VEKTOR

Besaran Vektor

adalah suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah

​

• Perpindahan
• Kecepatan
• Percepatan
• Gaya
• Berat
• Medan listrik

adalah suatu besaran yang hanya memiliki nilai saja

​

• Jarak
• Kelajuan
• Suhu
• Volume
• Panjang
• Massa

Besaran Skalar

Besaran Vektor

Secara umum besaran vektor dapat digambarkan dengan menggunakan ruas garis berarah/ anak panah

Panjang ruas garis menyatakan

panjang vektor / besar vektor

Anak panah menyatakan arah vektor

A

B

u

Titik A adalah titik pangkal vektor

Titik B adalah titik ujung vektor

Vektor di samping dinamakan

AB atau u

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusat

koordinat O(0,0) dan titik ujungnya pada koordinat lain

​

𝑦

𝑥

O

K (𝟓,

2)

Vektor Posisi Titik pada 𝐑_𝟐

Contoh :

𝑦

𝑥

Vektor posisi titik P ialah :

p = OP =

5

2

Vektor posisi titik Q ialah :

q = OQ =

−3

5

Jika koordinat suatu titik P(𝑥, 𝑦),

𝑥

vektor posisi titik tersebut adalah p = OP = _𝑦

Vektor di 𝐑_𝟐

Vektor di R₂ dinyatakan sebagai

bilangan

secara tegak

yang

atau

pasangan dituliskan mendatar

AB =

4

3

atau AB =

4 3

*dari titik A ke kanan 4 satuan dan ke atas 3 satuan sampai di titik B

A

B

4 satuan

3 satuan

Contoh :

Contoh :

CD =

−6

2

atau CD =

−6 2

*dari titik C ke kiri 6 satuan dan ke atas 2 satuan sampai di titik D

C

6 satuan

D

​

2 satuan

Latihan.. Tentukanlah vektor di R₂

a

b

c

d

e

_f

g

h

Bentuk Umum Vektor di 𝐑_𝟐

Ayo menentukan vektor

1. Diketahui koordinat titik A(2, 5) dan B(−4, 2). Tentukanlah vektor AB dan vektor BA.

2. Jika vektor CD =

7

3

dan titik C(−1, 2). Berapakah koordinat titik D ?

3. Jika vektor EF =

3

−4

dan titik E(−3, 5). Berapakah koordinat titik F ?

4. Jika vektor KL =

−7

−2

dan titik L(−5, −3). Berapakah koordinat titik K ?

5. Jika vektor MN =

−6

−3

dan titik N(−1, −2). Berapakah koordinat titik M ?

Panjang Vektor 𝐑_𝟐

Kesamaan Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika panjangnya sama dan arahnya juga sama

a =

−3

2

b =

−3

2

c =

3

−2

d =

3

2

Jadi,

vektor u =

𝑥₁

𝑦₁

dan v =

𝑥₂

𝑦₂

sama jika dan hanya jika 𝑥₁ = 𝑥₂ dan 𝑦₁ = 𝑦₂

Vektor Nol

• Vektor Nol adalah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya

sama (berimpit)

• Vektor Nol memiliki panjang nol dan arah tak tentu
• Contoh : 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝑃𝑃
• Vektor Nol dituliskan dengan notasi 0 atau 𝑜

Lawan Suatu Vektor

Vektor −AB memiliki panjang yang

sama dengan vektor AB, tapi vektor

− AB berlawanan arah dengan vektor AB.

Nah, vektor −AB adalah lawan dari

vektor AB.

A

B

A

B

𝐀𝐁

𝒖

𝐁𝐀 = −𝐀𝐁

−𝒖

Vektor Unit dan Vektor Basis 𝐑_𝟐

Kuis ☺

Vektor posisi titik P ialah :

𝑥

𝑦

Diketahui titik C(−3, 2) dan D(−1, 4). Maka vektor CD = ? ? ?

OPERASI VEKTOR

Perkalian vektor dengan sebuah skalar Penjumlahan Vektor

Selisih Dua Vektor Perbandingan Vektor

Penjumlahan Vektor

Aturan segitiga

Aturan jajargenjang

Aturan poligon

Cara geometri

*catatan : jumlah dua vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan

Penjumlahan vektor dengan aturan segitiga

𝒖

𝒖

𝒗

𝒗

𝒖 + 𝒗

𝒖 =

𝟓

𝟎

𝒗 =

𝟐

𝟑

𝒖 + 𝒗 =

𝟕

𝟑

𝒖 + 𝒗 =

𝟓

𝟎

+

𝟐

𝟑

=

𝟕

𝟑

Penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang

𝒖

𝒖

𝒗

𝒗

𝒖 + 𝒗

𝒖 =

𝟓

𝟎

𝒗 =

𝟐

𝟑

𝒖 + 𝒗 =

𝟕

𝟑

𝒖 + 𝒗 =

𝟓

𝟎

+

𝟐

𝟑

=

𝟕

𝟑

Penjumlahan vektor dengan aturan poligon

𝒖

𝒖

𝒗

𝒗

𝒖 + 𝒗 + 𝒘

𝒗 =

𝟐

𝟑

𝒖 + 𝒗 + 𝒘 =

𝟓

𝟒

𝒘

𝒘

𝒖 =

𝟓

𝟎

𝒘 =

−𝟐

𝟏

𝒖 + 𝒗

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟎

𝒃

𝒂

𝒅

𝒄

𝒂

𝒃

𝒄

𝒅

Secara Aljabar

Aturan segitiga

Aturan jajargenjang

Selisih Dua Vektor

Cara geometri

Selisih dua vektor (dengan aturan segitiga)

𝒖

𝒗

𝒖 − 𝒗

𝒖 =

𝟓

𝟎

−𝒗 =

−𝟐

−𝟑

𝒖 − 𝒗 =

𝟑

−𝟑

−𝒗

𝒖

−𝒗

𝒖 − 𝒗 = 𝒖 + (−𝒗)

𝒖 − 𝒗 =

𝟓

𝟎

−

𝟐

𝟑

=

𝟑

−𝟑

Selisih dua vektor (dengan aturan jajargenjang)

𝒖

𝒖

𝒗

−𝒗

𝒖 − 𝒗

𝒖 =

𝟓

𝟎

−𝒗 =

−𝟐

−𝟑

𝒖 − 𝒗 =

𝟑

−𝟑

−𝒗

𝒖 − 𝒗 =

𝟓

𝟎

−

𝟐

𝟑

=

𝟑

−𝟑

Secara Aljabar

𝒂

𝒃

𝒄

𝒅

Tentukanlah hasil penjumlahan dan

pengurangan vektor-vektor berikut

secara

geometri segitiga/

menggunakan jajargenjang/

metode

poligon dan secara aljabar.

1. 𝑎 + 𝑐

2. 𝑏 + 𝑑

3. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

4. 𝑎 − 𝑑

5. 𝑏 − 𝑐

6. 𝑎 + 2𝑑

7. 𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑

8. 𝑎 − 2𝑑

9. 3𝑐 − 2𝑑

2

10. ¹ 𝑎 − 𝑑

Catatan Tambahan

𝒖

𝒖

𝒗

𝒗

𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪

𝑨

𝑩

𝑩

𝑪

𝑨

𝑩

𝑪

1. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴

Tentukanlah hasil penjumlahan vektor-vektor berikut dengan menggunakan aturan penjumlahan dua vektor.

2. 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷

3. 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 + 𝐶𝑅

4. 𝑃𝑄 + 𝑃𝑅 + 𝑄𝑅

5. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴

Perkalian Sebuah Vektor dengan Skalar

𝒖

𝟐𝒖

3𝒖

−𝟐𝒖

Cara geometri

𝒖 =

𝟐

𝟏

𝟐𝒖 =

𝟒

𝟐

𝟑𝒖 =

𝟔

𝟑

−𝟐𝒖 =

−𝟒

−𝟐

Cara aljabar

Untuk suatu bilangan m dan vektor v pada dimensi R₂

𝑥_𝑣

Jika v = _𝑦𝑣

𝑥_𝑣

maka m v = m × _𝑦𝑣

m × 𝑥_𝑣

⁼ m × 𝑦_𝑣

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian titik (dot product)

• Perkalian titik dari dua vektor A dan B dilambangkan dengan :

• Hasil perkalian titik dua besaran vektor merupakan besaran skalar

• Pada perkalian titik antara dua vektor bersifat komutatif

Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa :

Proyeksi Orthogonal

Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||c|| dirumuskan oleh :

​

​

​

​

Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan oleh :

​

​

Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Proyeksi skalar ortogonal vektor b

pada arah vektor a adalah

​

​

​

2. Proyeksi vektor ortogonal vektor b

pada arah vektor a adalah

​

​