APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

OBEJETIVOS

• Relacionar el lenguaje de las derivadas en problemas aplicados de razón de cambio.
• Conocer y utilizar el MODELO EXPONENCIAL
• Conocer y utilizar el MODELO CURVA DE APRENDIZAJE
• Conocer y utilizar el MODELO CURVA LOGÍSTICA
• Conocer y utilizar el MODELO EQUILIBRIO DEL MERCADO
• Conocer y utilizar el MODELO DE INVENTARIO
• Conocer y utilizar el MODELO ESCASEZ

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Significado de la derivada

La derivada es:

• La función pendiente de una función.
• Es una razón de cambio que indica como cambia la variable dependiente ante un cambio mínimo de la variable independiente.

El signo del resultado de la derivada es importante un signo (+) significa un crecimiento de la variable, un signo (-) representa un decrecimiento de la variable dependiente ante un cambio de la variable independiente.

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MODELO EXPONENCIAL

• Cuando la variable dependiente de una función varía proporcionalmente a sí mismo , correpon al modelo exponencial.
• Su ecuación diferencial luce :

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• Este modelo puede ser creciente o decreciente esto depende del signo de la constante de proporcionalidad de la ecuación.
• Esta constante tambien representa tasa de crecimiento o decrecimiento de la función solución.
• La solución es una Función exponencial.

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Resolución

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En qué se aplica el modelo exponencial

• Crecimientos poblacionales
• Crecimiento de bacterias
• Crecimiento de una inversion
• Depreciación.
• otros

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EJEMPLOS: CRECIMIENTO DE INVERSIONES

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MODELO DE CURVA DE APRENDIZAJE

Toda función cuya derivada es proporcional a la diferencia de una cota superior B y la variable dependiente, obedece a un modelo de curva de aprendizaje.

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Resolviendo la Ecuación:

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En que se utiliza este modelo:

• Modelar propagación de noticias
• Modelar propagación de enfermedades
• Modelar la productividad o eficiencia de un individuo.

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Modelación de noticias

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Propagación de enfermedades

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CURVA DE APRENDIZAJE

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Eficiencia de un individuo

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Ejemplo: Curva de aprendizaje

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EJEMPLO CURVA DE APRENDIZAJE

• EN UNA POBLACIÓN DE 4.000000 DE HABITANTES LLEGA EL COVID 19 , INICIALMENTE 10 HABITANTES DE LA POBLACIÓN LLEGARON CONTAGIADOS Y AL CABO DE 2 DIAS EL NÚMERO DE HABITANTES CONTAGIADOS ERA DE 2000, SE CONSIDERA QUE LA ENFERMEDAD SE PROPAGA DE MANERA PROPORCIONAL A LA CANTIDAD DE PERSONAS ENFERMAS.
• 1) PLANTEE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL PROBLEMA
• ENCUENTRA UNA FUNCIÓN QUE PRONOSTIQUE LA CANTIDAD DE PERSONAS ENFERMAS EN EL TIEMPO
• GRAFIQUE EL COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN
• ENCUENTRE CUANTAS PERSONAS HAY ENFERMAS AL TERMINO DE LA SEMANA.T=7

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Modelo de curva logística

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Curva logística

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OTROS MODELOS

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Ejemplo: Curva logística

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MODELO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO:SUPUESTOS

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SUPUESTO DE EQUILIBRIO

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Supuestos del modelo :�1)Función oferta y demanda son lineales y dependen del precio y su variación

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2) El mercado está en equilibrio

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Para determiner su estabilidad dinámica se pueden dar 3 casos:

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Ejemplo

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Modelo de Inventario

• Considerese un Mercado no en equilibrio, donde la oferta es mayor que la demanda.
• Este modelo considera que el el precio cambia en el tiempo proporcionalmente a las existencias del producto en el Mercado. Donde S(p) es la oferta y D(p) es la demanda.
• Lo que quiere el modelo es ver si bajo estas condiciones el precio se estabiliza en el tiempo.

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Ejemplo

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Solución

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EJEMPLO 2

• CONSIDERE LA FUNCIÓN DE OFERTA Y DEMANDA DE UN DETERMINADO PRODUCTO DEL MERCADO Q=10-2P Y Q=-4+6P, SE CONSIDERA LA VARIACION DE PRECIO DECRECE EN UN 30% DE LAS EXISTENCIAS. CONSIDERE T=0 P=$2
• A) PLANTEE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MODELO A APLICAR PARA ESTABILIZAR TENTATIVAMENTE EL MERCADO
• B) RESUELVA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ENCUENTRE EL PRECIO EN CUALQUIER TIEMPO
• C) SE LOGRO ESTABILIZAR EL MERCADO

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La gráfica de la solución

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MODELOS DE ESCASEZ

• EL MERCADO NO ESTA EQUILIBRADO
• LA DEMANDA SUPERA A LA OFERTA

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EJEMPLO

• CONSIDERE LA FUNCIÓN DE OFERTA Y DEMANDA DE UN DETERMINADO PRODUCTO DEL MERCADO Q=10-2P Y Q=-4+6P, SE CONSIDERA LA VARIACION DE PRECIO CRECE EN UN 30% DE LAS ESCASEZ DEL PRODUCTO. CONSIDERE T=0 P=$2
• A) PLANTEE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MODELO A APLICAR PARA ESTABILIZAR TENTATIVAMENTE EL MERCADO
• B) RESUELVA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ENCUENTRE EL PRECIO EN CUALQUIER TIEMPO
• C) SE LOGRO ESTABILIZAR EL MERCADO

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Conclusiones sobre modelos dinámicos

• Un modelo de Equilibrio del Mercado dinámicamente en el tiempo no aseguramos que permanezca en equilibrio.
• Un modelo de inventario se considera que hay mas existencias que lógicamente no equilibran al mercado sin embargo se puede considerar que ha largo plazo puede haber una convergencia.

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OTROS MODELOS

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Modelo poblacional considerando tambien la tasa de muertos: Análisis

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Modelo de curva de aprendizaje modificada

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Modelo de enfriamiento

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FIN

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