (2) ，奇函數。

​

• (3) ，二者皆非。

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函數的結合

• 兩個函數 f 與 g 可以做和、差、積、商的結合，分別表記為 ， ， ， ，運算如下：

​

​

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函數的合成

• 若 f：A→B，g：C→D，且 ，則 ，

為 g 與 f 的合成函數。

• 注意： ， ，
• 一般並不成立。

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【例12】設 ，試求

• 解：

​

​

​

​

• 【例13】設 ， ，試求
• 解：

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【例12】設 ，試求

• 解：

​

​

​

​

• 【例13】設 ， ，試求
• 解：

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定義：指數函數(exponential function)

• 一函數的對應關係為 （ ， ， 為定數），即 稱之為指數函數。其中 稱為底，當 時，被稱為自然指數。
• 因為 ，指數函數一定通過 這一點，圖形如下。

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指數函數運算

• (1) ，
• (2)
• (3)

​

• (4)
• (5)

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定義：對數函數(logarithm function)

• 一函數的對應關係為 （ ， ，

為定數， ），即 稱之為指數函數。其中 稱為底，當 時，被稱為自然對數，通常 習慣被寫為 。因為

，指數函數一定通過 這一點，圖形如下。

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對數函數運算

• (1) （換底公式）

​

• (2)
• (3)

​

• (4)
• (5)

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指數函數換底公式

• （兩邊取對數即可證明之）
• 即任意底 的指數，可以轉換為以自然指數為底的函數。
• 例如

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第四節 函數在商業上之應用

• 一、供給與需求函數
• 自由市場經濟下，商品的供給或消費與商品的單位價格有關。供給函數表示製造者在「其他條件（如生產技術、其他財貨價格等）不變」的情況之下，願意製造生產x個物件所必需的價格p，可視為價格的函數，寫成p=S(x)。所反映的是：生產者所願意、且能夠生產和供給某種商品的數量，和這種商品價格之間的關係。自由競爭下，通常商品的價格增加會誘使生產者增加供應該商品；反之，價格降低會使生產者降低生產該商品的意願而減少供給。供給函數為遞增函數，x和p皆為非負，位於第一象限，呈左下右上關係。

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一、供給與需求函數

• 需求函數則表示消費者在「其他條件（如個人所得、偏好等）不變」的情況之下，購買x個物件受價格p的影響最大，所必需的價格為p，寫成p=D(x)。所反映的是：消費者所願意、且有能力購買某種產品的數量和產品價格之間的關係。消費者對商品的需求則隨著價格p降低時，需求量x會增加；價格p增加時，需求量x則減少。需求函數為遞減函數，位於第一象限，呈右上左下關係。

​

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二、市場均衡分析

• 自由競爭下，如果價格過高，消費者將不會購買；如果價格過低，生產者則不願意供給。最後在雙方同意的條件下，一手交錢、一手交貨，交易完成，供給等於需求，達到市場均衡(market equilibrium)。市場均衡時，生產量等於需求量，稱為均衡量(equilibrium quantity)，對應的價格稱為均衡價格(equilibrium price)，亦即供給曲線和需求曲線的交點，以

表示

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三、銷售分析

• 良好的企業經營或經濟景氣時，銷售額會與日俱增隨時間而成長。

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四、成本分析

• 製造生產商品時，生產總成本通常和產量具有高度關係，以C=C(x) 表示生產x單位所需的總成本。在某生產水準下，有時成本會下降很快，可以二次函數來表達，例如 。又有時總成本隨著產量增加而增加，是固定成本（fixed cost，FC）與變動成本（variable cost，VC）的和。固定成本常指生產設備或辦公設備的設置成本，與生產的商品數量無關；變動成本則因生產商品的數量增加而增加。

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五、損益平衡分析

• 今以x表示生產某商品的單位數，p表示商品的單位價格，R=R(x)=px表示銷售x單位的收入（revenue），P=P(x) 表示銷售利潤（profit）， 生產或銷售x單位的總成本為C=C(x)，三者的關係為

當 R(x)>C(x) 時，P(x)>0 為獲利情況；R(x)<C(x) 時， P(x)<0 處虧損情況。R(x)=C(x) 時，P(x)=0 為損益平衡狀況

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六、複利

• 一筆借貸資金於於一定期間（如一年、半年、三個月等）期末，將當期所孳生利息，併入原來本金不予提領，作為下期新本金的作法稱為複利法。原始本金通常以P表示，代表現值（present value）的觀念；期末本利和通常以F表示，代表終值（future value）。假設每期利率均為r，則n期後的終值為

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七、名目利率與實質利率

• 由上述得知，借貸或投資時實際所賺得的利息，除了年利率之外，端視每年複利的次數而定。一年內複利愈多次，利息愈多，就好像依照某一較高的利率一年計息一次來計算，結果相同。所以利率有名目利率(nominal interest rate)和實質利率（effective interest rate）之分。我們平常在銀行或郵局看到的牌告利率為名目利率，實質利率則為將一年實際所得利息折合而得的利率，計算如下：
• 其中 k 表示實質利率，r 為名目利率，m為每年複利次數。若一年複利一次，m=1，k=r，實質利率等於名目利率；一年複利超過一次時，m>1，實質利率大於名目利率。

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八、連續複利

• 每年複利次數愈多，實質利率愈大。若複利次數無窮增加，即兩次複利之間的間隔時間無限減小，稱為連續複利（continuously compounded）。

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• 其中 e 為自然指數（ ）。所以連續複利方式計息，複利終值將以自然指數的方式成長，t 年後的本利和為

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