1 of 10

6. Řešení úloh

FS-Pn-P015-Rumpal

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

6.1 RUMPÁL

2 of 10

6.1 Zadání:

  • Na hřídeli rumpálu studny je navinuto lano, na jehož konci je zavěšen džber. Po uvolnění hřídele začne džber padat do studny a zároveň roztáčet rumpál. Určete zrychlení džberu při pohybu do studně. Jakou rychlostí dopadne džber na hladinu vody ve studni?

Pro výpočet uvažujte, že známe moment setrvačnosti rumpálu J, hmotnost džberu m a hloubku studny h. Tření rumpálu v ložiscích a hmotnost lana zanedbejte.

3 of 10

6.1 Výklad k řešení:

  • Rozepíšeme si pohybové rovnice pro celou soustavu odděleně pro dvě pohybující se tělesa:
    • Okov (závaží padající do studně)
    • Rumpál (kolo na hřídeli, které se v důsledku pádu okovu do studně, začíná roztáčet)
  • Každé těleso koná jiný pohyb (okov translační, rumpál rotační)
  • Oba pohyby jsou propojeny pomocí vzájemné interakce přes lano.

4 of 10

6.1 Výklad k řešení:

  • OKOV (těleso zavěšené)

Síly působící na těleso:

Tíhová síla FG a síla lana F*.

Protože okov se pohybuje se zrychlením směrem dolů, plyne z 2. Newtovova zákona, že tíhová síla je větší než síla lana. �Pohybová rovnice pro okov pak bude mít následující tvar:

5 of 10

6.1 Výklad k řešení:

F*

  • RUMPÁL (těleso otáčející se)

Síly působící na těleso:

Tíhová síla FG a síla uchycení ložisek FL. Síly se vzájemně vyruší a tak nemají vliv na změnu pohybového stavu. Proto v obrázku nejsou zobrazeny.

Síla lana F* (ve skutečnosti jde o reakci síly F* z předchozího, takže by měla být označena –F*(opačný směr), jelikož jsou velikosti obou sil stejné a a my budeme pracovat jen s velikostmi můžeme je označit stejně)

Pohybová rovnice je dána momentem sil:

​

6 of 10

6.1 Výklad k řešení:

  • Obě rovnice:

provážeme platným vztahem mezi úhlovým zrychlením rumpálu ε a zrychlením a pádu okovu do studně.

K tomu si stačí uvědomit, že tečné zrychlení, se kterým opouští lano rumpál musí být stejné jako zrychlení okovu. Jinak by se buď muselo lano natahovat nebo zkracovat.

Z výše uvedeného tedy plyne:

7 of 10

6.1 Výklad k řešení:

  • Pohybové rovnice pak jsou:

Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

    • a – zrychlení pádu okovu do studny
    • F* – síla napnutí lana

​

Dořešení je již otázkou matematiky.

8 of 10

6.1 Získané výsledky:

  • Po řešení dostaneme:

Získání F* je jakýmsi „vedlejším produktem“ řešení, který však občas může hodit.

​

Zbývá dořešit rychlost dopadu okovu na hladinu vody v hloubce h.

9 of 10

6.1 Získané výsledky:

  • Pokud víme zrychlení okovu:

Je dořešení rychlosti dopadu otázkou kinematiky rovnoměrně zrychleného pohybu.

O rovnoměrně zrychlený pohyb se jedná, protože získané zrychlení (viz vzorec) je konstantní (nezávisí na čase).

10 of 10

Zdroje a použitá literatura:

[1] Tuhé těleso. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Tuhé_těleso.

[2] Moment hybnosti. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Moment_hybnosti

[3] Mechanika tuhého tělesa. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Mechanika_tuhého_tělesa