�III- Les annuités�

Généralités

• Il s’agit de sommes payables à des intervalles de temps égaux
• Les versements sont périodiques
• Les versements permettent soit de constituer un capital, soit de rembourser une dette
• L’objet de l’étude des annuités est de déterminer, à une date donnée, la valeur actuelle ou la valeur acquise d’une suite d’annuités.
• Les annuités peuvent être soit variables, soit constantes.

Evaluation d’une suite d’annuités variables

Exemple 1:

​

Pour constituer un capital, une personne verse 4 annuités variables:

12.000 le 1^er janvier 2006

17.500 le 1^er janvier 2007

8.900 le 1^er janvier 2008

10.000 le 1^er janvier 2009

1. Quelle est la valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité? (taux=5%)
2. Quelle est la valeur acquise 5 ans après le dernier versement?
3. Quelle et la valeur actuelle un an avant le 1^er versement?
4. Quelle est la valeur au moment du 3^ème versement?

12.000

17.500

8.900

10.000

1/1/06

1/1/07

1/1/08

1/1/09

1. Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité:

2. Valeur acquise 5 ans après le dernier versement:

3. Valeur actuelle 1an avant le premier versement:

4. Valeur au moment du 3^ème versement:

Exemple 2

Un commerçant emprunte le 01/03/2004 une somme d’argent au taux annuel de 12% qu’il s’engage à rembourser de la façon suivante:

10.000 dh le 01/09/2004

12.000 dh le 01/03/2005

13.000 dh le 01/09/2005

9.000 dh le 01/03/2006

Quel est le montant du capital emprunté?

Exemple 3

Une personne place les sommes suivantes:

5.000 dh le 01/01/05

5.200 dh le 01/01/06

7.500 dh le 01/01/07

6.800 dh le 01/01/08

Le 01/01/09, elle dispose d’un capital de 32.000 dh.

A quel taux a-t-elle fait ce placement?

​

Synthèse

Pour une suite d’annuités variables, l’évaluation à une date donnée, ne peut être obtenue qu’en faisant la somme des valeurs calculées séparément à cette date de chacune des annuités.

Evaluation d’une suite d’annuités constantes

​

• C’est le cas le plus fréquent

​

• Des formules permettent de faire les calculs plus rapidement.

Valeur acquise immédiatement après le dernier versement

2

3

1

0

k

n-1

n

a

a

a

a

a

a

Vn

Exemple:

On place à intérêts composés, chaque trimestre 1.000 dh pendant 15 trimestres consécutifs. Quel est le montant du capital ainsi constitué au moment du dernier versement au taux trimestriel 3%?

Valeur actuelle une période avant le 1^er versement

2

3

1

0

k

n-1

n

V0

a

a

a

a

a

a

Exemple:

Une entreprise s’engage auprès de son banquier à rembourser un emprunt par 16 trimestrialités de 25.000 dh chacune au taux annuel de 13%.

Quel est le montant de l’emprunt?

Evaluation à une époque quelconque

Exemple 1:

​

On constitue un capital par 12 versements semestriels consécutifs de 10.000 dh chacun. On cesse les versements et on laisse le capital porter I.C pendant 2 ans.

Calculer la Valeur acquise 2 ans après le dernier versement. Taux annuel de capitalisation 6,25%

Exemple 2

Une personne effectue un placement unique de x dh à intérêts composés au taux annuel de 7%. Quatre ans après ce placement, elle retire chaque année 25.000 dh. Au troisième retrait, le compte est épuisé.

Quel est le montant x du placement unique?

Exemple 3

On considère une suite de 8 mensualités de 500 dh chacune.

Déterminer, de différentes manières, la valeur à IC au taux mensuel de 1,25% de cette suite au moment de la 5^ième mensualité.

Cas ou le taux change

On place à intérêts composés 15 trimestrialités de 1.000 dh du 1^er janvier 2002 au 1^er juillet 2005, période pendant laquelle le taux varie:

​

​

​

​

Quelle est la valeur acquise de ce placement lors du dernier versement?

Changement du taux et du nombre d’annuités

Afin d’acquérir une machine de haute technologie, une entreprise emprunte auprès de sa banque 400.000 dh au taux de 14% et s’engage à rembourser sa dette en 15 versements annuels de 65.123,58; le premier versement ayant lieu un an après la mise à disposition de fonds. Les taux d’intérêts ayant baissé sur le marché financier, le banquier accepte de renégocier le contrat et de remplacer les 9 dernières annuités par 8 semestrialités constantes calculées au taux semestriel de 5,5% sur le montant de l’emprunt restant dû juste après le versement de la sixième annuité, la première semestrialité échéant 6 mois après le paiement de la sixième annuité.

Quel est le montant des semestrialités?

​

IV- Les emprunts indivis

Généralités

• Contracté auprès d’un prêteur unique
• Il s’agit essentiellement des prêts à la consommation aux particuliers, prêts immobiliers et des crédits à moyen terme.
• Les clauses du contrat entre parties précisent la duré de mise à disposition des fonds, le taux d’intérêt et les conditions de remboursement de l’emprunt.
• Chaque montant remboursé est constitué de deux parties: amortissement et intérêt.

1- Emprunts à amortissement constant

La valeur de l’amortissement est donnée par:

Exemple:

​

une société emprunte 200.000 DH amortissable sur 5 ans par amortissement constant. Le taux de l’emprunt est de 10%.

​

Le tableau d’amortissement se présente comme suit:

Tableau d’amortissement:

On passe d’une annuité à la suivante en enlevant la quantité

2- Emprunts à annuités constantes

• La valeur de l’annuité est constante dans le temps a
• Les amortissements sont en progression géométrique de raison (1+i)

​

• Reprenons l’exemple précédent et déterminons le montant de l’annuité et le tableau d’amortissement

Tableau d’amortissement de l’emprunt

3- Emprunt remboursé in fine

• L’emprunteur ne paye à la fin de chaque période que l’intérêt du capital emprunté
• Les annuités successives sont égales à
• La dernière annuité comprend également le remboursement du capital emprunté.

Tableau d’amortissement de l’emprunt

V- Emprunts obligataires

Généralités

• C’est un emprunt à long terme divisé en parts égales appelées obligations émis par un emprunteur «émetteur» et achetées par des tiers «obligataires ».
• L’émetteur s’engage à payer des intérêts et à rembourser la dette à une échéance convenue.

Caractéristiques d’un emprunt obligataire

• Valeur nominale: capital prêté par obligation, base de calcul des intérêts.
• Prix d’émission: prix payé par le prêteur, il peut être égale à la V.N, inférieur ou supérieur.
• Prix de remboursement: prix payé à l’échéance par l’emprunteur, parfois fixé à un montant supérieur au pair.
• Taux d’intérêt nominal: taux permettant de calculer le coupon
• Date de jouissance: date à partir de laquelle l’obligation porte intérêt, elle correspond généralement à la date de règlement.
• Durée: généralement entre 5 et 15 ans
• Modalités de remboursement: in fine; par annuités constantes; par amortissement constant.

Conventions de notation

• N: nombre total d’obligations émises
• V: valeur nominale d’une obligation
• C: montant global de l’emprunt. C=N*V
• R: prix de remboursement d’une obligation
• i: taux d’intérêt nominal
• Nk: nombre d’obligations amorties au tirage k
• ak: annuité versée à la période k
• Mk: amortissement de la période k.

1- Emprunt obligataire remboursable «in fine»

• L’émetteur verse à la fin de chaque année à l’ensemble des obligataires l’intérêt (montant total des coupons) :
• A la fin de l’emprunt, il verse l’intérêt et rembourse l’intégralité de la dette.

Exemple

Considérons un emprunt obligataire d’un montant de 1.000.000.000 représenté par 500.000 obligations de 2.000 DH nominal; taux d’intérêt 5,75% sur 7 ans, remboursé au pair in fine.

1. Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt
2. Idem si prime de remboursement de 100 DH.

Tableau d’amortissement 1

Tableau d’amortissement 2

2- Emprunt obligataire remb. par annuités constantes

• L’émetteur paye à la fin de chaque période une annuité pratiquement constante comprenant l’amortissement de certaines obligations et les coupons relatifs aux obligations encore vivantes
• Les obligations amorties sont en progression géométrique de raison (1+i) ou (1+(V/R)i)

​

​

​

Le nombre d’obligations amorties est entier.

​

Exemple 1

​

Un emprunt de 12.000.000 DH divisé en 8.000 obligations est émis par une SA, en Avril 2007. La durée de l’emprunt est de 5ans et le taux d’intérêt de 6%.

Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt à annuités constantes.

Exemple 2

Reprenons l’exemple précédant, en considérant cette fois-ci que le prix de remboursement est de 1.600DH par obligation.

Tableau d’amortissement

3- Emprunt obligataire remb. par amortissement constant

• L’emprunteur rachète, chaque année le même nombre d’obligations (N/n)
• Les annuités sont variables.
• Les annuités sont en progression arithmétique de raison

​

Exemple

Une entreprise émet 12.000 obligations de nominale 2.000 DH chacune. Amortissement constant sur 5 ans. Taux 5,25%.

​

Valeur d’une obligation à une date donnée

Valeur de l’obligation =

valeur cotée+valeur du coupon couru

​

Exemple:

Soit une obligation de nominale 2000 DH, intérêt 6% (120 DH par obligation) cours du jour 115% (% VN au pied du coupon); coupon couru 4 (%)

Valeur = 2300 + 80 =2380 DH

Taux de rendement actuariel brut

C’est le taux annuel qui assure l’équivalence entre le prix payé par l’obligataire et les sommes qu’il a reçues.

​

Exemple

Soit un emprunt obligataire (in fine) ayant les caractéristiques suivantes: V=2.000, n=5, R=2.250, i=5%. Déterminons le TRAB.

​

​

​

​

2.000

1

2

3

4

5

100

100

100

100

100

2250