«ПЛОЩАДЬ»
Сабурова Татьяна Викторовна,
учитель математики МАОУ Политехническая гимназия
Нижний Тагил Свердловская область
Определение
Площадь – неотрицательное число, которое ставится в соответствие ограниченной плоской фигуре, обладающее следующими свойствами:
Рельсы Евклида
Задача 1. Точка М взята внутри параллелограмма АВСD и соединена со всеми его вершинами. Площадь заштрихованной части равна S. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Теорема Пифагора.� В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.� � Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.�Доказательство времен Евклида��
Лемма «о крыльях бабочки». Диагонали трапеции АВСD (АD∥ВС) пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники АМВ и СМD равновелики.
Лемма «о медиане треугольника». Медиана ВМ треугольника АВС делит его на два равновеликих.
Задача 2. Через произвольную точку на стороне треугольника проведите прямую, делящую его на две равновеликие части.
Задача 3. Разделите на три равновеликие части двумя прямыми, выходящими из одной вершины:
а). треугольник;
б). параллелограмм;
в). выпуклый четырехугольник.
Задача 4. На стороне треугольника как на диаметре построен полукруг. Проведите прямую, делящую эту фигуру на две равновеликие части.
Задача М2590 (задачник журнала «Квант»)
В остроугольном треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности, H – основание высоты, проведенной из точки A, а M и N –проекции точки H на AC и AB соответственно.
Докажите, что ломаная MON делит площадь треугольника ABC пополам.
Лемма «о ласточкином хвосте». Если на чевиане ВD треугольника АВС выбрана точка М, то площади треугольников АВМ и ВСМ относятся как АD и СD.
Задача 5. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки В1 и А1 соответственно так, что АВ1 : В1С = СА1 : А1В = 1 : 2. Отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М. Найдите отношение, в котором точка М делит отрезки АА1 и ВВ1.
Лемма «о линолеуме»
Несколько кусков линолеума лежат на полу комнаты.
При этом каждая точка пола покрыта линолеумом не более, чем в два слоя.
Площадь пола, покрытая дважды, равна площади, не покрытой ни разу, тогда и только тогда, когда общая площадь линолеума равна площади комнаты.
Задача 7. На соседних сторонах прямоугольника отмечены точки N и M. Докажите, что сумма площадей серых многоугольников равна площади черного многоугольника.
Задача 8. Точка A1 — середина стороны BC треугольника ABC, а точки B1, B2 и B3 делят сторону AC на четыре равных отрезка. Докажите, что площадь серой области равна площади черной.
Задача 9. На сторонах параллелограмма выбраны точки и построили ломаные. Известны площади некоторых частей, найдите площадь выделенной части.
Задача 10. Составьте задачу, взяв за основу правильный шестиугольник.
Спасибо за внимание)))