POLA BILANGAN

DAFA BINTANG REKSA

1.1. MENENTUKAN PERSAMAAN DARI SUATU BARISAN BILANGAN

• Pola barisan bilangan pada pita berwarna bergantian putih merah tersebut dapat kita tentukan, yaitu pita merah merupakan barisan bilangan genap, sedangkan pita berwarna putih adalah barisan bilangan ganjil. Oleh karena itu tanpa memperpanjang pita tersebut, kita bisa mengetahui warna pita pada bilangan yang sangat besar. Bilangan 100 tentu berwarna pita merah karena termasuk bilangan genap. Bilangan 1.001 tentu berpita putih, karena termasuk bilangan ganjil.

​

DAFA BINTANG REKSA

CONTOH

• Suatu ketika seorang tengkulak beras sedang menimbang beras yang akan ia beli dari seorang petani. Beirkut ini disajikan data acak tentang hasil timbangan beras dalam 50 karung yang ditimbang satu per satu. Hasil penimbangan tersebut disajikan secara berurutan sebagai berikut.

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

CONTOH LAIN

• Pada peringatan ulang tahun ke-64 Toko Baju Bintang memberikan diskon 90% kepada 64 orang pembeli pertama. Pada pukul 08.00 sudah ada 8 pembeli. Pukul 08.05 bertambah menjadi 16 orang. Pukul 08.10 bertambah lagi menjadi 24 pembeli. Jika pola seperti ini berlanjut terus, pada pukul berapa 64 pembeli akan memasuki toko?

​

DAFA BINTANG REKSA

PENYELESAIAN

DAFA BINTANG REKSA

Dari pola yang terlihat pada Tabel 1.5, kalian bisa memperkirakan bahwa 64 pembeli akan terpenuhi pada pukul 08.35.

Catatan : dari pola yang terlihat, kita juga bisa menarik simpulan bahwa setiap pembeli 5 menit ada 8 pembeli datang

CONTOH LAIN

• Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya adalah 60.

​

DAFA BINTANG REKSA

PENYELESAIAN

• Dengan memerlihatkan pola yang terbentuk, yaitu 12, 18, 24, 30, kalian bisa menentukan bahwa selisih jumlah dari tiga bilangan genap berurutan tersebut adalah 6. Sehinggan kita bisa melanjutkan menjadi 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60. Ternyata jumlah 60 ditemukan pada pola ke-9. Dengan kata lain, bilangan pertama dari kumpulan tiga bilangan itu adalah 9 x 2 =18. Kita coba menjumlahkannya 18 + 20 + 22 = 60. Ternyata benar.
• Jadi, jawabannya adalah bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 60 adalah 18, 20, dan 22.

DAFA BINTANG REKSA

AYO BERLATIH

1. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 90.
2. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 150.
3. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 300.
4. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 45.
5. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 135.
6. Temukan tiga bilangan genap berurutan yang jumlahnya sama dengan 315.
7. Dapatkah kalian menemukan tiga bilangan ganjil berurutan yang jumlahnya sama dengan 12.000? Jelaskan.
8. Dapatkah kalian menemukan tiga bilangan ganjil berurutan yang jumlahnya sama dengan 100.000? Jelaskan.

DAFA BINTANG REKSA

CONTOH LAIN

• Rusda mempunyai suatu mesin fungsi yang mengolah masukan berupa bilangan. Mesin tersebut menggunakan empat operasi dasar aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) baik satu maupun 1 hingga 5.

​

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

Tentukan luaran yang dihasilkan jika dimasukkan bilangan :

1. 10
2. 20
3. 100

​

DAFA BINTANG REKSA

CONTOH

• Temukan dua suku berikutnya dari pola barisan berikut

5, 11, 23, 47

​

DAFA BINTANG REKSA

PENYELESAIAN

DAFA BINTANG REKSA

Alternatif kedua

Pola bilangan tersebut merupakan selisih suku-suku tersebut secara beraturan yaitu 6, 12, 24, dan seterusnya. Selisih tersebut ternyata teratur dua kali lipat dari selisih antara suku sebelumnya. Selisih suku keempat dengan suku kelima adalah 48, selisih suku kelima dengan keenam adalah 96. Sehingga dapat menentukan suku kelima = 47 + 48 = 95, suku keenam = 95 + 96 = 191.

Jadi, dua suku berikutnya adalah 95 dan 191.

​

DAFA BINTANG REKSA

• Pak Evan membuat beberapa desain kolam berbentuk persegi. Tiap-tiap kolam mempunyai bentuk persegi pada area penampungan air dan diberi ubin warna biru. Di sekitar kolam dikelilingi oleh pembatas yang dipasang ubin warna putih. Gambar berikut menunjukkan desain tiga kolam terkecil.
• Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 10.000 ubin?

​

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

AYO BERLATIH

1. Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 400 ubin?
2. Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 625 ubin?
3. Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 900 ubin?
4. Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 160.000 ubin?
5. Berapa banyak ubin warna putih, ketika ubin warna biru sebanyak 250.000 ubin?
6. Berapa banyak ubin warna biru, ketika ubin warna putih sebanyak 108 ubin?
7. Berapa banyak ubin warna biru, ketika ubin warna putih sebanyak 808 ubin?
8. Berapa banyak ubin warna biru, ketika ubin warna putih sebanyak 10.008 ubin?
9. Berapa banyak ubin warna biru, ketika ubin warna putih sebanyak 1.304 ubin?
10. Berapa banyak ubin warna biru, ketika ubin warna putih sebanyak 2.124 ubin?

DAFA BINTANG REKSA

• Sebuah lampu hias berubah warna dari hijau kemudian kuning, kemudian merah, dan seterusnya berubah setiap 2 detik dengan pola yang sama. Warna lampu apakah yang menyala pada urutan ke-15?

DAFA BINTANG REKSA

• Kalian memisahkan warna lampu hijau adalah “h”, warna kuning “k”, dan warna merah “m”. Kemudian kita buat tabel seperti di bawah ini

​

​

​

​

• Dengan memperhatikan pola tersebut, kalian dapat melihat lampu hijau, kuning, dan merah menyala secara bergantian dengan pola sebagai berikut
• Warna hijau : 1, 4, 7, 10, 13, ...
• Warna kuning : 2, 5, 8, 11, 14, ...
• Warna merah : 3, 9, 12, 15, ...
• Dengan melihat pola tersebut, ternyata urutan ke-15 menyala lampu warna merah.

Sebuah cabang pohon terus bercabang dengan pola yang teratur seperti ditunjukkan pada gambar di samping.

Gambar 1.8 menunjukkan empat lapis cabang yang terbentuk. Jika cabang pohon tersebut terus tumbuh dengan pola yang teratur, tentukan :

1. Banyak cabang pada lapis ke-8.
2. Jumlah cabang pohon hingga lapis ke-8

DAFA BINTANG REKSA

PENYELESAIAN

DAFA BINTANG REKSA

JAWABLAH

Berdasarkan Gambar 1.8, tentukan banyak cabang pada lapis :

1. ke-10
2. ke-20
3. ke-40
4. ke-100
5. ke-200

​

DAFA BINTANG REKSA

• Tentukan angka satuan pada bilangan 3¹⁰⁰.
• Penyelesaian
• Untuk menentukan angka satuan pada bilangan 3¹⁰⁰ kita tidak perlu mengalikan bilangan “3” sebanyak 100 kali, namun cukup mengamati pola angka satuannya. Perhatikan tabel di bawah ini
• Dengan mengamati angka satuan pada bilangan yang lebih kecil, terlihat bahwa pola angka satuannya adalah 3, 9, 7, 1 bergantian terus menerus. Angka satuan pada pangkat 1 sama dengan pangkat 5, pangkat 2 sama dengan pangkat 6, pangkat 3 sama dengan pangkat 7, dan seterusnya. Dengan memerhatikan pola tersebut, kita bisa menentukan pangkat ketika angka satuannya sama sebagai berikut.

​

​

​

​

​

​

• 1, 5, 9, 13, ... dibagi 4, bersisa 1
• 2, 6, 10, 14, ... dibagi 4, bersisa 2
• 3, 7, 11, 15, ... dibagi 4, bersisa 3
• 4, 8, 12, 16, ... dibagi 4, bersisa 0 atau kelipatan 4
• Dengan mencermati pola keterkaitan antara pangkat bilangan dengan angka satuan bilangan yang dihasilkan, kita dapat menentukan bahwa 100 adalah bilangan kelipatan 4. Oleh karena itu, angka satuan pada bilangan 3¹⁰⁰ adalah 1.

DAFA BINTANG REKSA

JAWABLAH

Cobalah menentukan angka pada

1. 3²⁵
2. 3⁹⁸
3. 3²⁰¹³

​

DAFA BINTANG REKSA

Bilangan Fibonacci

Perhatikan pola bilangan berikut.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Bisakah kalian menentukan 3 bilangan berikutnya?

DAFA BINTANG REKSA

PENYELESAIAN

Bilangan ke-3 diperoleh dari jumlah bilangan ke-1 dan ke-2

Bilangan ke-4 diperoleh dari jumlah bilangan ke-2 dan ke-3

Bilangan ke-5 diperoleh dari jumlah bilangan ke-3 dan ke-4

Dan seterusnya

Dengan melihat pola tersebut, kita dapat menentukan 3 bilangan berikutnya adalah 34, 55, dan 89.

Bilangan dengan pola tersebut dinamakan Barisan Bilangan Fibonacci.

DAFA BINTANG REKSA

AYO BERLATIH

1. Tentukan 3 bilangan selanjutnya dari pola barisan bilangan berikut ini.

1. 1, 3, 5, 7, ..., ..., ...
2. 100, 95, 90, 85, ..., ..., ...
3. 5, 10, 8, 13, 11, 16, 14, ..., ..., ...
4. 2, 6, 18, ..., ..., ...
5. 80, 40, 20, 10, ..., ..., ...
6. 3, -7, 11, -15, 19, ..., ..., ...
7. 4, 12, 36, 108, ..., ..., ...
8. 1, 4, 9, 16, 25, ..., ..., ...
9. 2, 4, 10, 11, 18, 18, 26, 25, ..., ..., ...
10. 1, 5, -1, 3, 7, 1, 5, 9, 3, 7, 11, 5, ..., ..., ...
11. 2, -1, 1, 0, 1, ..., ..., ...

DAFA BINTANG REKSA

2. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan

1. 4, 10, ..., ..., 28, 34, 40
2. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48
3. 7, 13, 11, ..., ..., 21, 19, 25, 23, 29
4. 20, 40, 60, ..., ..., 120, 80, 160
5. 2.745, 915, ..., 135, 45, 15
6. 2, 3, ..., ..., 13, 21

3. Ambillah satu bilangan agar berbentuk suatu pola barisan bilangan

1. 2, 4, 7, 9, 11
2. 4, 8, 12, 16, 32
3. 0, 1, 1, 2, 3, 4
4. 50, 43, 37, 32, 27
5. 4, 5, 8, 10, 13, 15, 18

​

DAFA BINTANG REKSA

4. Tentukan dua suku berikutnya dari barisan bilangan berikut, berdasarkan pola bilangan sebelumnya.

1. 2, 3, 4, 6, 6, 12, 8, ..., ...
2. 3, 7, 11, 18, ..., ...
3. 1, 2, 5, 14, ..., ...
4. 81, 80, 27, 40, 9, ..., ...
5. 1, 3, 4, 9, 9, 27, 16, ..., ...

5. Jika angka pada bilangan 100100100100100 ... diteruskan dengan pola yang sama, tentukan:

1. Angka ke-100
2. Angka ke-1.000
3. Angka ke-3.000
4. Angka ke-2.016
5. Banyak angka 1 hingga angka ke 50
6. Banyak angka 0 hingga angka ke 10²
7. Banyak angka 1 hingga angka ke 300
8. Banyak angka 0 hingga angka ke 10³

​

DAFA BINTANG REKSA

6. Jika angka pada bilangan 133464133464133464 ... diteruskan dengan pola yang sama, tentukan:

1. Angka ke-100
2. Angka ke-1.000
3. Angka ke-3.000
4. Angka ke-2.016
5. Banyak angka 1 hingga angka ke 50
6. Banyak angka 3 hingga angka ke 10²
7. Banyak angka 4 hingga angka ke 300
8. Banyak angka 6 hingga angka ke 10³

7. Tentukan angka satuan pada bilangan:

1. 2¹⁰⁰
2. 2⁹⁹⁹
3. 13¹⁰⁰
4. 2.012²⁰¹³

​

DAFA BINTANG REKSA

1.2 MENENTUKAN PERSAMAAN DARI SUATU KONFIGURASI OBJEK

• Contoh

​

​

​

​

​

​

• Jika susunan bola diteruskan dengan pola ke-n, dengan n adalah suatu bilangan bulat positif, tentukan:
• Banyak bola berwarna biru pada pola ke-n (U_n)
• Banyak bola berwarna biru pada susunan ke-10 (U₁₀)
• Banyak bola berwarna biru pada susunan ke-1.000 (U_1.000)

​

DAFA BINTANG REKSA

• Penyelesaian Alternatif

DAFA BINTANG REKSA

• Contoh

​

​

​

​

Dengan memerhatikan pola susunan bola di atas, tentukan:

Banyak bola pada pola ke-n (U_n).

Jumlah bola hingga pola ke-n (S_n).

​

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

• Contoh

Tentukan hasil penjumlahan pola bilangan persegi hingga pola ke-n.

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = ?

Alternatif Penyelesaian

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

AYO BERLATIH

1. Perhatikan pola berikut

​

​

​

​

Tentukan banyak bola pada pola ke-n, untuk n bilangan bulat positif.

2. Perhatikan pola berikut

​

​

​

​

Tentukan banyak bola pada pola ke-n, untuk n bilangan bulat positif.

DAFA BINTANG REKSA

3. Perhatikan susunan bilangan berikut. Susunan bilangan berikut dinamakan pola bilangan Pascal, karena ditemukan oleh Blaise Pascal. Bilangan di baris ke-2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilangan pada baris ke-1. Tentukan jumlah bilangan baris ke-n pada pola bilangan Pascal berikut.

​

​

​

4. Perhatikan bilangan-bilangan yang dibatasi oleh garis merah berikut

Jika pola bilangan tersebut diteruskan hingga n, untuk n bilangan bulat positif, tentukan:

1. Jumlah bilangan pada pola ke-n
2. Jumlah bilangan hingga pola ke-n

DAFA BINTANG REKSA

5. Perhatikan gambar noktah-noktah berikut

​

​

1. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Jelaskan
2. Tentukan banyak noktah pada 5 urutan berikutnya.

Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatu bilangan yang menunjukkan banyaknya noktah dalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kalian dapat? Jelaskan.

6. Tentukan banyak lingkaran pada pola ke-100 pada pola berikut

​

DAFA BINTANG REKSA

7. Tentukan banyak lingkaran pada pola ke-10, ke-100, ke-n pada pola berikut, untuk sebarang n bilangan bulat positif.

​

​

​

8. Tentukan banyak lingkaran pada pola ke-10, ke-100, ke-n pada pola berikut, untuk sebarang n bilangan bulat positif.

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

DAFA BINTANG REKSA

SEKIAN

DAFA BINTANG REKSA