Himpunan

Pengertian Himpunan

Notasi dan Penyajian

Kesamaan Himpunan

Himpunan Berhingga, Himpunan Kosong, dan Himpunan Tak hingga

Himpunan Bagian, Himpunan Semesta, dan Himpunan Kuasa

Penyajian Himpunan

dengan Diagram Venn

dan Penerapannya

dalam Pemecahan

Masalah

Masalah Kontekstual

Operasi Biner pada Himpunan

Operasi Uner pada Himpunan

Pemecahan Masalah Menggunakan Himpunan

Berikut adalah definisi himpunan:

Cara lain untuk menuliskan sebuah himpunan ialah dengan mendaftar anggota-anggotanya di antara dua tanda kurung kurawal.

1. A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu. Penulisan himpunan A dilakukan seperti berikut.

A = {Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}

2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari atau sama dengan 5.

Penulisan himpunan B ditulis seperti berikut.

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Bagaimana cara menuliskan suatu himpunan jika jumlah anggotanya sangat banyak dan terhingga? Penulisannya dilakukan dengan cara menuliskan minimal empat anggota pertama. Lalu, dilanjutkan dengan tanda titik sebanyak tiga dan diakhiri dengan menulis anggota terakhir dari himpunan tersebut.

Contoh Soal

Tuliskan himpunan C dengan cara mendaftar jika diketahui C adalah himpunan bilangan asli dari 1 sampai dengan 1.000.

Jawab:

Dengan cara mendaftar, cara penulisannya ialah seperti berikut.

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 1.000}

Dalam bentuk paling sederhana, cukup menuliskan empat anggota pertama dari

himpunan C, dilanjutkan dengan tiga titik dan diakhiri dengan penulisan anggota terakhir.

C = {1, 2, 3, 4, . . . , 1.000}

Secara umum, aturan penulisan himpunan dengan cara mendaftar dilakukan dengan cara berikut.

Contoh Soal

Tuliskan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan.

E adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari 4

Jawab:

Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, cara penulisannya adalah

E = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 4}

dibaca “E adalah himpunan semua x dengan syarat x bilangan bulat positif kurang dari 4“.

Jika ada pertanyaan seperti “mungkinkah ada dua himpunan yang sama?“ atau “mungkinkah ada dua himpunan yang sama bahkan jika lebih dari dua himpunan?“. Secara umum, dua himpunan atau lebih dikatakan sama, jika himpunan-himpunan tersebut memenuhi definisi berikut.

Contoh Soal

Pada himpunan, jika banyak anggotanya dapat dihitung maka himpunan itu disebut himpunan berhingga. Jika tidak mempunyai anggota maka himpunan itu disebut himpunan kosong. Jika anggotanya banyak dan tak terhitung maka himpunan itu disebut himpunan tak hingga. Sementara itu, jika suatu himpunan berupa himpunan kosong, maka banyaknya anggota himpunan itu adalah 0 (nol).

Misalkan diketahui himpunan-himpunan seperti berikut.

A = {a}, B = {a, b}, dan C = {a, b, c}.

A ⊂ B ⊂ C dibaca “A termuat dalam B dan B termuat dalam C“ atau “A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari C“.

Contoh Soal

Himpunan semesta merupakan kebalikan dari himpunan bagian. Contohnya, H = {a, b, c, d, e}.

Karena banyaknya anggota H adalah 5 elemen, maka n(H) = n = 5. Jadi, total banyaknya himpunan bagian dari H adalah n(H) = 2ⁿ = 2⁵ = 32. Himpunan semesta dari ke-32 himpunan bagian tersebut adalah himpunan bagian terbesarnya.

​

Himpunan semesta pada umumnya ditulis dengan lambing S, sehingga semesta dari semua himpunan bagian dari H adalah himpunan S yang merupakan himpunan H itu sendiri, yakni

S = H = {a, b, c, d, e}. Secara formal (matematika), definisi dari himpunan semesta adalah sebagai berikut.

Misalkan himpunan semesta S beranggotakan tiga elemen, yakni S = {a, b, c}. “Bagaimana cara menentukan semua himpunan bagian dari himpunan S?“.

Selidiki bahwa himpunan bagian dari S yang beranggotakan nol elemen adalah ∅. Himpunan bagian dari S yang beranggotakan satu elemen adalah {a}, {b}, {c}. Selanjutnya, himpunan bagian dari S yang beranggotakan dua elemen adalah {a, b}, {a, c}, {b, c}. Terakhir, himpunan bagian dari S yang beranggotakan 3 elemen adalah S itu sendiri yakni S = {a, b, c}.

Kini, dari semua himpunan bagian S yang terdiri atas Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, dan {a, b, c} kita bentuk himpunan baru berupa:

​

Jadi, HS disebut himpunan kuasa dari S yang himpunan terbesarnya adalah S = {a, b, c}.

Operasi biner adalah operasi yang dilakukan antara dua unsur sehingga dihasilkan unsur tunggal. Pada himpunan, operasi biner yang dimaksud terdiri dari irisan (intersection), gabungan (union), selisih (difference), dan perkalian (multiplication). Sementara operasi uner adalah operasi yang dilakukan terhadap sebuah unsur sehingga dihasilkan unsur tunggal.

Diketahui A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f }. Gambarkan diagram Venn dari kedua himpunan tersebut, kemudian tentukan himpunan-himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B. Gambarkan juga diagram Venn dari setiap himpunan tersebut.

Jawab:

Perhatikan bahwa himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f} saling beririsan. Irisannya adalah {b, d, e}, sehingga diagram Venn dari himpunan A dan B berpotongan. Dengan demikian, setiap diagram Venn dari himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B adalah sebagai berikut.

​

​

​

​

Berdasarkan diagram Venn tersebut, hasil operasi biner dari himpunan A dan B adalah:

A ∩ B = {b, d, e}, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }, dan A – B = {a, c}.

Pada himpunan, satu-satunya operasi yang berupa operasi uner adalah operasi komplemen (ingkaran) dari suatu himpunan. Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang semua elemennya anggota S tetapi bukan anggota A, ditulis dengan lambang Ac atau A’.

Contoh Soal

Diketahui semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A dan B adalah himpunan-himpunan dalam semesta S dengan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 7}. Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan antara ketiga himpunan S, A, dan B. Berdasarkan diagram Venn tersebut, tuliskan

dengan cara mendaftar himpunan setiap irisan, gabungan, dan selisih.

Jawab:

Himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, d, e, f} saling beririsan. Irisannya adalah {b, d, e}, sehingga diagram Venn dari himpunan A dan B berpotongan. Dengan demikian, setiap diagram Venn dari himpunan A ∩ B, A ∪ B, dan A – B adalah sebagai berikut.

Diagram Venn yang memperlihatkan hubungan antara ketiga himpunan S, A, dan B tersebut adalah

​

​

Untuk setiap dua himpunan A dan B, berlaku:

​

​

​

Rumus di atas dikenal sebagai rumus umum banyak anggota dua himpunan. Rumus tersebut berlaku secara umum, artinya berlaku untuk semua relasi antara dua himpunan. Dengan menggunakan rumus tersebut memungkinkan kita untuk menjawab masalah kontekstual yang diberikan di awal tentang penerapan himpunan dalam pemecahan masalah.

Pada sebuah wilayah RT (Rukun Tetangga) yang terdiri dari 16 KK (Kepala Keluarga) terdapat 10 KK yang memiliki sepeda motor, 6 KK memiliki mobil, dan 3 KK tidak memiliki sepeda motor maupun mobil. Masalah yang ditanyakan adalah berapa KK yang memiliki mobil sekaligus memiliki sepeda motor?