ESCUELA POLITÈCNICA NACIONAL
Carrera: Ingenierìa en Petròleos
Grupo: 9
Tema: Aplicaciones de integral de lìnea
INTEGRANTES:
ANGHELO NARVÀEZ
JEAN DIAZ
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
APLICACIONES
MASA y CENTRO de MASA
MOMENTOS de INERCIA
MASA DE UN ALAMBRE.
La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea ∫c f(x,y) ds dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función ρ (x, y) representa la densidad lineal de un punto (x, y) de un alambre muy delgado en forma de la curva C y si se divide la curva C en n subarcos de longitudes ∆s1,∆s2,∆s3,…..,∆sn , con ∆sf ≈ (Pi-1 Pi), entonces la masa del alambre que va desde Pi−1 hasta Pi se puede aproximar mediante la siguiente expresión ρ (xi*,yi*) ∆si ; por tanto la masa del alambre completo vendría dado por ∑ni-1 (ρ (xi*,yi*) ∆si). Para tener una aproximación más cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede incrementar el número de subarcos n en el que se dividió inicialmente la curva C. Al estudiar el límite de estas aproximaciones cuando n → ∞, se obtiene el valor exacto de la masa del alambre:
M = limn → ∞∑ni-1 (ρ (xi*,yi*) ∆si) = ∫c f(x,y) ds
Para elementos como espirales, muelles o alambres cuya densidad lineal puede ser variable, la integral de línea permite el cálculo de la masa de estos elementos apoyados en la definición de la misma con respecto a la longitud de arco, como se observará en los siguientes ejemplos.
EJEMPLOS:
1) Hallar la masa de un alambre formado por la intersección de la superficie esférica X2+Y2+Z2=1, y el plano x+y+z = 0, si la densidad en (x,y,z) está dada por ρ (x,y,z) = X2 gramos por unidad de longitud del alambre.
SUPERFICIE
Sustituyendo ds En la fórmula para calcular la masa y simplificando tenemos.
La masa total del alambre es igual a 32 π /3 unidades.
2)Determinar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice circular dada por la curva g(t)=(-ksen(t), kcos(t), mt), t E(0,2 π) con k>0 y m>0 si la densidad en el punto (x,y,z), está dada por ρ(x,y,z) = x2+y2+z2 gramos por unidad de longitud del alambre.
Resolviendo el ejercicio tenemos.
Área de una cerca de altura variable.
Si se recuerda la interpretación geométrica de la integral definida ∫c f(x) dx, como el límite de la suma de los rectángulos de base ∆x y altura f ( x) para un intervalo de x∈[a b, ] , análogamente se puede decir que la integral de línea ∫c f(x,y)ds, se corresponde al límite de la suma de los rectángulos de base ∆s y altura z = f (x, y ) para una curva C cuyo recorrido está sobre el plano xy. Esto podemos observar en la siguiente figura.
∫c f(x,y)ds representa el área de la superficie (de una de las caras) de la región que es generada por los segmentos verticales desde los puntos pertenecientes a la curva C en plano xy hasta la gráfica de la función z = f (x,y).
EJEMPLOS
Una agencia de publicidad ofrece a sus clientes una valla cuya altura es variable y viene dada por la función f(x,y)=1+ (y/3), si la base de la valla coincide con la trayectoria g(t)=(3cos3t, 3sen3t, 0), 0 ≤ t ≤ π, tal como se ilustra en la Figura. Determine cuánto debe cobrar mensualmente la agencia de publicidad, si se sabe que la valla va a estar ubicada de tal manera que puede ser observada por ambos lados, y el alquiler mensual de la vaya publicitaria es de 40 Bs/m2
Figura.
Aplicando la definición tenemos que.
y a este resultado le multiplicamos por dos y gamos a obtener el área de la valla.
NETGRAFÍA