1

Подібність

фігур

​

9 клас

2

Математика

є прообразом краси світу. 

​

​

​

(І. Кеплер)

3

Означення

Перетворенням подібності (подібність) називається таке перетворення фігури F у фігуру F₁ , унаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k >0).

F

F₁

A₁

B

B₁

Число k називається коефіцієнтом подібності.

Якщо k=1, то маємо переміщення.

Переміщення є окремим випадком подібності

А₁В₁ = k AB

Властивості перетворення подібності

1. Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки.
2. Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k=1
3. Перетворення подібності зберігає кути між променями

А

А₁

В

С₁

В₁

С

∆АВС ∞ ∆ А₁В₁С₁

5

Гомотетія

Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F₁, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х₁ фігури F₁ так, що точка Х₁ лежить на промені ОХ і ОХ₁ = k ОХ (k – фіксоване додатне число)

●

F₁

F

Х₁

Х

k – коефіцієнт гомотетії,

фігури

F і F₁ називають

гомотетичними

О

6

Гомотетія

є перетворенням подібності

О

А

В

С

А₁

В₁

С₁

F

F₁

7

Властивості гомотетії

При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе, відрізок – у паралельний йому відрізок, кут – у рівний йому кут.

​

На координатній площині гомотетія точок А(х,у) і В(х₁ ,у₁ ) задається формулами:

х₁ = k·x y₁ = k·y

​

​

Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворення

подібності з коефіцієнтом k

8

Властивості подібних фігур

Дві фігури називаються подібними,

якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності

1. Будь-яка фігура подібна сама собі: F ∞ F.
2. Якщо F₁ ∞ F ₂, то F₂ ∞ F₁.
3. Якщо F₁ ∞ F₂, а F₂ ∞ F₃, то F₁ ∞ F₃.
4. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: якщо

F ∞ F₁ з коефіцієнтом k, то S(F₁) : S(F) = k².

9

Працюємо разом

Завдання № 1 Побудуйте фігуру, яка гомотетична

заданому ∆АВС, прийнявши за центр гомотетії

вершину А, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює 2

Розв’язування:

1. Точка А – центр гомотетії і

вона перейде сама в себе;

2. Відкладемо від точки А на

промені АВ відрізок

АВ₁ = 2 · АВ;

3. Відкладемо від точки А

на промені АС відрізок

АС₁ = 2 · АС

В₁

А

С₁

С

В

10

Завдання № 2 При гомотетії точка Х переходить у точку Х₁ а точка N – у точку N₁.

Як знайти центр гомотетії, якщо точки Х, Х₁, N, N₁ не лежать на одні прямій?

Розв’язування:

З’єднаємо прямими точки Х і Х₁ та N з N₁.

Точка перетину прямих і є центром гомотетії

​

О

Х

N₁

Х₁

N

11

Завдання № 3 При гомотетії точка D переходить у точку D₁. Побудуйте центр гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії k=2.

D

D₁

O

Розв’язування:

На промені D₁D з початком в точці D₁ відкласти від точки D

відрізок ОD = D₁ D

12

Завдання № 4 Побудуйте фігуру, яка гомотетична чотирикутнику АВСD з коефіцієнтом гомотетії 0,5 і центром О – точкою перетину діагоналей.

О

В

С

D

А₁

D₁

В₁

С₁

Розв’язуваня:

Вікладемо від т.О на промені ОА відрізок ОА₁ = 0,5 ОА

​

Вікладемо від т.О на промені ОВ відрізок ОВ₁ = 0,5 ОВ

​

Вікладемо від т.О на промені ОС відрізок ОС₁ = 0,5 ОС

​

Вікладемо від т.О на

промені ОD відрізок

ОD₁ = 0,5 ОD

​

​

13

Гемотетичні фігури подібні, але подібні фігури не завжди гомотетичні (в гомотетії важливе розташування фігур

В орнаментах (на малюнку – фрактали) можна побачити безліч подібних фігур, але вони зазвичай не гомотетичні, тому в них неможливо визначити центр гомотетії