שיעור: משפט תאלס
גאומטריה
תאלס - האיש
משפט תאלס-מבוא.
משפט תאלס-מבוא.
משפט תאלס-מבוא.
משפט תאלס- הניסוח.
משפט תאלס-משפטי עזר.
משפט תאלס-משפט עזר 1: פרופורציית שטחים-קטעים.
משפט תאלס-משפט עזר 1-מה צ"ל?
משפט תאלס-משפט עזר 1-הוכחה-הורדת גובה.
משפט תאלס-משפט עזר 1-הוכחה-הורדת גובה.
משפט תאלס-משפט עזר 1-הוכחה-חישובי שטחים.
משפט תאלס-משפט עזר 1-הוכחה-חישובי שטחים.
משפט תאלס-משפט עזר 1-הוכחה-חישוב יחס שטחים.
תרגיל 1.
פתרון תרגיל 1.
פתרון תרגיל 1.
פתרון תרגיל 1.
פתרון תרגיל 1.
פתרון תרגיל 1.
משפט תאלס-משפט עזר 2: שוויון שטחי משולשים.
משפט תאלס-משפט עזר 2-הנתון.
משפט תאלס-משפט עזר 2-מה צ"ל?
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-הורדת גבהים.
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-מסקנה.
�
�
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-מסקנה.
�
�
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-מסקנה.
�
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-מסקנה.
�
משפט תאלס-משפט עזר 2-הוכחה-מסקנה.
משפט תאלס- הניסוח.
משפט תאלס- הנתון.
משפט תאלס- הנתון והצ"ל.
משפט תאלס- בניית עזר ראשונה.
משפט תאלס- פרופורציה ראשונה.
משפט תאלס- בניית עזר שנייה.
משפט תאלס- פרופורציה שנייה.
משפט תאלס- תכנון הסיום.
�לצורך השלמת ההוכחה, עלינו להוכיח כי אגפי ימין בשתי הפרופורציות האחרונות שווים זה לזה.
משפט תאלס- שוויון מכני אגף שמאל.
נשים לב כי באגפים השמאליים�בפרופורציות האחרונות המונים זהים.
משפט תאלס- הסבר להמשך.
נשים לב כי באגפים השמאליים�בפרופורציות האחרונות המונים זהים.�נוכיח כי גם המכנים שווים, ומכאן תתקבל פרופורציה בין האגפים השמאליים ולכן גם פרופורציה בין האגפים הימניים.
משפט תאלס- שוויון מכני אגפי שמאל.
מכיוון ש- , (נתון).� נקבל ממשפט עזר 2: .�
משפט תאלס- שוויון אגפי שמאל.
.
קיבלנו כי באגפי שמאל של שוויונות 1) ו- 2) מונים זהים ומכנים שווים.
מסקנה: האגפים השמאליים שווים:
משפט תאלס- סיום ההוכחה.
מסקנה: האגפים השמאליים שווים:
שוויון האגפים השמאליים מחייב את שוויון האגפים הימניים: � .
מש"ל.
עיון במבנה ההוכחה.
תרגיל 2.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חשב את AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבע את AF בעזרת a, b, c.
ג.* בעזרת תוצאת סעיף ב,� ללא כל חישוב נוסף,� הביעו את FB בעזרת a,b,c.� הסבירו.
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: .
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: . �AE ו-EC נתונים.��
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: . �AE ו-EC נתונים.�נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=15-AF.
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: . �AE ו-EC נתונים.�נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=15-AF.�נציב במשפט תאלס ונקבל משוואה בנעלם AF: .�
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: . �AE ו-EC נתונים.�נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=15-AF.�נציב במשפט תאלס ונקבל משוואה בנעלם AF: .
פתרון תרגיל 2 סעיף א.
א. נתון: 15ס"מ=AB , 4ס"מ=EC , 6ס"מ=AE.
חישוב AF: �ממשפט תאלס: . �AE ו-EC נתונים.�נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=15-AF.�נציב במשפט תאלס ונקבל משוואה בנעלם AF: .
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-בניית משוואה.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-בניית משוואה.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-בניית משוואה.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-בניית משוואה.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-חילוץ AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-חילוץ AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-חילוץ AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)����
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-חילוץ AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)������
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-חילוץ AF.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)�������
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-סיום.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)������תשובה סופית: ��
פתרון תרגיל 2 סעיף ב-סיום.
ב. נתון: AE=a, EC=b, AB=c.� הבעת AF בעזרת a, b, c:�באופן דומה לסעיף א: (משפט תאלס). �נביע את FB בעזרת AF: FB=AB-AF=c-AF.�נציב במשפט תאלס: �ונחלץ את AF: (נסו)������תשובה סופית: �לצורך הסעיף הבא נרשום זאת גם כך:�
פתרון תרגיל 2 סעיף ג*.
ג.* בעזרת תוצאת סעיף ב,� ללא כל חישוב נוסף,� הביעו את FB בעזרת a,b,c.� הסבירו.�פתרון: בסעיף ב קיבלנו: .��כלומר AF הוא החלק של c.�FB משלים את AF לשלם c.�החלק המשלים את לשלם�הוא: (נמקו).�לכן FB הוא החלק של c. �תשובה: ���
פתרון תרגיל 2 סעיף ג*.
ג.* בעזרת תוצאת סעיף ב,� ללא כל חישוב נוסף,� הביעו את FB בעזרת a,b,c.� הסבירו.�פתרון: בסעיף ב קיבלנו: .��כלומר AF הוא החלק של c.�FB משלים את AF לשלם c.�החלק המשלים את לשלם�הוא: (נמקו).�לכן FB הוא החלק של c. �תשובה: ���(נסו לקבל תוצאה זו גם על ידי חיסור של מ-c)
תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה. (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE (כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.�חשב את: EF.
תרגיל 3-הדרכה.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה. (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE (כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.�חשב את: EF.
הדרכה: העבר ישר מקביל ל-AB דרך E.
פתרון תרגיל 3-הדרכה.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה.�(ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ= AE(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.�חשב את: EF.
הדרכה: העבר ישר מקביל ל-AB דרך E.�נסמן ב-D את נקודת החיתוך בין BC והמקביל ל-AB דרך E.�וב-x את EF.
פתרון תרגיל 3-הדרכה.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה.�(ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ= AE(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.�חשב את: EF.
הדרכה: העבר ישר מקביל ל-AB דרך E.�נסמן ב-D את נקודת החיתוך בין BC והמקביל ל-AB דרך E.�וב-x את EF.�כעת, נוכל ליישם את משפט תאלס�עבור שוקי הזווית C.�( ).
פתרון תרגיל 3-הדרכה.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה.�(ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ= AE(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.�חשב את: EF.
הדרכה: העבר ישר מקביל ל-AB דרך E.�נסמן ב-D את נקודת החיתוך בין BC והמקביל ל-AB דרך E.�וב-x את EF.�כעת, נוכל ליישם את משפט תאלס�עבור שוקי הזווית C.�( ).�סמנו בכחול את הקטעים�הקרובים לקדקוד C,�ובאדום את הקטעים הרחוקים מהקדקוד C.
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE (כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE (כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:
EFBD מקבילית (נמקו).
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:
EFBD מקבילית (נמקו).
BD=EF=x (נמקו).�
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:
EFBD מקבילית (נמקו).
BD=EF=x (נמקו).�CD=8.75-x
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:� EFBD מקבילית (נמקו).�BD=EF=x (נמקו).�CD=8.75-x.�ניישם את משפט תאלס עבור . ��
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:� EFBD מקבילית (נמקו).�BD=EF=x (נמקו).�CD=8.75-x. �ניישם את משפט תאלס עבור . �
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:� EFBD מקבילית (נמקו).�BD=EF=x (נמקו).�CD=8.75-x.� ����פתרו משוואה זו.
פתרון תרגיל 3.
במשולש ABC מעבירים ישר מקביל לצלע BC החותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות F ו-E בהתאמה (ראה שרטוט).
נתון: 4ס"מ=EC, 6ס"מ=AE.(כמו בתרגיל הקודם).�8.75ס"מ=BC.��חישוב EF:� EFBD מקבילית (נמקו).�BD=EF=x (נמקו).�CD=8.75-x.�����פתרון: 5.25ס"מ=EF.
סיכום השיעור
בשיעור זה למדנו:
סוף